精品解析：湖南省长沙市雅礼集团2026-2027学年八年级上学期期中联考数学试卷

2026年下学期八年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，本大题共10个小题，共30分） 1. 下列化学器材的简化示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. 普通漏斗 B. 烧杯 C. 洗气瓶 D. 蒸馏烧瓶 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ A错误； ∵ ， ∴ B错误； ∵ ， ∴ C错误； ∵ ， ∴ D正确． 3. 已知三角形的三边长分别为2、4、a，则边长a能取的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形的三边长为、、， ∴， 即， ∵选项中只有满足， ∴能取的值为． 4. 小明用“X型转动钳”按如图方法测量培养皿的内径时，点O是两钳柄的交点，且A、O、D在同一直线上，B、O、C在同一直线上，已知，，要求，可以测量下列哪条线段的长度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在和中 ∵，，， ， ， 要求，可以测量的长度． 5. 下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、D选项中，两个二项式均满足一项相同、另一项互为相反数的结构，能用平方差公式计算，不符合题意； B选项：可变形为，满足一项相同、另一项互为相反数的结构，能用平方差公式计算，不符合题意； C选项：可变形为，不满足平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 6. 下列命题中，不正确的是( ) A. 三角形两边的和大于第三边 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 若两个图形形状相同，则这两个图形全等 D. 有两个角是的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】明确全等图形需同时满足形状相同、大小相等的条件，结合三角形相关性质判断各命题真假． 【详解】解：A选项，三角形两边的和大于第三边，是真命题，不符合题意． B选项，∵三角形有两个角互余， ∴两角和为， ∴第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意． C选项，∵全等图形需形状、大小均相同， ∴仅形状相同的两个图形不一定全等， ∴该命题是假命题，符合题意． D选项，∵三角形有两个角为， ∴第三个角为， ∴该三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意． 7. 已知平面直角坐标系内H点的坐标是，则H点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标为. 8. 如图，，，垂直平分线段分别交、于点、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和可得，再根据垂直平分线的性质可得，则利用等腰三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，已知等边的周长为12，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形性质求出边长，利用角平分线定义和平行线性质证得，，将周长转化为的长求解 【详解】解：是等边三角形，周长为 平分，平分 ， ， ， ， ， 的周长 10. 如图，在中，平分交于点D，点E在边上且，，F为的中点，连接．给出下列四个结论：①平分；②；③；④若，则．下列选项正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】设，则．由证，得，，利用外角定理得，故，．利用为中点的线段关系证．当时，用面积法得出，再结合同高三角形面积比等于底之比求出与的比值． 【详解】解：设， ， ， ， 平分， ， 在和中， ，，， ， ，，， 平分， 结论①正确， 是的外角， ， ， ， ， ， 结论②正确， 为中点， ， 在上， ， ， ， ， 结论③正确， ，设，则， ， 过点作于，于， 平分， ， ， 又∵和同高， ， ，， 和同高， ， ， 和同高， ， ， 为中点， ， ， ，结论④正确， 综上所述，①②③④均正确， 二、填空题（每小题3分，本大题共6个小题，共18分） 11. 等腰三角形的周长为，腰长为，则底边的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知等腰三角形的周长与腰长，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合周长为三边长度之和的定义计算底边长． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰长度相等，已知腰长为， ∴两腰的总长度为， ∵等腰三角形的周长为，周长为两腰长度与底边长的和， ∴底边长为． 12. 已知，则的值为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用可得出，再将代入求值即可． 【详解】解：． 故答案为：40． 【点睛】本题考查同底数幂乘法的逆用，代数式求值．掌握同底数幂乘法的逆用法则是解题关键． 13. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充条件：___________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】已知和，即已知斜边相等，根据定理，还需补充一条直角边对应相等． 【详解】解：， 和均为直角三角形， 要用“”证明， 需要斜边和一条直角边对应相等， 已知斜边， 需补充直角边或. 14. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为24，，则的周长___________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长为24，， ∴， ∴的周长． 16. 如图，在中，，是的中线，的面积为，若、分别是线段、上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 6 【解析】 【分析】等腰三角形三线合一，可得点C关于的对称点为点B，将军饮马模型求最小值，得，当B、P、Q三点共线且垂直于时，取得最小值，用三角形面积公式可求出最小值． 【详解】解：在中，，是的中线， ， 点C关于的对称点为点B， ， 当B、P、Q三点共线且垂直于时，取得最小值， 过点B作交于点E，如下图所示， ， ， ， 的最小值是6． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】原式化简结果为；当，时，原式 【解析】 【分析】展开原式中的乘方与乘法项，合并同类项得到最简形式，再代入给定的、值计算结果． 【详解】解：原式 ，时，原式． 19. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）已知与关于轴对称，请在坐标系中画出； （2）直接写出的面积___________； （3）点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质确定点，连线即可得到； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）根据轴对称的坐标特征得到，即，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由网格知：； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，即， ∴． 20. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，代入求解即可； （2）先求的值，再开方即可． 【小问1详解】 解：， 当，时， ， ； 【小问2详解】 由（1）知， ， 将，代入得：， ． 21. 如图，点C在线段上，已知，，． （1）求证； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到，根据“”证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质求出，，再由线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 22. 随着人工智能技术走进生活，某AI体验中心准备采购甲、乙两种智能机器人套件，计划用于开展科普体验活动．据了解，采购3套甲型机器人和2套乙型机器人套件共需130万元；采购2套甲型机器人和3套乙型机器人套件共需120万元． （1）求甲、乙两种智能机器人套件每套的进价各是多少万元？ （2）该体验中心计划采购这两种套件共20套，投入资金不超过560万元．若每套甲型套件的售价为40万元，每套乙型套件的售价为25万元，要使销售完这批套件后获得的利润不少于160万元，问该体验中心共有多少种采购方案？ 【答案】（1）甲型智能机器人套件每套进价为30万元，乙型每套进价为20万元 （2）共有5种采购方案，分别为： 方案1：采购甲型套件12套，乙型套件8套； 方案2：采购甲型套件13套，乙型套件7套； 方案3：采购甲型套件14套，乙型套件6套； 方案4：采购甲型套件15套，乙型套件5套； 方案5：采购甲型套件16套，乙型套件4套 【解析】 【分析】（1）设甲型智能机器人套件每套进价为万元，乙型每套进价为万元，由题意得，然后进行求解即可； （2）设采购甲型套件套，则乙型套件套，由题意得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型智能机器人套件每套进价为万元，乙型每套进价为万元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型智能机器人套件每套进价为30万元，乙型每套进价为20万元． 【小问2详解】 解：设采购甲型套件套，则乙型套件套，由题意得： ， 解得：， ∵为正整数， ∴共有5种采购方案，分别为： 方案1：采购甲型套件12套，乙型套件8套； 方案2：采购甲型套件13套，乙型套件7套； 方案3：采购甲型套件14套，乙型套件6套； 方案4：采购甲型套件15套，乙型套件5套； 方案5：采购甲型套件16套，乙型套件4套． 23. 如图，在中，过点A作于点E，过点B作于点D，与交于点K，连接． （1）求证； （2）证明； （3）求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又，，， ∴， 又，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出，然后根据等角对等边即可得证； （2）根据余角的性质可得，然后根据证明即可； （3）过D作于M，于N，由（2）得出，，进而得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过D作于M，于N， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线，我们将点关于y轴的对称点记作，再将点关于直线的对称点记作，则称点为点P关于y轴和直线的“折影点”．例如：点关于y轴的对称点为，点关于直线的对称点为，所以点关于y轴和直线的“折影点”为． （1）点关于y轴和直线的“折影点”的坐标是___________； （2）点关于y轴和直线的“折影点”的坐标是，求m和n的值； （3）已知点（a，b，c均为正整数），若C关于y轴和直线的“折影点”为，且a，b，c满足不等式，求的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据“折影点”定义，依次求点A关于y轴、直线的对称点坐标即可； （2）根据“折影点”的坐标规律列方程组，求解m，n的值； （3）先对不等式进行变形，再结合正整数条件确定a，b，c的值，再计算的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，点关于y轴的对称点的坐标为， 点关于直线的对称点的横坐标不变，纵坐标为， 的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，关于y轴的对称点为， 关于直线的对称点为． ∴点的折影点为， 又∵点的折影点为， ， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可得，的横坐标为，纵坐标为． ∴， 由题意得， ， ∵a，b，c是正整数， ∴，，，且都是整数， ∵， ∴的值只能是0，1，2，3， 对于：其值只能是0， ∴， ∴， ∴， 对于：其值只能是0或3， ∴当值为0时， 解得， 当值为3时， 解得或， 当时， ， ∵b是正整数，是非负整数， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∵是非负整数， ∴， 解得，不是正整数，故舍去； 当时， ， 同理可得， 解得，不是正整数，舍去． 综上所述，， ∴的横坐标为，纵坐标为． 的坐标为． 25. 已知与都是等腰三角形，，，，设． （1）如图1，若，过点A作于点H； ①若，，求； ②若，的面积，求； （2）如图2，若，连接，，点F在线段上，连接并延长交于点M，若，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①6；② （2）解：，理由如下： 过作交的延长线于点． ， ， ， ． ， ∴， ． ∵在和中， ， ， ． ∵， ， ∵在和中， ， ， ， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）①根据求出，根据等边对等角求出，再利用含角的直角三角形的性质求解即可； ②过点A作于点，根据等腰三角形的“三线合一”，结合得到，再由同角的余角相等得到，从而证明，得到，，结合的面积求出，根据与等腰三角形的“三线合一”即可求解； （2）过作交的延长线于点，则，结合，得到．利用外角与角的和差得到，从而得到，即可证明，得到．再证明得到，即可得到． 【小问1详解】 解：①，， ， ， ∴． ，， ∴在中，． ②过点A作于点，如图， ，，， ，， ， ∵，即， ∴， ， ， 在与中， ， ， ，， ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期八年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，本大题共10个小题，共30分） 1. 下列化学器材的简化示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. 普通漏斗 B. 烧杯 C. 洗气瓶 D. 蒸馏烧瓶 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的三边长分别为2、4、a，则边长a能取的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 4. 小明用“X型转动钳”按如图方法测量培养皿的内径时，点O是两钳柄的交点，且A、O、D在同一直线上，B、O、C在同一直线上，已知，，要求，可以测量下列哪条线段的长度（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，不正确的是( ) A. 三角形两边的和大于第三边 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 若两个图形形状相同，则这两个图形全等 D. 有两个角是的三角形是等边三角形 7. 已知平面直角坐标系内H点的坐标是，则H点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，垂直平分线段分别交、于点、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知等边的周长为12，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 10. 如图，在中，平分交于点D，点E在边上且，，F为的中点，连接．给出下列四个结论：①平分；②；③；④若，则．下列选项正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，本大题共6个小题，共18分） 11. 等腰三角形的周长为，腰长为，则底边的长为___________． 12. 已知，则的值为___________． 13. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充条件：___________． 14. ___________． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为24，，则的周长___________． 16. 如图，在中，，是的中线，的面积为，若、分别是线段、上的动点，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）已知与关于轴对称，请在坐标系中画出； （2）直接写出的面积___________； （3）点与点关于轴对称，求的值． 20. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，点C在线段上，已知，，． （1）求证； （2）若，，求的长． 22. 随着人工智能技术走进生活，某AI体验中心准备采购甲、乙两种智能机器人套件，计划用于开展科普体验活动．据了解，采购3套甲型机器人和2套乙型机器人套件共需130万元；采购2套甲型机器人和3套乙型机器人套件共需120万元． （1）求甲、乙两种智能机器人套件每套的进价各是多少万元？ （2）该体验中心计划采购这两种套件共20套，投入资金不超过560万元．若每套甲型套件的售价为40万元，每套乙型套件的售价为25万元，要使销售完这批套件后获得的利润不少于160万元，问该体验中心共有多少种采购方案？ 23. 如图，在中，过点A作于点E，过点B作于点D，与交于点K，连接． （1）求证； （2）证明； （3）求的度数． 24. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线，我们将点关于y轴的对称点记作，再将点关于直线的对称点记作，则称点为点P关于y轴和直线的“折影点”．例如：点关于y轴的对称点为，点关于直线的对称点为，所以点关于y轴和直线的“折影点”为． （1）点关于y轴和直线的“折影点”的坐标是___________； （2）点关于y轴和直线的“折影点”的坐标是，求m和n的值； （3）已知点（a，b，c均为正整数），若C关于y轴和直线的“折影点”为，且a，b，c满足不等式，求的坐标． 25. 已知与都是等腰三角形，，，，设． （1）如图1，若，过点A作于点H； ①若，，求； ②若，的面积，求； （2）如图2，若，连接，，点F在线段上，连接并延长交于点M，若，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $