精品解析：重庆市第二外国语学校2026-2027学年高三上学期第三次质量检测数学试题

重庆二外高2027届高三第三次质量检测 时间120分钟　　分值150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 样本数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立， C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则角 C. 若，，则 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是_____． 13. 已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； （2）从这400件样品中有放回地抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列的前和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求的最小值． 18. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一个动点． （1）求证：； （2）当为棱的中点，求点到平面的距离； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 19. 定义：表示不超过的最大整数，如.已知函数，，其中. （1）讨论在上零点的个数； （2）已知函数. （i）写出定义域，若，恒有，求的取值范围； （ii），当时，有，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆二外高2027届高三第三次质量检测 时间120分钟　　分值150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】复数的实部为，虚部为，对应点的坐标为，故该点位于第一象限. 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题判断可得. 【详解】全称命题的否定规则：①将全称量词改写为存在量词且保持原命题的变量取值范围不变， ②否定原命题的结论. 因此命题“，”的否定是“，”. 3. 样本数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将给定数据排序后得到：. 这组数据共有5个（奇数个），中位数是排序后位于正中间的第3个数据，也就是7. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】向量，，且，则，得， 所以. 5. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，的两根分别为，由韦达定理得， 代入不等式得，因式分解得，解得， 解集为. 6. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为为偶函数，所以， 解得：， 当时，，无对应选项； 当时，，选项C正确； 当时。，无对应选项； 其余整数对应的均与选项不匹配， 7. 已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，消元化简可得，构造函数，求导可得其极小值，从而得到结果. 【详解】由可得， 因为，，所以，即， 则， 设，， 则， 令，即，化简可得， 解得或（舍去）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 所以的最小值为. 8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，通过导数研究其单调性，将转化为该函数的对应函数值，结合单调性完成大小比较. 【详解】 设，定义域为， ， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 因此在处取得最大值，即，；， 因为，因此，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立， C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】AD 【解析】 【详解】已知事件，发生的概率分别为，， 若与互斥，则，选项A正确； 若与相互独立，，选项B，C错误； 若与相互独立，则，选项D正确. 10. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】由，解得：或，利用是或的真子集即可求解. 【详解】由，得，解得：或， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是或的真子集， 所以，则的取值可以是，所以CD正确. 11. 如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则角 C. 若，，则 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得A；由边角关系及可得B；借助三角恒等变换公式及正弦定理与面积公式计算可得C；结合正弦定理可将原式化为与角有关的等式，再利用换元法及基本不等式计算可得D. 【详解】对于选项A：由题意得，， 因为，， ， 所以， 所以，故A错误； 对于选项B：由，则，则， 由A知，，故，故，故B正确； 对于选项C：由，则，故， 由，则，则， 故，； 由，，则， 由正弦定理可得，则， ， 故，故C正确； 对于选项D：由正弦定理得， 又， 故， 令，因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积． 【详解】由题意易知. 13. 已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【解析】 【分析】根据计算化简得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式即可求解. 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 16. 某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； （2）从这400件样品中有放回地抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与使用机床的类型有关 （2）分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用列联表求出，根据小概率值的独立性检验得到结论； （2）求出每次抽到新型国产机床生产的良品的概率，求出的可能取值，求出的可能取值的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式求出. 【小问1详解】 由列联表得． 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，能判断产品的质量与使用机床的类型有关． 【小问2详解】 每次抽到新型国产机床生产的良品的概率为， 依题意的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 易知，故． 17. 已知数列的前和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求的最小值． 【答案】（1）．（2）2 【解析】 【分析】（1）根据递推公式及，代入后可证明数列为等比数列，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）中所得的通项公式表示出，代入后求得数列的通项公式，结合错位相减法即可求得数列的前项和，根据的单调性即可确定的最小值． 【详解】（1）． ∴时， 化为， 时，，解得． ∴数列是等比数列，首项为1，公比为3， ∴． （2）， ∴， ∴数列的前n项和． ∴， ∴ ， 化为． 因为为单调递增数列， 所以的最小值是 ． 【点睛】本题考查了递推公式在求通项公式中的应用，由等比数列定义求等比数列通项公式，错位相减法求和的应用，属于中档题. 18. 如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一个动点． （1）求证：； （2）当为棱的中点，求点到平面的距离； （3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】（1）取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以， 所以， 可得， 所以，所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合，即可证得； （2）求得平面的法向量，利用向量法即可求点到平面的距离； （3）设，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又因为， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得， 所以， 所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 19. 定义：表示不超过的最大整数，如.已知函数，，其中. （1）讨论在上零点的个数； （2）已知函数. （i）写出定义域，若，恒有，求的取值范围； （ii），当时，有，证明：. 【答案】（1） 当时，只有一个零点； 当时，没有零点， 当时，共两个零点. （2）（i）； （ii）证明如下： 因为，当，有， 所以在不能是递减的， 令，可得，所以在上递减， 所以，即当时，， 假设，可得，由（1）知，在为减函数，在上为增函数， 又由， 令，可得 再令，可得，所以单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即当时， 所以，所以在上有两个不同的零点， 设较小的零点为，则且， 若，则， 取，则， 又因为，即 故，这与题设矛盾； 若，则，故， 取，则， 因为，即， 故，这与题设矛盾， 综上可得，当时，假设不成立，又因为，所以. 【解析】 【分析】（1）求得，得到函数的单调区间，求得且，分类讨论，即可得到答案； （2）（i）由，根据，求得，再由（1）中函数的单调性，求得在上递增，结合，即可求解； （ii）证明：令，求得在上递减，得到，假设，得到，由（1）中的单调性，结合，以及，得到在上有两个不同的零点，设较小的零点为，分和，两种情况讨论，得出矛盾，即可得证； 【小问1详解】 由函数且，可得，令，解得， 若时，，则在上单调递增，且，此时无零点； 若时，当，；当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 可得的最小值为且， ①当时，即时，只有一个零点. ②当，即时，没有零点. ③当时，即时，设，可得， 当时，单调递增，则，即， 可得，且时，， 所以在和各有一个零点，共两个零点. 综上所述： 当时，只有一个零点； 当时，没有零点， 当时，共两个零点. 【小问2详解】 （i）由函数，定义域， 因为，所以，即，所以， 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以， 所以在上递增，所以，故， 所以实数的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $