精品解析：广西南宁市广西大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中素质评价数学试题

2026－2027学年度上学期高一年级数学科期中素质评价 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以． 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题判断可得. 【详解】全称命题的否定规则：①将全称量词改写为存在量词且保持原命题的变量取值范围不变， ②否定原命题的结论. 因此命题“，”的否定是“，”. 3. 下列函数中与函数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个函数相等的判定规则，逐一核对各选项函数的定义域与对应法则，与原函数的属性匹配即可得到正确结果. 【详解】首先明确函数相等的充要条件：两个函数相等当且仅当二者的定义域完全相同，且对应法则完全一致，两个条件需同时满足. 函数的定义域为全体实数，对应法则为. 选项A，函数的定义域为，与原函数定义域一致；对应关系为，与原函数的对应法则完全一致，因此该函数与相等，满足题意； 选项B，函数的定义域为，与原函数的定义域不相同，因此该函数与不相等； 选项C，函数定义域为，与原函数定义域一致；对应关系为，与对应关系不同，故不相等； 选项D，函数的定义域为，与原函数的定义域不相同，因此该函数与不相等. 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项AD：例如，，，满足， 但，，故AD错误； 对于选项B：例如，，，满足， 但，故B错误； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确. 5. 若偶函数在上单调递减，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为偶函数在上单调递减，所以，， 所以即，故D正确.； 其余错误. 6. 函数在上的值域是，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】， 对称轴为，， 函数在上的值域是， 则必须在区间内，可得， 当时，解得， 解得或， 要保证最小值恰为（不更低），左端点处需满足， ， 则且，实数的取值范围为， 即实数的取值集合为. 7. “不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 8. 定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】化简集合，逐项做交集、并集、补集即可． 【解答】，∴， 对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C 错误； 对于D：，D正确． 10. 已知关于的不等式的解集为则（   ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理、不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】已知关于的不等式的解集为可知， 且方程 的两个根为和， 由韦达定理可知，则， 对于A选项，由上述推导可知，A错误； 对于B选项，不等式， 因为，所以不等式两边除以得，解得，B正确； 对于C选项，由上述推导可知是方程的根，所以，C错误； 对于D选项，不等式可转化为， 两边同时除以得，，解得，所以不等式解集为，D正确． 11. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知条件，通过基本不等式、“1的代换”、配方法等方法逐一验证各选项的最值，注意验证等号成立的条件是否满足. 【详解】选项A：由基本不等式，对正实数，有，当且仅当（即）时等号成立， 因此的最大值为，而非，故A错误， 选项B：对平方得，由选项A知，因此， 代入得，即，当且仅当时等号成立，故其最大值为，B正确， 选项C：由完全平方公式，，因此， 由基本不等式知（即），代入得，当且仅当时等号成立，故其最小值为，C正确， 选项D：因为，所以，因此， 由基本不等式，，当且仅当（即）时等号成立，结合，可解得，均为正实数，满足条件，因此原式的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 13. 已知且，，，则______.（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】因为且， 所以，故. 14. 已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先化简为对勾函数形式，根据单调性求解值域，再将全称量词与存在量词结合的不等关系转化为两个函数最小值的比较，进而求得的取值范围. 【详解】为对勾函数,当时，该对勾函数在处取得最小值，故在上单调递增， 可得，，故的值域为； 题设条件等价于在上的最小值不小于在上的最小值， 即， 在上单调递增，因此， 所以 ，即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，最后根据交集及并集的定义计算可得； （2）由，可得，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为，所以， 或. 当时， 所以或. 所以，. 【小问2详解】 因为，所以. 当时，，则； 当时，由题意得， 解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）直接将代入，根据一元二次不等式即可得解集， （2）将与1比较，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 当时，，，或， 不等式解集为：或； 【小问2详解】 不等式可化为． ①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，原不等式化为，解得． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 17. 2021年某城市一家图书生产企业计划出版一套数学新教辅书，通过市场分析，全年需投入固定成本30万元，印刷（万本），需另投入成本万元，且由市场调研知，每本书售价为60元，且全年内印刷的书当年能全部销售完. （1）求出2021年的利润（万元）关于年产量（万本）的函数关系式； （2）2021年年产量为多少本时，企业所获利润最大？求出最大利润. 【答案】（1）；（2）2021年年产量为10万本时，该企业所获利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据成本、利润和产量的关系，分和两种情况讨论即可得解； （2）由（1）知函数为分段函数，分别求得和两个范围内的最大值，取较大者即可. 【详解】（1）当时，； 当时， 综上所述， （2）当时，； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减； 此时， 所以当，即2021年年产量为10万本时， 该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）根据的解析式结合单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，则， 由，解得， 所以，故函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得， 则关于实数的不等式的解集为. 19. 已知函数，不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）已知函数，命题，恒成立，命题，使得成立．若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数、二次方程及二次不等式的关系可得函数解析式. （2）分别讨论真假与假真时参数的取值范围. 【小问1详解】 由已知函数，不等式的解集为， 则， 即和为二次方程的两根，且， 即，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当命题为真命题时，，即在上恒成立， 分离参数可得， 又当时，函数，当且仅当，即时等号成立， 即当时，， 所以， 又恒成立，所以； 当命题为真命题时，，使得成立，即， 又当时，取得最小值为，所以； 由命题、一真一假， 当真假时，，即； 当假真时，，此时无解； 综上所述，命题，一真一假时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度上学期高一年级数学科期中素质评价 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中与函数相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若偶函数在上单调递减，则有（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上的值域是，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. “不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为则（   ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 13. 已知且，，，则______.（填“”，“”或“”） 14. 已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 17. 2021年某城市一家图书生产企业计划出版一套数学新教辅书，通过市场分析，全年需投入固定成本30万元，印刷（万本），需另投入成本万元，且由市场调研知，每本书售价为60元，且全年内印刷的书当年能全部销售完. （1）求出2021年的利润（万元）关于年产量（万本）的函数关系式； （2）2021年年产量为多少本时，企业所获利润最大？求出最大利润. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 19. 已知函数，不等式的解集为. （1）求函数的解析式； （2）已知函数，命题，恒成立，命题，使得成立．若命题、一真一假，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $