精品解析：湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中2026-2027学年 上学期八年级数学期中考试试卷

2026年八年级数学期中考试试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据0.000000049用科学记数法表示为． 故选：A． 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解； B、等式右边是整式的积的形式，是因式分解； C、等式右边含，不是整式的积的形式，不是因式分解； D、是整式乘法运算，不是因式分解． 3. 在，，，，，中分式的个数有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，的分母中含有字母，是分式，共有个． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的定义，解答本题的关键是：要注意分式是形式定义，只要是分母中含有字母的式子即为分式． 4. 若分式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：B． 5. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个非0的数，分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，的分子和分母同时乘上，该分式的值不变， 即 故选：C 6. 若是二次根式，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 各选项中只有满足． 7. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式满足的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； B. ，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； C. 符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； 故选：C． 8. 若 ，则 （ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂除法逆运算，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算； 由已知方程可得的值，再将所求表达式化为同底数幂的形式，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D. 9. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】解：设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷， 根据题意得，， 故选：A． 10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美．现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ） A. 我爱美 B. 怀化游 C. 美我怀化 D. 爱我怀化 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将表达式因式分解，得到四个因式，分别对应给定的汉字，组合后得到密码即可． 【详解】解： ， 对应汉字：爱，我，化，怀， ∴组合后的密码为“爱我怀化”， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 13. 若，则＝______． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】设，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，设，则， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 14. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知为分式的四次乘方形式，需结合乘方的符号性质、乘方运算法则化简得到最简结果． 【详解】解：． 15. 若是分式方程的解，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，建立关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ 是分式方程 的解， ∴ 把 代入原方程，等式成立， 代入后左边的计算结果为 ， 因此得到关于的方程 ， 解得 ． 16. 已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，分两类讨论方程无解的情形：一是化简后的整式方程无实数解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算对应的取值即可． 【详解】解： ∵ 原分式方程的最简公分母为， ∴ 方程两边同时乘，消去分母得 ， ∴， 分两类讨论方程无解的情况： 1. 当，解得，此时整式方程无解，对应原分式方程也无解； 2. 化简后的整式方程有解，但该解为原分式方程的增根， ∵ 原分式方程有意义的条件为且，因此增根只能是或， ∴ 当时，整式方程的解为， 若是增根，代入得，解得，经检验，是原方程的解； 若是增根，代入得，解得，经检验，是原方程的解； 综上，当或或时，原分式方程无解． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）因式分解： （2）利用因式分解简便计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】 ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 20. 解分式方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解． 21. 数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： 解：原式 解：原式 （1）填空： 的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【答案】（1）小明 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； 【小问2详解】 解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 22. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． （1）求每套《什么是数学》的价格； （2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 【答案】（1）50元 （2）《古今数学思想》最多能买20套 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套建立方程求解即可； （2）根据（1）所求可求出《古今数学思想》的价格，设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据购买费用不超过4000元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； 【小问2详解】 解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 23. 先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】（1） （2） （3） 证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子的值一定是一个不小于1的数． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 【小问1详解】 解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 【小问2详解】 解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； 【小问3详解】 略 24. 新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A： B： （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1）A （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； 【小问2详解】 解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级数学期中考试试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，，中分式的个数有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 若分式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 若是二次根式，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，则 （ ） A. 9 B. 12 C. 27 D. 81 9. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美．现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ） A. 我爱美 B. 怀化游 C. 美我怀化 D. 爱我怀化 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11. 因式分解：__． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 13. 若，则＝______． 14. 已知，则的值为___________． 15. 若是分式方程的解，的值是___________． 16. 已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）因式分解： （2）利用因式分解简便计算： 18. 计算 （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解分式方程． （1） （2） 21. 数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： 解：原式 解：原式 （1）填空： 的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 22. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． （1）求每套《什么是数学》的价格； （2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 23. 先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 24. 新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A： B： （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $