精品解析：广东广州市海珠区中山大学附属中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

中大附中2026学年第一学期期中质量监测九年级数学科试卷 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分； 第Ⅰ卷选择题（40分） 一、选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线的图象与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 长度相等的弧是等弧 C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 经过圆内一定点可以作无数条弦 8. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或或 10. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷非选择题（110分） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 13. 如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___． 14. 某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会x名同学，则________． 15. 如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 16. 如图，在等腰中，，，点M是边上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是________． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2） 18. 如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的图形； （2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）按照（2）的旋转方式，若为边上一点，则点对应的点的坐标为 ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的倍，求的值． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． （1）求证：平分； （2）与交于点O，，求旋转角α的度数． 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 23. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 24. 求解下列各题： （1）【结论探究】如图（1），在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：． ②如图（2），若M为的中点，延长至点F，使，连接 ，试判断的形状，并证明你的结论； （2）【拓展应用】如图（3），在等边三角形中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接 ． ①试探究线段 的数量关系，并证明你的结论； ②若 ，则的长为 （直接写出结果）． 25. 【课本再现】在人教版教材九上《 一元二次方程的根与系数的关系》的内容中，对一元二次方程的根与系数的关系，探究了不同的推导方法： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为、．反过来，如果一元二次方程的两个根为、，那么，即．由此可得，．因此，． （1）【探究引申】类比一元二次方程，我们可以探究一元三次方程的根与系数的关系． 请写出一个一元三次方程，使它的三根分别为，和： （化为一般形式）． 观察各项系数，思考它们与方程三个根的关系： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，则 ， ．（用含，，，的代数式表示） （2）【灵活运用】已知反比例函数的图象在第一、三象限． ①若直线：与反比例函数的图象交于、两点，且线段，求的值； ②若抛物线与反比例函数的图象有三个交点，从左至右依次为、、，其中点、关于原点对称，且，求抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中大附中2026学年第一学期期中质量监测九年级数学科试卷 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分； 第Ⅰ卷选择题（40分） 一、选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 用配方法解方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得 ． 两边加，得 ． 即． 3. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵反比例函数， 当时，随的增大而增大， ∴， 解得. 4. 若抛物线的图象与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与轴的交点个数、根的判别式，根据两个公共点列不等式求解即可． 【详解】解：抛物线的图象与轴有两个公共点， ， 解得：． 5. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵当时，， 当时，，且， ∴方程的一个根的范围是． 6. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 故选：A 7. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 长度相等的弧是等弧 C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【解析】 【详解】A．过圆心的弦是圆的直径，说法正确，不符合题意； B．等弧必须是“在同圆或等圆中能够完全重合的弧”，只说明长度相等，半径不同时弧的弯曲程度不同，不能完全重合，故缺少“同圆或等圆”这一前提，原说法不正确，符合题意； C．周长相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意； D．经过圆内一定点可以作无数条弦，说法正确，不符合题意． 8. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由旋转的性质可知：，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，， ∴； 故选C． 9. 函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：两图象的交点横坐标依次为、、，它们把轴分成若干段，图象的高低关系在每段内不变， 当时： 段双曲线在抛物线上方； 段抛物线在双曲线上方； 段双曲线又回到上方． 当时： 段双曲线在第三象限、函数值为负且绝对值很大，而抛物线在该段位于轴上方，故； 段双曲线函数值趋近于，抛物线位于双曲线下方，． 综上，时，或． 10. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】①通过证明判断；②根据值不确定判断角度不确定；③分别计算四边形和的面积进行比对；⑤利用旋转全等模型求出点、坐标，进而求直线解析式；④通过反例或特定条件判断； 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点、在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵值不确定，大小不确定， ∴不一定等于，故②错误； ③设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ⑤将绕点逆时针旋转得到， 则，， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得（负值已舍去）， ∴正方形边长， ∴， 设直线解析式为，  则， 解得， ∴直线解析式为，故⑤正确； ④由⑤知仅当时，成立，一般情况下不成立，故④错误； 综上所述，正确结论有①③⑤，共3个． 第Ⅱ卷非选择题（110分） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的顶点坐标是，据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴. 13. 如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 则外接圆的圆心坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键． 14. 某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会x名同学，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】表示出第一节课后会做的人数和第二节课新增的人数，然后根据全班共有49人列方程求解即可． 【详解】解：设每人每次都能教会x名同学， ∴第一节课后会做的人数为，第二节课新增人， 根据题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 15. 如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线与轴交点、顶点坐标，写出翻折后轴下方部分对应的函数解析式，结合图形分析直线和新图像交点个数，找到恰好个交点时的范围． 【详解】解：令，， ， ， 解得：． ，原抛物线顶点为，开口向下． 轴下方部分沿轴翻折到轴上方：翻折后的抛物线开口向上，顶点变为，解析式为（或）． 当：直线就是轴，与图像交于，只有2个交点； 当：直线刚好经过原抛物线顶点，此时只有3个交点； 当时，水平线和新图像会产生4个交点； 当，只有2个交点． 综上，的取值范围是． 16. 如图，在等腰中，，，点M是边上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】在上取一点，连接，使，在上截取，连接， 作直线， 因为， ，所以，，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值是，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线， ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 【答案】 证明：连接，， ，是的半径， ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，，得到，，可以证明，根据全等三角形的对应边相等，可得到． 【详解】略． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的图形； （2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）按照（2）的旋转方式，若为边上一点，则点对应的点的坐标为 ． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点对称的点、、，用线段顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕原点按逆时针方向旋转后的点、、，用线段顺次连接即可； （3）由（2）中图形，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若为边上一点，则点对应的点的坐标为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的倍，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， . ∵ ， ∴ 该方程总有两个实数根 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行证明； （2）令，利用根与系数的关系列出方程组，然后求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：根据题意得，令， 在方程中，， 将代入方程组可得， ∴或， ∴的值为或． 21. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上． （1）求证：平分； （2）与交于点O，，求旋转角α的度数． 【答案】（1） 证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ∵， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】（1）y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） （2）能飞越 把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）8.1米 【解析】 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）第一次加热：；第一次降温： （3）能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； 【小问3详解】 略 24. 求解下列各题： （1）【结论探究】如图（1），在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：． ②如图（2），若M为的中点，延长至点F，使，连接 ，试判断的形状，并证明你的结论； （2）【拓展应用】如图（3），在等边三角形中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接 ． ①试探究线段 的数量关系，并证明你的结论； ②若 ，则的长为 （直接写出结果）． 【答案】（1）①证明见解析；②是等边三角形，证明见解析 （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）①由旋转性质可知，，则，证明即可得到；②先证明四边形是平行四边形，由，求得，得到，利用平行四边形的性质推出，即可得到是等边三角形； （2）①延长至，使，易证是的中位线，再证明是等边三角形，进而证明，即可证明结论；②过点作于点，求出 ， ，勾股定理求出，由①中结论即可求解． 【小问1详解】 ①证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②是等边三角形，证明如下， 连接， ∵M为的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ，， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 ①解：，证明如下： 证明：如图，延长至点F，使，连接， ∵ M是的中点，， ∴是的中位线， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ， 由①得． 25. 【课本再现】在人教版教材九上《 一元二次方程的根与系数的关系》的内容中，对一元二次方程的根与系数的关系，探究了不同的推导方法： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为、．反过来，如果一元二次方程的两个根为、，那么，即．由此可得，．因此，． （1）【探究引申】类比一元二次方程，我们可以探究一元三次方程的根与系数的关系． 请写出一个一元三次方程，使它的三根分别为，和： （化为一般形式）． 观察各项系数，思考它们与方程三个根的关系： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，则 ， ．（用含，，，的代数式表示） （2）【灵活运用】已知反比例函数的图象在第一、三象限． ①若直线：与反比例函数的图象交于、两点，且线段，求的值； ②若抛物线与反比例函数的图象有三个交点，从左至右依次为、、，其中点、关于原点对称，且，求抛物线的解析式． 【答案】（1）；； （2） ； 【解析】 【分析】（1）根据一元三次方程的三个根，写出，去括号，整理可得一元三次方程的一般式，设，将等号右边去括号，由对应项系数相等即可求解； （2）①由，得，设、，则，，，，由勾股定理可得，结合已知可得，解得，由反比例函数的图象所在象限，即可得的值； ②由，得，设点的横坐标为,点，则，由根与系数的关系：，得，可得，由、都在抛物线上，可得，，可得，记，则，，可得，故，由、关于原点对称，可得，结合已知可得点在以为直径的圆上，，由，可得，解得，可得，即可得抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：若三根为、、，则方程可写成， 先算，再乘： ， ∴方程为； 若， 右边展开后的系数为，常数项为． 比较系数得，， ∴，． 【小问2详解】 解：①由得， 两边乘整理得． 设、，则、是该方程的两根，，． ∵点、在直线上， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第一、三象限， 故， ∴． ②由，两边乘得． 设点的横坐标为,点， ∵、关于原点对称， ∴， 由根与系数的关系：，得； 又，得， 即． ∵、都在抛物线上： ，． 两式相加消去一次项：， 故． 记，则，． ∴， 故． ∵、关于原点对称， ∴是的中点， ∴ 又∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∵，， ∴， 两边乘以，整理得， 即， ∴， ∴． ∴，，． 故抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $