江苏徐州市七校2026-2027学年第一学期期中检测九年级数学试题

徐州市七校2026—2027 学年度第一学期期中检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．方程 的解是（　　） A． B． C．， D．， 2．用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中， 的圆心坐标为 ，半径为 ，则 轴与 的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 4．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 5．若一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图， 是 的直径，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． （第 6 题） 7．反比例函数 （）的图象如图所示，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． （第 7 题） 8．在同一平面直角坐标系中，若函数 与 （其中 ）的图象没有交点， 则下列说法错误的是（　　） A． B． C． 或 D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是　______． 10．已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为　______． 11．若一个扇形的弧长等于它的半径，则这个扇形的圆心角度数为　______（结果保留 ）． 12．已知反比例函数 ，其图象所在的每一个象限内， 随 的增大而增大， 则 的取值范围是　______． 13．设 、 是方程 的两个根，则 ______． 14．一个等边三角形的边长为 ，则它的内切圆半径为　______． 15．已知点 为 内一点，过点 的最长的弦长为 ，最短的弦长为 ， 则 的长为　______ ． 16．《增删算法统宗》中记载了“圆中方”问题：如图，有一块圆形田地，内部有正方形水池， 且从水池边到圆周每边相距 3 步，圆内耕地的面积为 72 平方步．设正方形的边长是 步， 则可列方程为　______． （第 16 题） 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （）的图象经过 的顶点 ， 点 在 轴上．若点 ， 的面积为 ，则 的值为　______． （第 17 题） 18．如图，矩形 内接于 ，弧 的度数为 ．若矩形 的面积为 ， 则 的内接正八边形的面积为　______． （第 18 题） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（每题 6 分，本题 12 分）解方程： （1）；　　　　（2）． 20．（本题 10 分）已知 与 成反比例，且当 时，． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）当 时，求 的值． 21．（本题 12 分）一张长 20 cm、宽 14 cm 的矩形纸板按如图方式裁去若干小正方形和小矩形， 剩余部分（阴影部分）恰好做成一个底面积为 的有盖长方体纸盒， 求剪去的小正方形的边长． （第 21 题） 22．（本题 12 分）如图， 为锐角 边 上一点．用没有刻度的直尺和圆规分别 作出满足下列条件的 ．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） ① ② （1）在图①中， 与 相切于点 ，且与 也相切，切点为 ； （2）在图②中， 与 相切于点 ，与 相交于点 、，且 ． 23．（本题 12 分）如图， 为 直径，点 在 上，，垂足为 ， 交 于点 ，直线 与 的延长线交于点 ，且 平分 ． （第 23 题） （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）． 24．（本题 14 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的 图象交于点 ，点 ． （第 24 题） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于 的不等式 的解集为　______； （3）点 在 轴上，连接 、．若 的面积为 ，求点 的坐标． 25．（本题 14 分）在 中，，点 是 的中点， 点 是 外一点，连接 、、，且 ． 图 1 图 2 图 3 （1）如图 1，，点 、 在直线 的两侧，则 　______； （2）如图 2，，点 、 在直线 的同侧，连接 ．试探究：线段 与 、 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，， 是 的外接圆，点 为 上一点，连接 、， 若 ，，点 在劣弧 上，则 面积的最大值为　______． 九年级数学试题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市七校2026—2027 学年度第一学期期中检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．方程 的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】由 得 或 ，所以 ，．故选 C． 2．用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】移项得 ，两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得 ， 即 ．故选 B． 3．在平面直角坐标系中， 的圆心坐标为 ，半径为 ，则 轴与 的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【解析】圆心 到 轴（即直线 ）的距离为 ， 因为 ，即圆心到直线的距离大于半径，所以 轴与 相离．故选 A． 4．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程是一元二次方程，所以 ； 又方程有两个相等的实数根，所以 ，解得 （符合 ）．故选 C． 5．若一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由扇形面积公式 ，得 ．故选 B． 6．如图， 是 的直径，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． （第 6 题） 【答案】D 【解析】连接 ．因为 与 是同弧 所对的圆周角， 所以 ． 又 ，所以 ， 所以 ．故选 D． 7．反比例函数 （）的图象如图所示，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． （第 7 题） 【答案】A 【解析】图象的两支分别位于第二、四象限，所以 ． 过点 作坐标轴的垂线，可见 时图象上的点在 的下方， 即当 时 ，于是 ； 同理， 时图象上的点在 的下方，即 ，于是 ． 所以 ，选项中只有 符合．故选 A． 8．在同一平面直角坐标系中，若函数 与 （其中 ）的图象没有交点， 则下列说法错误的是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【解析】两图象没有交点，即方程 没有解，也就是 无解， 所以 ，即 ，A 项正确． 【解法一】（代数辨析） 由 可知 、 异号，于是 等于 与 之差的绝对值， 而 等于 与 之和，即 ． ①若 ，则 小于 、 中较大的一个，C 项正确； 若 ，则 ，C 项仍正确． ②因为 大于 与 之差的绝对值（ 时严格大于）， 所以 ，D 项正确． ③取 ，，此时 ，两图象没有交点，但 ， 说明“”不一定成立，B 项错误．故选 B． 【解法二】（取特殊值排除） 只要举出一个满足“两图象没有交点”的例子，逐一检验各项即可． 取 ，（此时 ， 与 的图象确实没有交点）： A 项 成立；B 项 ，不成立； C 项 成立；D 项 成立． 再取 ， 检验，B 项 成立，但已有一例使它不成立，故错误的是 B．故选 B． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是　______． 【答案】 【解析】一元二次方程要求二次项系数不为 ，即 ，所以 ． 10．已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为　______． 【答案】 【解析】把 代入方程，得 ，解得 ． 11．若一个扇形的弧长等于它的半径，则这个扇形的圆心角度数为　______（结果保留 ）． 【答案】 【解析】设半径为 、圆心角为 ，由弧长公式 及 得 ，所以 ，即圆心角度数为 ． 12．已知反比例函数 ，其图象所在的每一个象限内， 随 的增大而增大， 则 的取值范围是　______． 【答案】 【解析】在每一个象限内 随 的增大而增大，说明图象的两支分别在第二、四象限， 所以比例系数 ，即 ． 13．设 、 是方程 的两个根，则 ______． 【答案】 【解析】由根与系数的关系，，， 所以 ． 14．一个等边三角形的边长为 ，则它的内切圆半径为　______． 【答案】 【解析】等边三角形的高为 ， 而等边三角形的内切圆半径等于高的三分之一，所以半径为 ． 15．已知点 为 内一点，过点 的最长的弦长为 ，最短的弦长为 ， 则 的长为　______ ． 【答案】 【解析】过圆内一点最长的弦是直径，所以直径 ，半径 ； 最短的弦是过 且与 垂直的弦，其长 ，半弦长为 ． 由垂径定理，． 16．《增删算法统宗》中记载了“圆中方”问题：如图，有一块圆形田地，内部有正方形水池， 且从水池边到圆周每边相距 3 步，圆内耕地的面积为 72 平方步．设正方形的边长是 步， 则可列方程为　______． （第 16 题） 【答案】 【解析】正方形水池的边长为 步，从水池边到圆周每边相距 步， 所以圆形田地的半径 （步）． 耕地面积 圆面积 正方形面积，于是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （）的图象经过 的顶点 ， 点 在 轴上．若点 ， 的面积为 ，则 的值为　______． （第 17 题） 【答案】 【解析】因为 在 轴上，且四边形 是平行四边形，所以 ， 即 与 轴平行，故 与 的纵坐标相同， 的纵坐标为 ． 设 （），则 ， 平行四边形以 为底时的高为 ，所以 ，解得 ，即 ． 把 代入 ，得 ． 18．如图，矩形 内接于 ，弧 的度数为 ．若矩形 的面积为 ， 则 的内接正八边形的面积为　______． （第 18 题） 【答案】 【解析】设 的半径为 ．因为弧 的度数为 ，所以 ． 作 于 ，在 中，， 所以 ． 矩形 的对角线 、 都经过圆心 ，， 与 等底等高，4 个三角形面积都等于 ， 所以 ，得 ． 正八边形由 8 个与 全等的等腰三角形拼成（两边为 ，夹角 ）， 所以 ． 【解法二】（用面积倍数关系） 由矩形的对角线互相平分，， 与 等底等高， 所以矩形被两条对角线分成的 4 个三角形面积都等于 ，即 ． 正八边形的每一条边所对的圆心角都是 ，它由 8 个与 全等的三角形拼成， 所以 ，不必求出半径 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（每题 6 分，本题 12 分）解方程： （1）；　　　　（2）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）两边同除以 ，得 ，所以 或 ， 解得 ，． （2）移项得 ，因式分解得 ， 所以 或 ，解得 ，． 20．（本题 10 分）已知 与 成反比例，且当 时，． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）当 时，求 的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为 与 成反比例，所以设 （）． 把 ， 代入，得 ，所以 ，即 ． （2）当 时，，所以 ，解得 ． 21．（本题 12 分）一张长 20 cm、宽 14 cm 的矩形纸板按如图方式裁去若干小正方形和小矩形， 剩余部分（阴影部分）恰好做成一个底面积为 的有盖长方体纸盒， 求剪去的小正方形的边长． （第 21 题） 【答案】 【解析】设剪去的小正方形的边长为 ． 由图可知，纸盒的高为 ，底面的一边长为 ， 另一边长为 ． 由底面积为 得 ， 整理得 ，即 ， 因式分解得 ，所以 ，． 当 时，，不符合题意，舍去． 所以剪去的小正方形的边长为 ． 22．（本题 12 分）如图， 为锐角 边 上一点．用没有刻度的直尺和圆规分别 作出满足下列条件的 ．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） ① ② （1）在图①中， 与 相切于点 ，且与 也相切，切点为 ； （2）在图②中， 与 相切于点 ，与 相交于点 、，且 ． 【答案】作法见解析 【解析】（1）①作 的平分线 ； ②过点 作 的垂线，与 交于点 ； ③以 为圆心、 为半径作 ， 的延长线与 的交点即为切点 ． （2）①过点 作 的垂线，交 于点 ； ②取 的中点 ，以 为圆心、 为半径作 ，交 于另一点 ． 理由：，所以 与 相切于点 ； 又 是 的直径，所以 ，故 ． 在 中，，所以 ； 而 与 是同一个角， 所以 ． 23．（本题 12 分）如图， 为 直径，点 在 上，，垂足为 ， 交 于点 ，直线 与 的延长线交于点 ，且 平分 ． （第 23 题） （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接 ．因为 ，所以 ； 因为 平分 ，所以 ； 所以 ，从而 ． 因为 ，所以 ， 于是 ，即 ． 又 是 的半径，所以 是 的切线． （2）连接 ．因为 ，，所以 是等边三角形， 故 ．由 得 ， 所以 ． 又 ，所以 是等边三角形，． 而 ，所以 ，从而 ． 所以 与 同底 且等高，． 所以 ． 由 得 ，故 ． 24．（本题 14 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的 图象交于点 ，点 ． （第 24 题） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于 的不等式 的解集为　______； （3）点 在 轴上，连接 、．若 的面积为 ，求点 的坐标． 【答案】（1），；（2） 或 ； 【解析】（1）把 代入 ，得 ，所以反比例函数为 ． 把 代入，得 ，即 ． 把 、 代入 ，得 ，， 解得 ，，所以一次函数为 ． （2）由图象知，直线在双曲线下方（不含交点）的部分对应的 的范围是 或 ． （3）设直线 交 轴于点 ，则 ；设 ，则 ． 直线 与 轴交于 ，把 分成 与 ， ， 所以 ，得 ，即 或 ． 所以点 的坐标为 或 ． 25．（本题 14 分）在 中，，点 是 的中点， 点 是 外一点，连接 、、，且 ． 图 1 图 2 图 3 （1）如图 1，，点 、 在直线 的两侧，则 　______； （2）如图 2，，点 、 在直线 的同侧，连接 ．试探究：线段 与 、 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，， 是 的外接圆，点 为 上一点，连接 、， 若 ，，点 在劣弧 上，则 面积的最大值为　______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为 ， 是 的中点，所以 ； 又 ，所以 ，即 、、、 都在以 为圆心、 为半径的圆上． 由 得 ，所以 ，． 因为点 、 在直线 的两侧， 与 是圆内接四边形中相对的两个角， 所以 ． （2）．理由如下： 由（1）同理，、、、 都在以 为圆心的圆上， 是直径， 所以 ．因为 ，所以 ． 又 ，， 所以 ，即 平分 ． 作 于 ， 于 （如图4）． 因为 ，，，且 （角平分线的性质）， 所以四边形 是正方形，． 在 与 中，，， 所以 ，从而 ． 由图可知 ，， 所以 ． 图 4 图 5 （3）因为 ，， 是外接圆，所以 是直径，，半径 ． 作 于 （如图5）．由 知 是 的中点，，， 所以 ，． 在 中，，，，有 ，所以 ， ． 过 作 于 ，则 ，得 ． 因为 为定值，所以 的面积由点 到 的距离决定； 劣弧 上到 距离最大的点是射线 与劣弧 的交点 ， 此时最大距离为 ． 所以 的最大值为 ． 【补充解法一】（第（2）问：旋转构造法） 由（1）同理，、、、 四点共圆，． 因为 且 ，所以 ， 又 ，即 ． 将 绕点 旋转 ，使 与 重合，点 落在点 ，点 落在点 ． 则 ，，所以 ；且 ． 因为 ，而 ，所以点 在线段 上， 即 ，所以 ． 【补充解法二】（第（3）问：切线法） 中 为定值，问题转化为求点 到直线 的最大距离． 过点 作直线 ，当 与 相切时 的面积最大（同底等高）． 设切点为 ，则 ，于是 ，即点 在射线 与劣弧 的交点处． 由（3）中已求得 ，，， 所以点 到 的距离为 ， ． 九年级数学试题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $