四川省成都市第七中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

2026—2027学年度上期高2027届期中试卷 数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．样本数据120，150，180，200，220，250，300，350的第一四分位数为（ ） A．150 B．165 C．180 D．200 4．已知向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 5．展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 7．为得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A．横坐标先缩短为原来的倍，再右移个单位 B．先右移个单位，横坐标再缩短为原来的倍 C．横坐标先伸长为原来的倍，再左移个单位 D．先左移个单位，横坐标再伸长为原来的倍 8．已知圆与圆，过x轴上点P作两条垂直直线分别与圆和圆相切，满足条件的P点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，下列说法正确的有（ ） A．到抛物线准线的距离为 B．设，则 C．若，则 D．若，则线段中点横坐标为 10．在中，，，分别为，，所对边，，下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知偶函数的导函数为，和均定义在上，且，则一定有（ ） A．是奇函数 B． C．存在极值 D．存在最值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为等差数列的前项和，若，，则________． 13．设，是双曲线的左、右焦点，点在上，且有，则________． 14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 16．如图，在三棱锥中，，． （1）若，证明：平面平面； （2）设二面角的大小为． （ⅰ）用表示； （ⅱ）若，求与平面所成线面角的正弦值． 17．已知数列满足 （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）记，对任意，恒有成立，求正整数的最小值． 18．某供应商向工厂供应精密零件，每箱10件．按产线不同，到货的箱子分为两类：A类箱每箱恰有1件次品，B类箱每箱恰有3件次品．长期统计表明：到货的一箱来自A类的概率为，来自B类的概率为． （1）检验员从到货的一箱中随机抽取1件零件检验，若抽到的是次品，求该箱为B类箱的概率； （2）现已知检验的一箱为B类箱，检验员从这箱10件零件中不放回地随机抽取5件逐一检验，设抽到的次品件数为，求的分布列和期望； （3）现已知检验的一箱为B类箱，在第（2）问抽检方案中，检出的每一件次品都需更换1个专用配件进行返修．车间当天事先准备了个该配件（）：若次品件数，缺货部分需紧急调货，每个额外支出元（）；若，剩余配件作报废处理，每个损失200元．以总损失（紧急调货支出与报废损失之和）的期望为决策依据，若当天最优备货量为，求的取值范围． 19．已知函数． （1）求曲线在在处的切线斜率； （2）求证：当时，； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年度上期高2027届期中试卷 数学答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 P A D B B A B D 二、 多项选择题 9 10 11 BD ACD ABD 三、填空题 12.7 13.2或6 14.a>0且a≠1 14.提示： 四、解答题 15.解：1)由题设知2a+之 Va2-b2√2 2， x2 解得a=V2,b=1,即椭圆C的方程为2 +y2=1. …5分 x2 (2)联立2 +y2= 与y=x+m,消去y,可得3x2+4mx+2m2-2=0, 其中△=(4m-43-(2m2-2)=83-m2)>0 8=+F石48-m-45 而 33 …10分 解得m=1,满足△>0， 故m=+1 …13分 16.解：(1)因为OA⊥OB,OA⊥BC,OB、BCc平面COB,且OB BC=B, 所以OA⊥平面OBC, 因为OA⊥平面OBC,OAC平面OAB, 所以平面OAB⊥平面OBC. …5分 (2)以O为坐标原点，以OA、OB为x轴、y轴正方向，z轴垂直平面OAB,建系如图， (i)由4(20,0）、C5cos0L,v5sim0）,可行 AC=V(W3cos0-2)2+(1-0)2+(3sin8)2=V8-4v3cos0=2V2-V3cos0 …9分 0=π （)设平面08C的法向量为1=(cy),0B=(0,20),由0-6.有 n.0B=0,f2y=0 有n-oc=0即3x+2y+v5z=0,取2=-5，则n=(0,-5) …12分 设AC与平面OBC所成线面角的大小为a, c-( n.AC 2√2 2V22 则 15分 1a+。 3 17.解：(1)由题设知当n之2时，2”22中2， 号1 当n=1时，2 1 故2了是以2为首项、2为公比的等比数列， 产（引 ,即0n=2”+(-1)” …7分 T=1=1<m (2)一方面，由4且m∈N,可知m之2：…8分 另一方面，4=221-1=222+22-1=222+(22-1）≥22=4 …14分 故正整数m的最小值为2.… …15分 18.解：(1)设“到货的一箱为A类箱”为事件A,“为B类箱”为事件B,“抽到的1件是次品”为事 件C。由全概率公式 Pg-Ara小rG-品0品-品-云. “抽到次品”发生的条件下，该箱为B类箱，由条件概率： 33 P(BC)_1010=9 -X P(BI C)= P(C)1616 100 …6分 (2)X服从超几何分布，可能取值为0,1,2,3， x-0是动- P(X=1)=CC-=1055 C。25212 P(X=2)=CC-105s C。.2522 P(X-3)=CC21.1 C。25212 分布列为 X 0 1 2 3 P 1 5 5 1 12 12 12 12 E(0-0a+ +2x +3×1=183 12 12122 …12分 (3)记总损失为F(m）,按期望的定义，逐一求出三个方案的总损失期望： E[F(]=200x+0x5+ax5+ 150.7 -+a× +2a× 121212 412312, [re]=40x7+20mx名+0x3+×日-30 a 012012412-312“, LF6-60w400+20m2+0合-@020010w-测 12 “最优备货量为m=2”即“m=2时的期望损失严格小于其余两个方案”，可得 E[F(2】<E[F(小： +350<7a+50 312 E[F(2]<E[F(3)]: 1 350∠300， 12a+ 解得200<a<2200 …17分 19.解：(1)由题设知f'()=2 xsin+(6+x2)cosr-6 f(π)-(+12），曲线在y=f()在x=元处的切线斜率为(+12) …4分 （2) f(x)=2xsinx+(6+x2)cosx-6 f"(x)=4xcosx-(4+x2)sinx fm(x)=-x(6sinx+xcosx) 专.r闪e0.eroo-0.rt f()<f八(0)=0，f()单减：故f(f(0)=0. …10分 m6+m60 不等式两边同乘6，经整理， -+m时0 sin->0 i 经累和，可得台 )(2n+1) 6 定+石圆不等式左边获正，3 今86-着-sm-1专os,g因=-，g7-or g到.ga0,回=0,ge 8g0)=0,g创底版go)-=0,m>r 6, X=- 取i,ieN, 财-+动-+沿高 7 15 1 .sinl<- 当n=1时，6 36108,原不等式右边成立， 当n≥2时，经累和，可得 -到+动叶66小品 原不等式右边获证，…I7分