精品解析：广东广州市南武中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期九年级期中考试数学学科 满分150分．考试用时120分钟． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（ ） A. 2，1，1 B. 2，， C. 2，1， D. ，1，1 【答案】B 【解析】 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴其顶点坐标为. 3. 若，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，． 4. 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移性质，掌握平移前后值不变是解题的关键．根据二次函数二次项系数决定开口大小和方向，平移过程中不会改变开口大小即可判断． 【详解】解：∵平移后二次项系数不变，原抛物线中的， ∴选项B、C、D的二次项系数均为，可能通过平移得到， 选项A的二次项系数为，与原抛物线不同，不可能通过平移得到． 故选：A． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 6. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 7. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【详解】解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：， 可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的三点， 且， ∴， 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点位置，即可得到、、的正负性，从而判断A选项；把代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与轴有个交点，从而判断D选项． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故选：C ． 二．填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知二次函数，当时，随的增大而________（“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象开口向上，对称轴为轴，根据增减性可求得答案 【详解】∵二次函数的对称轴是y轴，开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 12. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 13. 二次函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 14. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示（见详解），可知抛物线与轴的两个交点分别是，，且对称轴为，此时抛物线的最大值为，由此即可求出抛物线的解析式，当水位上升米时，求函数自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过点，，且顶点坐标为， 设抛物线的解析为，将顶点坐标代入得，，即， ∴，则抛物线的解析式为：， 当水位上升米，即时，， 整理得，，解方程得，，， ∴水面的宽度为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解和掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形的性质是解题的关键． 16. 如图，点O为坐标原点，点C，F都在y轴正半轴上，点M为OC中点，四边形OABC和CDEF都是正方形，抛物线经过M，B，E三点． （1）当b=1时，a=___________； （2）的值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据点M为OC中点，得出OC=OA，再根据b=1求出B点的坐标，进而求解； （2）设正方形OABC的边长为m，和正方形CDEF的边长为n，由此表示出点M、点B和点E的坐标，代入点B的坐标求得求得函数解析式，进一步代入点E，用m表示出n，进一步求得的值即可． 【详解】解：（1）∵b=1，∴M(0,1)，∵点M为OC中点，∴OC=OA=2，∴B(2,2)， 把B(2,2)代入，即2=4a+1，解得a=， 故答案为：； （2）设正方形OABC的边长为m，和正方形CDEF的边长为n． ∵点M为OC的中点， ∴点M为（0，）、点B为（m，m）和点E为（n，m+n）， ∵抛物线y=ax2+b经过M，B，E三点， ∴m=am2+， 解得：a=， ∴抛物线y=x2+， 把点E（n，m+n）代入抛物线得 m+n=•n2+， 解得：n=m+m或n=m-m（不合题意，舍去）， 即CB=m，EF=m+m， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据图象和待定系数法得出二次函数解析式是解决问题的关键． 三．解答题（本大题有9小题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）将方程整理为的形式，用直接开平方法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 整理得， 即， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 分解因式得， 或， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等实数根时来确定参数的取值范围； （2）运用一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根，，满足，，结合分式的运算来求解的值． 【小问1详解】 解：对于， ， 解得． 【小问2详解】 解：当时，方程为， 根据一元二次方程根与系数的关系，，， ． 19. 已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表．根据题意完成下列问题： x … 0 1 m 3 … y … 0 1 0 … （1）_______； （2）根据如表描点画出函数图象； （3）结合图象，请直接写出，当时，的取值范围是______________． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，将代入即可求出的值． （2）将抛物线的各个点在图象中找出，依次连线，即可画出函数图象． （3）结合图像，找出时所对应的值，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过，，， 解得， ， ， 或, 与原点重合， （舍去）， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：二次函数经过和， 结合图像可知，若，则有． 20. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． （1）求其解析式； （2）把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 【答案】（1） （2）1或3 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式； （2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点坐标为， ∴可设该抛物线解析式为． ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 对于， 令，则， ∴， 解得：， ∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键． 21. 随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． （1）求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； （2）随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】（1）该风景区游客人数的月平均增长率为． （2）按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【解析】 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 22. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 【答案】 （1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一次函数的定义，理解定义内容，并熟练运用解一元二次方程的方法是解题关键． （1）解一元二次方程，按照定义确定点M的坐标即可； （2）①解一元二次方程，用含m的式子表示点M的坐标即可； ②根据①中所求坐标，按照一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 得，， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （2）①将原方程因式分解，得， ∴，， 显然， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ②令，，得， ∴直线解析式为． 故答案为． 23. 如图，抛物线L：，直线l：与抛物线、x轴分别相交于Q、P． （1）时，Q点的坐标为_________； （2）当P、Q两点重合时，求t的值； （3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式； 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，抛物线L为：，直线l为：，把代入求解即可； （2）当P、Q两点重合时，直线l与抛物线L交于x轴，所以交点的纵坐标为0，即可列方程求解； （3）先求出，当Q点达到最高时，的值最大，设，则时，M有最大值，再把代入即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线L为：，直线l为：， 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：当P、Q两点重合时，直线l与抛物线L交于x轴， 交点的纵坐标为0， ， 解得，； 【小问3详解】 解：当时，， ， 当Q点达到最高时，的值最大， 设， 则， 即当时，M有最大值， 抛物线解析式为，即． 24. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 高度 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 实际应用 （1）羽毛球飞行到最高点时，距发球点的水平距离是_________m； （2）求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和时的纵坐标相同，可知两点是对称点，即可求出对称轴，从而判断对称轴即是羽毛球飞行到最高点时，距发球点的水平距离． （2）通过待定系数法即可求出函数的解析式． （3）根据题意可知，，，即可建立不等式组，解出即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：观察表可知，和时，， 和是关于抛物线的对称轴对称， 羽毛球飞行到最高点时，距发球点的水平距离是． 【小问2详解】 解：由题意可知， 将和代入中， 解得， ． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 改变发球方式，新的抛物线的解析式为， 发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ， ． 25. 抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为P， （1）若该抛物线的对称轴是直线，则_______； （2）若是等边三角形，求的值； （3）若的中点坐标为，且，抛物线交y轴于点D，延长交x轴于点E，点O为坐标原点，令面积为S，求S的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进一步可得答案； （2）根据等边三角形的性质，可得，根据是方程的两根，进而求得的值 （3）设抛物线顶点P为，根据抛物线对称轴以及的中点坐标可得，设直线为：，根据P、D两点的坐标求出直线的解析式，从而得到点E的坐标，运用三角形面积公式代入数据结合二次函数的性质解题即可． 【小问1详解】 解：该抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是图象的顶点， ∴， ∵抛物线与x轴交于不重合的两点，， ∴是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：（舍去）或． 【小问3详解】 解：设抛物线顶点P为， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 且的中点坐标为， ∴， ∴， 设直线为：， 经过点P，点， ，解得：， ∴直线为：， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，最小值为：， 当时，最大，最大值为：5， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级期中考试数学学科 满分150分．考试用时120分钟． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（ ） A. 2，1，1 B. 2，， C. 2，1， D. ，1，1 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 6. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 7. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知二次函数，当时，随的增大而________（“增大”或“减小”）． 12. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 13. 二次函数的最小值为___________． 14. 若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为______． 15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号） 16. 如图，点O为坐标原点，点C，F都在y轴正半轴上，点M为OC中点，四边形OABC和CDEF都是正方形，抛物线经过M，B，E三点． （1）当b=1时，a=___________； （2）的值为______________． 三．解答题（本大题有9小题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求． 19. 已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表．根据题意完成下列问题： x … 0 1 m 3 … y … 0 1 0 … （1）_______； （2）根据如表描点画出函数图象； （3）结合图象，请直接写出，当时，的取值范围是______________． 20. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． （1）求其解析式； （2）把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 21. 随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． （1）求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； （2）随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 22. 【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，求该方程的衍生点M的坐标． 【尝试应用】 （2）若关于x的一元二次方程为． ①求出该方程的衍生点M的坐标． ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，则直接写出直线解析式______． 23. 如图，抛物线L：，直线l：与抛物线、x轴分别相交于Q、P． （1）时，Q点的坐标为_________； （2）当P、Q两点重合时，求t的值； （3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式； 24. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 高度 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 实际应用 （1）羽毛球飞行到最高点时，距发球点的水平距离是_________m； （2）求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 25. 抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为P， （1）若该抛物线的对称轴是直线，则_______； （2）若是等边三角形，求的值； （3）若的中点坐标为，且，抛物线交y轴于点D，延长交x轴于点E，点O为坐标原点，令面积为S，求S的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $