精品解析：云南昆明市第八中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

昆八中2026-2027上学期期中考 高二数学试卷 时长：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则公差等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（ ）． A. 频率分布直方图中的m的值为0.15 B. 该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D. 若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 5. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是　　 A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆E上的点P满足轴，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为1，线上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 二面角的大小为定值 D. 异面直线AE、BF所成角为定值 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. 与独立 B. 与对立 C. D. 11. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等差数列，，为方程的两根，则______． 13. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 14. 给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧上运动，，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆过三点． （1）求的方程； （2）求直线被所截得的弦长． 16. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； 17. 已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求的最小值； ②若为角平分线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2026-2027上学期期中考 高二数学试卷 时长：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，再由斜率得倾斜角． 【详解】直线的斜截式方程为，所以斜率为， 设倾斜角为（），则，又，所以． 2. 在等差数列中，，则公差等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列出等式，联立两个等式即可求得结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以,解得， 故选：B 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，借助中间量比较大小即可. 【详解】解：因为 所以. 故选:A. 4. 为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（ ）． A. 频率分布直方图中的m的值为0.15 B. 该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D. 若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 【答案】D 【解析】 【分析】A选项由小长方形的面积之和是可求出，B选项根据最高的长方形中点值判断，C选项根据平均数公式求解，D选项先判断分位数所在区间，然后列方程求解. 【详解】A选项，由小长方形的面积之和是，得到，解得，A选项错误； B选项，由图可知，众数的估计值是，B选项错误； C选项，由图可知，平均值是，C选项错误； D选项，物理成绩排名前70％的学生，等效于求解图中分位数， 由图的频率是，的频率是，故分位数出现在， 设其为，则，解得，D选项正确. 故选：D 5. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意化圆C为标准方程，由两圆位置关系得两圆相交，直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程． 【详解】由题圆C：,则两圆心距为，故两圆相交 由于圆O：与圆C：关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线， 故把两圆的方程相减可得直线l的方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，判断直线l是两圆的公共弦所在的直线，是解题的关键，属于中档题． 6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，求出函数的解析式，代入检验法可判断；根据正弦函数的单调性可判断，根据三角函数的值域可判断. 【详解】由图知，， 所以，解得， 过点，所以， 即，又，所以， 所以， 对于：， 所以函数的图象关于点对称，故错误； 对于：， 所以函数的图象关于直线对称，故错误； 对于：， ， 所以， 取，得， 函数在上单调递减，故错误； 对于：，所以，所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆E上的点P满足轴，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，又则，解方程即可得出答案. 【详解】解：因为轴，令，代入， 可得， ， 因为，所以， 而由， ，即， 解得（舍）或. 故选：A. 8. 正方体的棱长为1，线上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 二面角的大小为定值 D. 异面直线AE、BF所成角为定值 【答案】D 【解析】 【分析】通过线面的垂直关系可证从而判断A，根据三棱锥的体积计算的公式可判断B，根据二面角即为二面角，可判断C，计算异面直线所成的角可判断D． 【详解】因为，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 因为为定值，到平面的距离为， 所以为定值，故B正确； 因为二面角就是二面角，所以其为定值，故C正确； 当，，取为，如下图所示： 因为，所以异面直线所成角为， 且， 当，，取为，如下图所示： 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线所成角为，且， 由此可知：异面直线所成的角不是定值，故D错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】AC 【解析】 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. 与独立 B. 与对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件定义以及概率计算公式判断选项． 【详解】因为两次是有放回的抽取，故每次抽取的结果相互独立，可判断事件与独立，故A正确； 取两次的结果包括25个样本点，其中“第二次取到标号为5的号签”与“两张号签标号之和为5”不是所有的可能的情况，故事件与不是对立事件，故B错误； 由古典概型可知，事件两个样本点，故，故C正确； 因为，，， 则，故D正确． 11. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，依据椭圆上点到两焦点距离和为2a，结合，联立算出与，二者相乘得结果. 对于B项，由椭圆与双曲线性质得两种表达式，进而推出的值，用余弦定理求，再算向量数量积. 对于C项，将、、代入式子，计算结果不符，该项错误. 对于D项，当，用勾股定理得等式，化简后得到. 设，，根据、的范围确定范围，再根据函数性质求范围. 【详解】对于，设椭圆的焦距为，，， 则，， 解得，.，则A正确； 对于，，即， ，， ，则B正确； 对于，由B可知， 所以可得，得到， 由，，得，. 可得：，整理可得：，并非等于.则C错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即， 令，， 则，其中，，取， 因为，，所以，， 所以，，故， 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则D正确. 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等差数列，，为方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过二次方程韦达定理可得，的和，根据等差数列中项的性质，计算可得的值． 【详解】由可得，， 因为数列为等差数列，则， 解得． 13. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 14. 给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧上运动，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得，设 ，，，其中为与的夹角，且，再应用向量线性运算的坐标表示得， ，代入目标式并结合三角恒等变换得，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】由题意，为单位向量，且， 所以，设 ，， 因为点在以为圆心的圆弧上运动，所以， 设，其中为与的夹角，且， 由，则 ， 因此我们得到方程组，解得， ， 所以 ， 因为，所以，则， 故的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆过三点． （1）求的方程； （2）求直线被所截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆为，将点代入方程求解即可. （2）求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设圆为， 将，，分别代入得：，所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得圆心，半径， 圆心到直线距离， 所以弦长. 16. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲在一轮活动中猜对灯谜”为事件，“乙在一轮活动中猜对灯谜”为事件，“光之队在一轮活动中至少猜对1个灯谜”为事件，利用对立事件及独立事件的概率求法求概率； （2）记“光之队在两轮活动中猜对3个灯谜”为事件，分析对应的事件，再分别求出对应概率并应用独立事件乘法和互斥事件加法求概率. 【小问1详解】 记“甲在一轮活动中猜对灯谜”为事件，“乙在一轮活动中猜对灯谜”为事件， 由题意知，事件与相互独立且，，故甲、乙猜错的概率分别为， 记“光之队在一轮活动中至少猜对1个灯谜”为事件，其对立事件为“两人都猜错”，即， 则； 【小问2详解】 记“光之队在两轮活动中猜对3个灯谜”为事件，意味着有一轮猜对了2个，另一轮猜对了1个， 这包括两种情况：第一轮猜对2个，第二轮猜对1个，或第一轮猜对1个，第二轮猜对2个， 猜对2个（即甲、乙都猜对）的概率为， 猜对1个（即甲对乙错，或甲错乙对）的概率为， 因为各轮活动结果相互独立，所以. 17. 已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算即可得； （2）设，则有，再表示出直线、的方程，即可得、点坐标，最后计算即可得解. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，，设， 因为点在椭圆上，所以，即有， ，则直线的方程为， 令，得，所以， ，则直线的方程为， 令，得，所以， 则，， 所以 . 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，作出符合题意的图形， 取的中点，连接，． 因为为的中点，所以且． 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故． 又平面，平面， 所以平面． （2） （3）由（2）可知，，，， ，平面的一个法向量为． 因为， 所以直线不在平面内． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明，然后证明平面. （2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算两平面的夹角的余弦值. （3）若直线在平面内，则会与平面的法向量垂直，所以只需验证与平面的法向量是否垂直即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，． 易得，而平面，则平面． 因为，所以，且． 所以，，两两互相垂直．以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为． 易知是平面的一个法向量． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 略. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求的最小值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换结合条件化简求值即可； （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与的关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可； ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：，展开得： ， 而，，故等式两边同时除以得： ，即， ，， 故． 【小问2详解】 ①如图所示， ， ， ， ，， 根据余弦定理：， ， 令， 则， 则当且仅当时等号成立，解得：， 时，取最小值为. ②如图所示， 为的角平分线，在中，由正弦定理得 ，即， ，， ， ． 又，，， ，当且仅当时等号成立， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $