广西壮族自治区贺州市八步区贺州第一高级中学2026-2027学年高三上学期11月期中测试数学试题

贺州第一高级中学2026-2027学年秋季学期期中测试 高三数学 (试题满分150分考试时长120分钟) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求 1.已知集合A=1,2,3},B={xx>2},则A∩B=() A.{xx≥1} B.{2,3} C.3} D.x>2 2.函数v=io:(2x-3)的定义域为() A.(-0,2] c〔m到 3.已知向量a=(-2m),万-（-2若a+0列ia,则m=（) A. B.1 C.-1 D. 8 3 4.设等差数列{a}的公差为d,若4+a=6,2-4=5,则d=() A.1 B.4 C.3 D.2 5.甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有() A.6 B.12 C.24 D.36 6.己知(1+x)1-2x)=4+4x+ax2++4x,则a1的值为() A.-9 B.-7 C.9 D.7 7.已知a=(e-0.1)*1,b=e,c=(e+0.1)-1,则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 8,已知据圆CG号1，左焦点为P,在杨面C上取三个不同点RQ足，且 ∠PF0=∠O限=RPP-,则品R的最小值为() 1 2 3 A.45 B.42V5 c.43 D.43 36 39 39 33 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若复数z满足i·二=1+3i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是() A.二=3-i B.z的模为4 C.z在复平面内对应的点位于第一象限 D.z-2z=-3-3i 试卷第1页（共4页） 10.下列说法中正确的是() A.零向量与任一向量平行 B.方向相反的两个非零向量不一定共线 C.单位向量是模为1的向量 D.方向相反的两个非零向量必不相等 11.己知Sn是等差数列{a}的前n项和，满足S2023<S224<S22,设bn=4a+14+2,数列 的前n项和 b 为T,则下列结论中正确的是() A.423<0 B.使得Sn<0成立的最大的n值为4045 C.420224023>202442025 D.当n=2023时，Tn取得最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆锥的侧面展开图中扇形中心角为牙，底面周长为2元，这个圆锥的侧面积是 13.已知sina+5 +5=，,则cos2u=· Int 14.已知函数f(x)=x+nx,g(x)=xnx,若f(x)=2lnt,g(x2)=t,则的最大值为 xx 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且a=3,S=35 (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)求数列 的前n项和T. aa+l 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-ABC1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B是边长为2的正方 形，D为AB中点，且AD=√5. B 试卷第2页（共4页） (I)求证：CD⊥平面ABBA: (2)已知P为线段B,C中点，求直线AP与平面ACD所成角的正弦值. 17.(15分)某市为了改善交通状况，实行“小红帽'志愿者服务，协助交警参与交通疏导.现对某单位参 与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次 数.根据所得数据，按[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]分成六组，得到如图所示的频率分布 直方图. ◆频率/组距 0.08 0.05 0.03 00 51015202530次数/次 (1)求图中a的值： (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 1817分)卫知格国C:+号-1ab>0)的上顶兰为4Q.且上项点与右顶点之间的连长为 1o. (1)求C的方程； 试卷第3页（共4页） (2)过点M31） 2'2 的直线与C交于E,F两点，且M为EF的中点，求直线EF的方程： (3)过点A的直线l与C交于另一点P,O为坐标原点，直线OP与C交于另一点Q,若△APO的面积为 ?,求直线的方程， 19.(17分)已知函数f(x)=xlhx,g(x)=ae-x2. (1)求函数f(x)的最值： (2)讨论函数8(x)在(0，+o)上极值点的个数： (3)设函数h(x)=)+8( ,若()在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足 s)h()hs)41-e ,求实数4的取值范围. e2 试卷第4页（共4页） 《贺州第一高级中学2026-2027学年秋季学期期中测试（高三数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C ⊙ A D AD ACD 题号 11 答案 ACD 1.C 【详解】集合A=L,2,3},B={xx>2}表示大于2的实数， 在A中大于2的元素只有3，故A⌒B={3}, 2.B 【详解】由log(2x-3)≥0→0<2x-3≤1→3 所以师求福数的定义歧为后 故选：B 3.A 【详辩】因为a=(-2网.6-（侵-习小，所以a+5=(m-习， 因为(a+列a,所以-方-20-2小-0.解得m=至 4.D 【详解】等差数列{a}的公差为d,.a=4+(n-1)d, 4+4=2a+6d=6 (24-4=4+4d=5解得d=2,4=-3. 则 故选：D 5.B 【详解】由题意可知：先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有A种排法， 根据分步乘法计数原理共有：2AH12种排法， 故选：B 6.B 【详解】由题意可得1+x)1-2x)=(1-2x)4+x(1-2x)4,然后分别求出(1-2x)4和x(1-2x)4中x项的系 数， 对于(1-2x),其展开式通项为T+=C(-2)x*，当k=1时，x项的系数为-8， 对于x(1-2x)4,其展开式通项为xTH=C4(-2)x+1,当r=0时，x项的系数为1， 答案第1页（共11页） 所以x项的系数4=-8+1=-7，故B正确 故选：B 7.D 【详解】要比较a,b,c等价于比较na,b,lc的大小， hna Inb Inc 等价于比较 (e+0.1)(e-0.1)'(e+0.1)(e-0.1)'(e+0.1)(e-0.1)i 即比较血(c-0l,。(e+o) e-0.1’e2-0.01’e+0.1 构造函数f)血x,f()=1-n 令f'(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e, 所以f(y)在(0，e)单调递增，(e,+o)单调递减. 所以me& n(e+o.1=fe+0.), 因为a-e-aea产8h e-0.1 所以。00最大，即a,6,c中6最大 设x=e-0.1,x3=e+0.1,f()=f(3)=mm<三，1≠x3, e 结合f()的单调性得，<e<, 光证明n总兰，夷中0名e 2(-1) 即证n主<2-)- x为+3玉+1 令t=主∈(0,1,0=ht-2-卫，其中0<1<1， X3 t+1 则h0=14=-1 Γtt+1)2tt+1) >0, 所以，函数h()在(0,1)上为增函数，当0<t<1时，h(t)<h)=0, ,-一<+3 所以，当为>名>0时，n飞-h为2 则有2*5， 由f(x)=f()=可知 n出_n=m, 所以2当=2书-考=2 <x1+3, hx-lhx3m(31-x3）m 因为m<,所以x+x>2e,即x>28-, 答案第2页（共11页） 因为x<e,f()在(0，e)单调递增， 所以f(1)>f(2e-),即f()>f(2e-3), 因为+x2=2e,所以x1=2e-x2,所以f(2e-x3)>f(2e-x3), 即2e-x2>2e-x3,.x2<x3, 因为e<x3<x3,f(d在(e,+o)单调递减. 所以f(x)>f()=f(), 即血(e+0.1、h(e-0.1) 即c>a, e+0.1e-0.1 综上，a<c<b. 故选：D 8.C 【详解】在椭圆C中，a=6,b=3√3，c=3,如下图所示： D E 椭圆的左准线为x=一 -=-12,以F为顶点，x轴的正方向为θ始边的方向，FP为角日的终边， 当0<6<C时，过点P作PN11,过点F作FM⊥PN,垂足分别为点N、M, 2 易知四边形BN为矩形，则MN=E列=女-C=12-3=9, P 1 由椭圆第二定义可得 PN =e=2,则PWM=2pF, 义因为N朝，剥∠P2N=6,所以，ca6所以，PM=PrcB, 因为2N=|2w+,即24P=Pcos9+9,所以，P2asg 9 同理可如，当0为任意角时，等武P2s2” 一仍然成立， 同理可得O- 9 9 FR= 2-cos0+ 2π， 3 2-cos+4r, 3 答案第3页（共11页） 4π 6-3cos0+ 因此，1 +-2-co0,42o0+ 3 ppit roR9 0 -音owa+ro-}iaa+】 41 2-sine 3 Γ392 392 当面行-1时，西园房取得发小9 12,3 39 故网十回项的最小值为。 1,23 39 故选：C 9.AD 【详解】复数2=1+31=3-1，在复平面内对应的点是B,-),位于第四象限， z=3+i,=V32+1P=0,-22=3-i-2(3+i0=-3-3i 故答案为：AD. 10.ACD 【详解】解：对于A,零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确： 对于B,根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误： 对于C,根据单位向量的定义，可知C项正确： 对于D,方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确. 故选：ACD 11.ACD 【详解】对于A：S2024-S2023=a2024>0,S2024-S2022=4023+4024<0, .4223<0且42>a024,由等差数列性质，4<0，公差d>0,A正确； 对打B,及w-4024a>05w=106<口a+a小水0， 2 所以S<0成立的最大的n值为4046，B错误； 对于C:由等差数列性质41<…<a22<4023<0<a24<a25<…, 答案第4页（共11页） 且4023+4024=0202+4025<0， 2023>4024,4o22>a2o2s, 则(-402)(-a2023）>a202442025，即4024023>42442025，C正确： 1 1-1112), 对于D,么.=aa42,则数列云aaH2aa2a ana aa2 2d adz anan2 由于>0，可得要使C取得最小值，需。取得最小值， 需先满足a,+1a,2>0,所以n≥2023或n≤2021， 由C选项分析知：443>凸43>…>4202242023>0,0<4202442025<4254026<…， 且224023>40244225，故4+14+2取最小时，即n=2023, 上(1-1一)最小，故D正确. 此时2da,m an+hamt2 故选：ACD 12.3π 【详解】设圆锥母线长为1，扇形圆心角为以，则2π=亚×1，故1=3， 3 则s=12=1×2×32=3元 23 故答案为：3π 13.-05 【详解】因为sin +所以sa- 所以cos2a=2cos2a-1=2× 故答案为：号 14.2e 1 【详解】由f(x)=2ht得：为+lnx=ln(xe)=lnt2: 由8(x)=t得：xnx2=hx2e=tP,.lnt2=lhn(nx)+lnx2; ..+In=In (Inx)+In, m(x)=x+Inx,.m()=m(x), 答案第5页（共11页） :m(x)=1+}>0,m(s)在(0，+∞)上单调递增，=血x IntIntInt 3为3nx2t2 令h0-则@-。 Int 则当t∈(0，Ve)时，'(t)>0;当t∈(Ne,+o)时，(t)<0; ∴(t)在(0，ve)上单调递增，在（√e,+∞）上单调递减， a0=a4(回-克甲岩版大点为品 故答案为：2 15.(1)a=2n+1 (on 【详解】(1)设等差数列{a,}的公差为d,则s=54+54d=5a+10d=35, 2 又4=3，则d=2, 则数列{a}的通项公式为a=3+2(n-1)=2n+1; 1 1 (2) 111 0,4+1(2n+1)(2n+3)22n+12n+3 +…+、1 则取0片 1）-111）=n 2n+12n+3232n+36n+9 16.①在三棱柱ABC-ABC中，A4=BR=2,AD=AB=1,4D=√5 2 AD2+AA2=5=AD,则AA⊥AD: 又四边形BCCB,是正方形，则B,B⊥BC,BB/AA,所以AA⊥BC. 又AD∩BC=B,AD,BCC平面ABC,因此AA⊥平面ABC. 又CDc平面ABC,所以CD⊥AA 在等边△ABC中，D为AB中点，则CDL AB, 又AB∩A4=A,AB,A4C平面ABB,A,所以CD⊥平面ABBA. (2)25 5 【详解】(1)略 (2) 答案第6页（共11页） 取BC中点为O,BC1中点为Q,则OA⊥BC,OQ⊥BC· 由（1)知，AA⊥平面ABC,OAC平面ABC,则OA⊥AA.又B,B/AA,故OA⊥BB 又BB,⌒BC=B,BB,BCC平面BCCB,则OA⊥平面BCC1B,. 即OA,OB,OQ两两垂直. 以O为坐标原点，OB,O0,OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则o(0,0,0),A(0,0,V3),A(0,2,3),C(-1,0,0),D 2 B1(1,2,0), 因为P为线段B,C中点，所以P(0,1,0). cD- c4=1,2,3),AP=(01,-5 设平面ACD的法向量为i=(x,y,z), CD=0 3x+5 -z=0 则 即 2 ,故可取=1,1,- CA=0 x+2y+W3z=0 设直线AP与平面ACD所成角为a, 0×1+1×1+(V5)×(V5) 则sina=cos(AP,= 425 0+1+(5V2+1+ 2x55 所以直线AP与平面4CD所成角的正弦值为25 17.(1)a=0.015 (2)105 (3)15.3125 【详解】(1)由频率分布直方图可知(0.01+0.03+0.05+0.08+2a×5=1,解得a=0.015. (2)由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为(0.08+0.015+0.01)×5=0.525， 答案第7页（共11页） 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为200×0.525=105. (3)因为(0.015+0.03+0.05)×5=0.475(0.5,0.475+0.08×5=0.875)0.5， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在[15,20)内. 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则(-15)×0.08+0.475=0.5， 解得m=15.3125,即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125 18.@号+-1 (2)x+3y-3=0 (3)y=±x+1,y=±)+1. 1 【详解】(1)由上项点为A(0,1),得b=1. 又右顶点为(a,0),所以√a2+1=√10，解得a2=9. 所以c的方程为号产-1 (2)设E(,),F(化2，)： 因为M》为取的中点，所以+5=3，男=1，回 又。+时=1，。+店=1，两式相藏得++(-，川+购)=0， 9 9 将①式代入，得五=！ -x3’ 113) 因此直线F的方程为2写-引，即x+3-30. 9 (3)设P(,y)由△MAP的面积为知，直线I的斜率存在，设其方程为y=:+1. 「y=kx+1 +x2+2=0, 1 (9+2=1 由x2 消去y并整理，得 则3= 18k 1+9k2· 由椭圆对陈性可知，o=p0,所以Sg=28m=2行1x-, 答案第8页（共11页） 所以18=？，整理得92-10+1=0 1+9k2 1 解得k=+1或k=± 9 1 故直线l的方程为y=±x+1,y=±二x+1. Γ9 19.0①最小值为-1，无最大值 e (2)当a≤0或a≥2时，8()无极值点：当0<a<2时，8)有2个极值点 e as 【详解】(1)函数f)的定义域为(0，+o),f=nx+x.=nx+1. 令f=0,即Inc+1=0,解得x= e 当xo时.了00，单词港藏：当-日所，)0，卓调道猫 因此f)在x=二处取得极小值（也是最小值），此时f f(x)无最大值 所以函数)的最小值为。，无最大值 (2)由题意知，即讨论g(x)在(0，+∞)上变号零点个数 对g(x)=ae-x2求导可得，g(x)=a.e-2x 极值点的个数等价于g)=0在(0，+∞)上的解的个数，即a=2在(0，+0)上的解的个数. 令)=2x(x>0),则6)=20 er 当x∈(0,1)时，p'(x)>0,(x)单调递增：当x∈(L,+o)时，p'(x)<0,p(x)单调递减， 所以)在x=1处取得最大值，此时p)=2 e 且当x→0*时，p(x)→0；x→+∞时，p(x)→0 答案第9页（共11页） 2 r八2x e e 当a≤0时，a在0，+D上无解，此时8)在0上无极值愈 2x 当0：<时，a=在@+0)上有2个解，此时g)在Qo)上有2个极值点： 当a=2时，a=2在0，m)上有1个解， e 但g'(x)在(0,1)和(1，+∞)上均大于零，故此时8(x)在(0，+o)上无极值点； 当a>2时，a=2在(0，+m)上无解，此时g)在(0，+四)上无极值点； e 综上，当a<0或a≥2时，g)无极值点：当0<a<2时，8)有2个极值点 (3)h)=)+g()xx+ac'-ae --x+lnx,其定义域为(0，+o), 则M--me-1+1.ac-x-D,(x30） 令1()=0，解得x=1或a= ex 设w6-言(x>0,则w)- 1-x er, 当x∈(0,1)时，'(x)>0,(x)单调递增：当x∈(L,+o)时，W(x)<0,W(x)单调递减， 所以w在x-1处取得最大值，此时0-。 且当x→0*时，W(x)→0；当x→+0时，(x)→0. 因此(x)的大致图象如图所示， V (x) e e y-a 因为(x)在定义域内有三个不同的极值点，，x2,x,且x=1为1(x)=0的一个根， 所以w()与y=a有两个不同的交点（不等于1），所以0<a<。 即a=在(Q+)上有两个不同的正根（且不等于1） 不妨设x1<2<书，则0<为1<1=x2<x3, 折以a=。=,即ae=x,ae9=为，也即nx=+ma,n西=为+na 答案第10页（共11页） 所以h(x)h(x)(x)= a-a-a =(ae-1)1-x+hx)(1-+nx)=(ae-101+lnc2. 令pa-(ae-a-ha2c0ca点.则p@-a+ha(eea-》 e 因为y=eha在 o上单调避路，在上单调递减。 1 所以y=36+ena-2在0，上单调递增， e 所以3e+eha- 2<3e+eln1-2e=0, 又1+na<1+ln1=0,所以p(@>0, 所以p@在0，上单调递增， 因为p)-2-a--09 因t当a[是时pa4e. e2 即当a[是时，6))a10c国成立 所以实数a的取值范用是a日 答案第11页（共11页）