精品解析：安徽合肥市第八中学2026-2027学年高一上学期11月学情调研数学试题

合肥八中2026-2027学年高一上学期11月学情调研 数学 一、单选题（40分） 1. 全集，集合满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以集合可能是， 因为，所以可能是， 因为，所以 2. “”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】先看充分性：当时，对，，当且仅当时取等号.所以“”是“，”的充分条件； 再看必要性：对，. 设， 要使在上恒成立，须有，即，而不是必须要. 所以“”不是“，”的必要条件. 综上，“”是“，”的充分不必要条件. 3. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】“，使成立”是假命题， 则 “，使成立”是真命题， ，解得， 实数的取值范围是. 4. 已知，，，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，. 对于选项A：可得，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于选项B：可得，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：可得，解得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为， 所以的最小值不为，故D错误. 5. 已知函数 ，则函数 的图象关于原点 对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式求解出其关于原点对称的函数解析式，再对照图形选出正确答案即可. 【详解】设函数关于原点对称图像上任意一点的坐标为，其关于原点的对称点在函数图像上，即， 所以，所以时，，所以选项A正确. 6. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的性质和特点进行分类讨论即可计算. 【详解】当时，， ，化简得：，解得：； 当时，， ，化简得：，解得：； 综上所述，实数的取值范围是. 7. 已知，，，若关于的不等式组的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，是方程的两根，是方程的两根， 则，，，， ，， 则， 即恒成立，故A，B，C错误，D正确. 8. 是定义在上的奇函数，对任意，且，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据奇偶性、单调性的定义和性质可确定在上单调递增；将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，解不等式可求得结果． 【详解】不妨令，则由得：， ， 设，则在上单调递增， 又， 为定义在上的奇函数，在上单调递增， 由得：， 即， ，解得：或． 二、多选题（18分） 9. 若“或”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】因为“或”为真命题， 所以或, 因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 所以, 综上所述，所以或, 对于A，不满足或，故A错误； 对于B，满足或，故B正确； 对于C，不满足或，故C错误； 对于D，满足或，故D正确； 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知条件，通过基本不等式、“1的代换”、配方法等方法逐一验证各选项的最值，注意验证等号成立的条件是否满足. 【详解】选项A：由基本不等式，对正实数，有，当且仅当（即）时等号成立， 因此的最大值为，而非，故A错误， 选项B：对平方得，由选项A知，因此， 代入得，即，当且仅当时等号成立，故其最大值为，B正确， 选项C：由完全平方公式，，因此， 由基本不等式知（即），代入得，当且仅当时等号成立，故其最小值为，C正确， 选项D：因为，所以，因此， 由基本不等式，，当且仅当（即）时等号成立，结合，可解得，均为正实数，满足条件，因此原式的最小值为，D正确. 11. 设集合，，函数，则（ ） A. ，，使得为减函数 B. ，，使得为增函数 C. ，，使得为奇函数 D. ，，使得为偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可. 【详解】，，函数的定义域为， 对于AB，，若时，， 当时，；；，函数有增有减，所以函数不是单调的； 当时，；同样；，函数有增有减，所以函数不是单调的； 若时，，恒成立， 当时，，单调递增； 当时，，单调递增；所以A错误，B正确 对于C，因为，若函数是奇函数：， 即， 因为，所以， 对于任意的成立，只能；也就是只有，函数才有可能是奇函数；时不可能，所以C错误； 对于D，若函数是偶函数：，即， 因为，所以， 对于任意的成立，只能；也就是只有，函数才有可能是偶函数；时不可能，所以D正确； 三、填空题（15分） 12. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为. 13. 若函数是奇函数，且在是减函数，且，则____________，不等式的解集是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义求出的值，再结合奇函数在对称区间单调性一致的性质，分区间判断的符号，将拆分为两个不等式组求解，最终得到不等式的解集. 【详解】由函数是奇函数，， 又函数在是减函数，且， 当时，，当时，， 由函数的图像关于原点对称，当时，，当时，， 由，，或，或， 不等式的解集是. 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有个元素；②．若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为___________． 【答案】123 【解析】 【分析】判断集合中元素的最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可. 【详解】因集合满足：①每个集合恰有个元素；②. 故集合中一定分别含有个不同数值. 由题意， 中最大的三个数为， 所以， 当且仅当三个集合最大数恰好为，取等号； 此时，三个集合除去各自最大值外，每组还需要个元素， 全集中最小元素必须作为其中一个集合的最小值， 要保证余下两个集合的最小值尽可能大可将剩余数分为连续三段，每段个数： ， 搭配三个最大值， 可得， 此时， 则取得最大值为. 四、解答题（77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若命题，是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（1），计算与即可； （2）由题意得且，此时可计算出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，又， 所以，； 【小问2详解】 若命题，是真命题，则. 而或，且， 故或，解得或， 即实数的取值范围是或. 16. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由韦达定理，得，解得； 所以原不等式化为，即， 解得或，所以原不等式的解集为． 【小问2详解】 因为，所以； 因为，不等式恒成立，即； 解得，故所求实数的取值范围为． 17. 如图，记（）左侧封闭图形面积为． （1）求，； （2）求函数解析式； （3）若当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设相关点，结合图象以及面积公式分别求，即可； （2）分和两种情况，结合图象以及面积公式求函数解析式； （3）当时，，分析可得恒成立，结合一次函数运算求解即可. 【小问1详解】 设、与轴的交点分别为、，与折线的交点为， 若，则，所以； 若，则，，所以. 【小问2详解】 若，则，所以； 若，则，，所以； 综上所述：. 【小问3详解】 当时，则， 不等式即为，可得恒成立， 因为，则，可得恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知关于x的不等式，其中； （1）设此不等式的解集为A，若，求实数k的取值范围； （2）当k变化时，试求不等式的解集A； （3）对于不等式的解集A，满足．试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用列举法表示此时的集合B；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 当时，；当时，；当时， （3）能；当时，的元素最少，共个， 【解析】 【分析】（1）将代入原不等式求参数范围； （2）按照的符号分类，并比较两个零点的位置； （3）先判断何时有限，再利用端点的取值确定整数元素个数的最小值． 【小问1详解】 由，有即． 因为，所以． 【小问2详解】 当时，原不等式为，解得，故． 当时，原不等式可化为 若，令，则 由于，原不等式等价于，解得，故． 若，由基本不等式得，等号当且仅当时成立． 此时原不等式等价于，解得或，故． 当时，该结果也成立，且不取． 【小问3详解】 由（2）知，当时，包含区间，所以有无限多个元素； 当时，是有界区间，所以是有限集． 设，则． 因此整数必在中，故至少有个元素． 当时，，此时，所以 当且时，基本不等式取严格不等号，即，因而，此时至少有个元素． 所以使中元素最少的只有，此时共有个元素． 19. 已知集合，对于，定义与的差为与之间的距离为. （1）当时，设，求； （2）证明：，有，且； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】（1），； （2）设，， 由题意知，所以； 从而， 由题意可知， 当时，， 当时，， 所以； （3）设，， 记，，，记； 由（2）可知； ， ， 因为，， 所以中1的个数为；中1的个数为； 设是使成立的的个数，则， 由此可得三个数不可能都是奇数， 即，，三个数中至少有一个是偶数． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接代入公式计算即可； （2）对和分类讨论，分别求得均成立，即可得出结论； （3）根据（2）中的结论，分别求得中1的个数，设是使成立的的个数，则，由此可得三个数不可能都是奇数. 【小问1详解】 由题意可知； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026-2027学年高一上学期11月学情调研 数学 一、单选题（40分） 1. 全集，集合满足，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 5. 已知函数 ，则函数 的图象关于原点 对称的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若关于的不等式组的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 8. 是定义在上的奇函数，对任意，且，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、多选题（18分） 9. 若“或”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是 11. 设集合，，函数，则（ ） A. ，，使得为减函数 B. ，，使得为增函数 C. ，，使得为奇函数 D. ，，使得为偶函数 三、填空题（15分） 12. 不等式的解集为________ 13. 若函数是奇函数，且在是减函数，且，则____________，不等式的解集是____________． 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有个元素；②．若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为___________． 四、解答题（77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若命题，是真命题，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 如图，记（）左侧封闭图形面积为． （1）求，； （2）求函数解析式； （3）若当时，恒成立，求m的取值范围． 18. 已知关于x的不等式，其中； （1）设此不等式的解集为A，若，求实数k的取值范围； （2）当k变化时，试求不等式的解集A； （3）对于不等式的解集A，满足．试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用列举法表示此时的集合B；若不能，说明理由． 19. 已知集合，对于，定义与的差为与之间的距离为. （1）当时，设，求； （2）证明：，有，且； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $