精品解析：天津市河西区2025-2026学年高二上学期11月期中质量调查数学试题

河西区2025-2026学年度第一学期高二年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第I卷1至3页，第II卷4至7页. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角求得其正切，从而可得斜率. 【详解】∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为 故选：A 2. 如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：A. 3. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线平行，斜率相等求出的值，再把两直线化为相同的系数，使用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由直线可得斜率为，由直线可得斜率， 两直线平行则斜率相等，故， 解得，可得，此时两条直线不重合， 把第一条直线变形可得， 根据平行线间距离公式可得. 故选：C 4. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 5. 已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 6. 已知直线，䒴，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 7. 已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值. 【详解】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“逼近法”先确定，再结合椭圆的定义计算即可. 【详解】设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，结合题意可知椭圆方程为：， 由条件得， 又的周长为， 所以，即椭圆方程为：. 故选：A 9. 在体积为，正四棱锥中，为的中点，过直线作平面，分别与侧棱、相交于点、，当时，记四棱锥的体积为，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件设在底面射影为与交点是重心，过作，确定平面为平面，得、是三等分点，把四棱锥体积转化为，再转化为，逐步将三棱体积转化，与、建立联系，计算得出，从而得到的值. 【详解】如图，设在底面的射影为，设，则为三角形的重心， 所以为的靠近的三等分点，过作， 则过直线作平面为平面， 所以分别为靠近的三等分点， 所以四棱锥的体积为 故选：B 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共9小题，共64分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分． 10. 已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝________． 【答案】－2 【解析】 【分析】方程化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F，解方程即得解. 【详解】方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2－F， 因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆， 所以， 所以F＝－2. 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 已知，，则在上的投影向量为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由投影向量公式得在上的投影向量为， 则，故在上的投影向量为. 故答案为： 12. 已知圆与圆有三条公切线，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解. 【详解】已知与有三条公切线， 则两圆外切，故，两边同时平方可得： ，. 故答案为： 13. 过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 14. 在正三棱柱中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为_____；点到直线的距离为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系，根据异面直线的夹角公式即可求出直线与所成角的余弦值，根据空间中点到直线的距离公式即可求解点到直线的距离. 【详解】如图所示，正三棱柱中，底面为等边三角形，取中点，则， 取中点，根据正三棱柱的性质可得：，， 故取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系， ，等边三角形高，则，， ，则，，， 为的中点，则， ， 设异面直线与所成角为，则； 由可得，， 则点到直线的距离， 故答案为： 15. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，      因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先确定圆心为的中垂线与的交点，根据直线垂直的关系及点斜式，结合两点距离公式计算即可； （2）利用点到直线的距离公式及弦长公式计算即可. 【小问1详解】 易知和的中点，， 则的中垂线方程为， 联立方程，即圆心坐标为， 易知，所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 易知圆心C到直线的距离为， 又直线被圆截得弦长为， 所以，解之得或. 17. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）如果是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 底面，底面，则，由底面是平行四边形， 得，，则， 又，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）以为原点建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）求直线的方向向量，由（2）可知平面的法向量，利用线面角的向量法求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，底面， 以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面法向量，为中点，， ， ，取，得， 即为平面的法向量，设平面与平面的夹角为， ，则， 故平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 为中点，，， 平面法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接．设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，代入点坐标，结合原点到直线的距离为即可求出椭圆的标准方程. （2）首先确定直线的方程，设直线的方程为，联立椭圆方程，再利用韦达定理求坐标，进而写出直线，最后求出，应用斜率的两点式得到关系式，即可得. 【小问1详解】 已知椭圆过点，代入方程得， 又是椭圆上顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为可得： ，，代入可得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，故直线的方程为， 直线的斜率为，点，则直线的方程为， 联立，得， 又点在椭圆上，故有， 则，， 故直线的方程为，即， 又点为直线与轴交点，令得，， 将直线与直线联立，得，解得，则， 故直线的斜率为，则，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2025-2026学年度第一学期高二年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第I卷1至3页，第II卷4至7页. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5. 已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，䒴，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在体积为，正四棱锥中，为的中点，过直线作平面，分别与侧棱、相交于点、，当时，记四棱锥的体积为，则（） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共9小题，共64分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分． 10. 已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝________． 11. 已知，，则在上的投影向量为_____． 12. 已知圆与圆有三条公切线，则_____． 13. 过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 14. 在正三棱柱中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为_____；点到直线的距离为_____． 15. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______. 三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 17. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）如果是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接．设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $