精品解析：安徽省无为第一中学2026-2027学年第一学期高一第一次段考数学试卷

无为一中2026—2027学年度第一学期高一第一次段考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次不等式的解集为或，则一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，其中表示，中的最小者，若在区间上的最大值为，最小值为，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设，，则“”是“”的充分不必要条件． B. 设，是实数，那么“”是“”的必要不充分条件． C. 函数的定义域为的充要条件是“”． D. 设，则“函数在区间单调递减”的必要不充分条件是“”． 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A. B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 三．填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是上的奇函数，当时，，则_______. 13. 比较大小：__________填”或“ 14. 已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 四．解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为，集合． （1）求； （2）若集合，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）求不等式的解集． 17. 近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为 （1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？ （2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？ 18. （1）已知，，若，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等号．利用此结论解决该问题：若，求的最大值，并求取得最大值时的值． 19. 已知二次函数（）满足，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无为一中2026—2027学年度第一学期高一第一次段考 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的定义可排除；由交集定义排除；根据补集和交集的定义可知正确. 【详解】， 错误； ，则错误； ，正确. 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合间的关系、集合运算中的交集和补集运算，属于基础题. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定规则为：将存在量词改为全称量词， 保持量词对应的取值范围不变，同时否定原命题的结论， 原命题为“”的否定是“”， 则选项D正确. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各项函数的奇偶性，及在上的单调性． 【详解】对于A，由是奇函数，故A错误； 对于B，由满足，是偶函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，由是偶函数，但在上单调递减，故C错误； 对于D，由既不是奇函数也不是偶函数，故D错误． 4. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 5. 已知一元二次不等式的解集为或，则一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次不等式的解集为或， 则的两个根为，，利用韦达定理求后代入不等式求解. 【详解】一元二次不等式的解集为或， 则的两个根为，， 根据韦达定理有，代入得， 一元二次不等式转化为，即， 解集为. 6. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得在上为减函数，再根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，对任意，，都有成立， 则在上为减函数， 所以，解得，则实数的取值范围是. 7. 设函数，其中表示，中的最小者，若在区间上的最大值为，最小值为，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，由图即可求出的最大值和最小值. 【详解】先画出函数的图象，再画出函数的图象，最后画出的图象，如图所示： 由图可知，在区间上的最大值为，最小值为， 则当，时，取最小值为； 当，时，取最大值为. 8. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围. 【详解】当时，，，可化为， 即存在，使得成立， 的对称轴为， 在区间单调递增， 只要，即，解得：， 又，， 当时，可化为，此时不等式恒成立， 综上所述，． 故选： 【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 二．多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设，，则“”是“”的充分不必要条件． B. 设，是实数，那么“”是“”的必要不充分条件． C. 函数的定义域为的充要条件是“”． D. 设，则“函数在区间单调递减”的必要不充分条件是“”． 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合平方的非负性、绝对值运算性质、函数定义域求解、二次函数单调性等高中核心知识点，逐一验证每个选项的充分性与必要性是否成立； 【详解】选项A：若，由平方的非负性可知且，必然推出，充分性成立； 若，仅需或，例如时，但，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确。 选项B：若，则，同号，此时，必要性成立； 若，说明，同号或至少一个为0，例如，时等式成立，但不满足，充分性不成立。 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确。 选项C：函数的定义域为，等价于对任意恒成立； 当时，表达式为恒成立，满足定义域为； 当时，需满足且判别式，解得， 综上可得函数的定义域为的充要条件是“”，C错误； 选项D，设，开口向上，对称轴：， 函数在区间单调递减，要求， 因此是函数在区间单调递减”的必要不充分条件．D正确； 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A. B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 三．填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是上的奇函数，当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性，结合时函数解析式，即可求解. 【详解】由是上的奇函数，当时，， 则， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求值问题，其中熟记函数奇偶性的转化作用是解答的关键，属于基础题. 13. 比较大小：__________填”或“ 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以比较两分母的大小即可 【详解】因为，且， 所以 所以 故答案： 14. 已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可． 【详解】， 因为，则，，所以， 要使的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集， 所以， 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以， 综上，实数的取值范围是． 四．解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为，集合． （1）求； （2）若集合，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或， 【解析】 【分析】（1）利用根式、分式的性质求函数定义域，解分式不等式求解集确定集合，再由集合的交补运算求集合； （2）根据已知有，讨论是否为空，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由的解析式知，可得，故， 所以或， 由，故， 所以或； 【小问2详解】 由，即， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，或 16. 已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）奇函数，定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）设， 则， 因为，，分母大于零，所以， 即在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义即可求解； （2）作差后因式分解，由，，即可求解； （3）由奇偶性与单调性化为，再由定义域即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 又在上单调递增，所以， 由得，由得，由得， 所以不等式的解集为． 17. 近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为 （1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？ （2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）14台 （2）35台，最大利润为2050万元 【解析】 【分析】（1）由题意可得平均每台设备的年利润为，化简后利用基本不等式可求得答案； （2）分和两种情况分别结合二次函数的性质和基本不等式可求得的最大值. 【小问1详解】 因为当时，. 则平均每台设备的年利润为， ，当且仅当时取等号， 由于，，且， 故当生产14台时，平均每台设备的年利润最大. 【小问2详解】 当时，， 对称轴为， 所以当时，取最大值，（万元）； 当时， （万元）， 当且仅当时等号成立. 因为， 故当产能为35台时，所获年度总利润最大，最大利润为2050万元 18. （1）已知，，若，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等号．利用此结论解决该问题：若，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】（1）的最小值为. （2）的最小值为. （3）的最大值为，取得最大值时. 【解析】 【分析】（1）常数代换法计算最小值； （2）换元法结合基本不等式计算得到最小值； （3）先把变形，结合阶均值不等式计算得到最大值； 【详解】（1）利用乘1法，因，故 由基本不等式，，当且仅当时取等， 故原式最小值为. （2）展开原式得 令，因，故，代入得，， 原式化为，当即时取等，故最小值为. （3）将原式变形为 对四个正数应用阶均值不等式，其和为为定值， 故，即， 整理得，当且仅当即时取等. 19. 已知二次函数（）满足，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． 【小问2详解】 ，所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． 【小问3详解】 ，，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $