精品解析：天津市河西区2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由直线的倾斜角与斜率关系可知，故. 2. 如图，在平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的加法法则求解即可； 【详解】由题意可得， 故选：B. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由，知，使得， 即， 所以，解得，所以． 4. 若直线与直线相互垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得. 5. 椭圆的一个焦点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得椭圆的标准方程为， 显然焦点在轴上，且. 所以焦点坐标为和，故选项A正确. 6. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【详解】圆，圆心，半径为； 圆，圆心，半径为， 因为， 所以两圆外离. 7. 已知直线与直线，若与关于直线对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分别取、上的点、，求出这两点关于直线的对称点，代入另一条直线方程求解即可. 【详解】因为过点，而此点关于直线对称的点为， 由题意可知此点在直线上， 所以，解得； 同理，过点，而此点关于直线对称的点为， 由题意可知此点在直线上， 所以，解得； 所以，. 8. 如图天津市某生态公园规划了一个平面横截面为椭圆形的人工湖，为增强景观互动性，设计师在椭圆的两个焦点，处分别建有一座水上雕塑，为方便游客近距离打卡，公园修建了一条穿过雕塑且与主轴（两雕塑连线）垂直的直线型水上木栈道，该栈道延伸至椭圆湖岸边，交于最佳观景台．经规划测量，从观景台望向远端雕塑的直线距离，恰好是两座雕塑之间距离的1.25倍，则该椭圆人工湖的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解答本题的关键是把文字条件转化为椭圆量：在过焦点且垂直主轴的弦上，故；.再用椭圆定义建立 与的关系式，解出离心率. 【详解】设椭圆方程为，焦距. 栈道过且与主轴垂直，是栈道与椭圆的交点，故为通径的一半，即. 由题意，. 由椭圆定义，，故. 又，于是， 化简得，即， 因，故. 9. 在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且．点为底面正方形内部（含边界）的一动点，若直线与底面所成角的正切值为，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由确定在底面的射影位置；再由线面角正切值定出的轨迹是底面内以为圆心的圆；最后把拆成 "到的水平距离" 加 "竖直高度"，用圆上点到定点距离的最值（圆心距 ± 半径）求解. 【详解】设为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则. 设，由，得，. 故 ，即，其在底面射影为，高. 直线与底面所成角满足，故. 即在以为圆心、半径 1 的圆上（该圆恰在底面正方形内）. 又，得. 设，则， 令为在底面的射影，则， ，， 故，. Ⅱ卷 注意事项：本卷共10题，共73分． 二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 直线的方向向量________（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，即得直线的一个方向向量. 【详解】由题得直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为. 故答案为 【点睛】本题主要考查直线的方向向量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 已知平面上两个定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， ∵动点满足， ∴由椭圆的定义得：动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，，， ∴动点的轨迹方程是. 12. 正方体的棱长为2，点为底面的中心，则点到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求点到平面的距离，可用等体积法进行研究，同一个三棱锥，换底面和高，体积不变. 【详解】 因为为正方体，边长为2， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 设点到平面的距离为， 则 解得，即点到平面的距离为. 13. 直线与圆交于，两点，则_______．点是圆上一点，则面积的最大值为_______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】求出圆心和半径，由垂径定理可得弦长；得到到直线的距离最大值，求出面积最大值 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故， 点是圆上一点，则到直线的距离最大值为， 故面积的最大值为. 14. 在三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，且，，，则_______；设为平面的一个法向量，且满足，若点为平面内的一点，则_______． 【答案】 ①. 0 ②. 55 【解析】 【分析】第一空，根据空间向量的数量积的运算，即可得解；第二空，建立空间直角坐标系，结合题意求出平面的法向量，继而由推出的值，结合数量积运算律即可求解. 【详解】在三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直， 则；  以P为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量，由得， 又平面内向量，，法向量满足、, 得，解得，，即, 因为AM在平面内，所以,即， 又，因此：， 则. 15. 已知圆与轴交于，两点（点在点左侧）．点是圆上异于，两点的动点，直线交直线于点，直线交直线于点．以下说法正确的有_______． ①，两点纵坐标之积恒为定值； ②线段长度的最小值为8； ③以为直径的圆被轴截得的弦长为定值； ④直线与直线的交点恒在圆上； ⑤的外接圆恒过不同于原点的定点． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】由题意可知，，设，且，求出，两点纵坐标，再求出其积，即可判断①；结合①和基本不等式，求出线段长度的最小值，即可判断②；求出以为直径的圆被轴截得的弦长，即可判断③；求出直线与直线的方程，得出交点轨迹方程，即可判断④；求出的外接圆方程，即可判断⑤. 【详解】由题意可知，， 设，且， 则， 所以直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 分别与直线联立， 可得，， 对于①，因为，故①正确； 对于②，因为，所以， 所以、异号，不妨设，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以线段长度的最小值为，故②错误； 对于③，以为直径的圆的圆心为，半径， 所以此圆的方程为， 整理得， 即， 令， 得， 解得， 所以此圆被轴截得的弦长为，故③正确； 对于④，因为直线的方程为，直线的方程为， 两式相乘，得， 所以， 所以交点恒在圆上，故④正确； 对于⑤，设的外接圆方程为：， 则有， 所以有， 所以圆的方程为， 令，得， 解得或， 所以此圆恒过不同于原点的定点，故⑤正确． 三．解答题：本大题共4小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边所在的直线方程； （2）求过点且与边平行的直线方程； （3）求边的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入 两点坐标用两点式列式，整理化简得到所在直线的一般式方程； （2）利用平行直线系设方程，将点的坐标代入求出参数，得到所求直线方程； （3）先求 的中点坐标，结合垂直直线斜率关系设方程，代入中点得到垂直平分线方程. 【小问1详解】 由， 所以得边所在的直线方程为： 化简得； 【小问2详解】 设与边平行的直线方程为： 因为过点，代入得解得 所以过点且与边平行的直线方程为：； 【小问3详解】 设与边垂直的直线方程为： 因为的中点为，代入得解得 边的垂直平分线的方程为． 17. 已知圆心在直线上的圆经过点和点． （1）求圆的标准方程； （2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆心在已知直线上，且圆心到圆上两点距离相等，联立方程组求出圆心坐标，再算出半径，写出圆的标准方程； （2）分切线斜率不存在、斜率存在两类讨论，利用圆心到切线距离等于半径列方程求解切线方程． 【小问1详解】 设圆心的坐标为，因为圆心在直线上，所以①， 因为，是圆上两点，所以，根据两点间距离公式， 有即②， 由①②可得，．所以圆心的坐标为． 圆的半径． 所以，所求圆的标准方程为． 【小问2详解】 直线的斜率不存在时： 因为直线经过点，所以直线的方程为， 此时圆心到直线：的距离为， 所以直线：是圆的切线； 直线的斜率存在时： 设斜率为k，此时直线的方程为，即， 所以此时圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，所以，即，化简得， 解得，所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 18. 在长方体中，，．点在棱上，且，点为棱的中点，点在棱上，且． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 由，， 则，，，，，，，. ，，． 设平面的法向量为， 则， 令，则，得， 因为，所以． 又因为直线平面，所以直线平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面平行的向量关系证明即可； （2）利用向量法求二面角即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，即为三棱锥的高，再利用点的坐标即可求得，从而可计算三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为． ，．设平面的法向量为， 则， 令，则，得. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角为． 【小问3详解】 由（1）知，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 在中，， ， 所以． 则． 所以． 所以三棱锥的体积为． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线交轴于点，交椭圆于点（与点不重合）．若，且，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出，即可求得答案； （2）设直线l的方程，联立椭圆方程可求出点的横坐标，结合，即可得到，利用可得不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的短轴长，解得，所以． 因为离心率，所以． 又根据椭圆的基本关系，代入可得： 所以．故椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆的上顶点为． 设直线的方程为：， 令，解得（因为），所以点的坐标为． 将代入椭圆方程中，得：， 化简为，解得或， 结合题意知点的横坐标为：， 已知，则， 因此有：，化简得：，即， 即：， 因为，即：， 即且，即得：， 所以直线的斜率的取值范围是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 4. 若直线与直线相互垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 1 5. 椭圆的一个焦点为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 7. 已知直线与直线，若与关于直线对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图天津市某生态公园规划了一个平面横截面为椭圆形的人工湖，为增强景观互动性，设计师在椭圆的两个焦点，处分别建有一座水上雕塑，为方便游客近距离打卡，公园修建了一条穿过雕塑且与主轴（两雕塑连线）垂直的直线型水上木栈道，该栈道延伸至椭圆湖岸边，交于最佳观景台．经规划测量，从观景台望向远端雕塑的直线距离，恰好是两座雕塑之间距离的1.25倍，则该椭圆人工湖的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且．点为底面正方形内部（含边界）的一动点，若直线与底面所成角的正切值为，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷 注意事项：本卷共10题，共73分． 二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 直线的方向向量________（写出一个即可） 11. 已知平面上两个定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为_______． 12. 正方体的棱长为2，点为底面的中心，则点到平面的距离为_______． 13. 直线与圆交于，两点，则_______．点是圆上一点，则面积的最大值为_______． 14. 在三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，且，，，则_______；设为平面的一个法向量，且满足，若点为平面内的一点，则_______． 15. 已知圆与轴交于，两点（点在点左侧）．点是圆上异于，两点的动点，直线交直线于点，直线交直线于点．以下说法正确的有_______． ①，两点纵坐标之积恒为定值； ②线段长度的最小值为8； ③以为直径的圆被轴截得的弦长为定值； ④直线与直线的交点恒在圆上； ⑤的外接圆恒过不同于原点的定点． 三．解答题：本大题共4小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边所在的直线方程； （2）求过点且与边平行的直线方程； （3）求边的垂直平分线的方程． 17. 已知圆心在直线上的圆经过点和点． （1）求圆的标准方程； （2）若经过点的直线与圆相切，求直线的方程． 18. 在长方体中，，．点在棱上，且，点为棱的中点，点在棱上，且． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）求三棱锥的体积． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线交轴于点，交椭圆于点（与点不重合）．若，且，求直线的斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $