精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年度上学期期中考试 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 向量， 则（    ） A. 3 B. C. 25 D. 5 2. 复数在复平面内对应的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知锐角满足，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 的图象关于点对称 10. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 在中，为边上一点，且，则 B. 对任意向量，，恒成立 C. 非零向量，，，满足，，则 D. 向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 三、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. = __________． 13. 已知函数单调递增，则实数的取值范围为________． 14. 已知复数是虚数单位），b是z的虚部，且函数（＞0且≠1）,在区间内恒有＞0成立，则函数的递增区间是___ 四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． （1）求、的值； （2）求的单调递减区间． 16. 已知为锐角，． （1）的值； （2）的值； （3）的值． 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，求周长取值范围. 18. 2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； （2）从所有参赛学生中抽取4人，求其中恰好2人成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； （3）从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若方程有两个不同的根， ①求的取值范围； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期期中考试 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 向量， 则（    ） A. 3 B. C. 25 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 复数在复平面内对应的点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将复数转化为的形式，则复平面内对应的点的坐标是. 【详解】，所以复数在复平面内对应的点的坐标是. 3. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，令，，则，函数为偶函数，故错误； C，令，，函数为奇函数，但在定义域上不单调，故错误； 方法一： B，令，，则，函数为奇函数， ，函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，则，函数为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： B，令，，则，函数为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，，函数为奇函数， ∵和均是增函数，则为增函数， ∴函数在定义域内单调递增，故正确. 4. 甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率求解即可. 【详解】目标恰好被命中两次的概率为. 5. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 6. 已知锐角满足，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则， 又为锐角，则，等式两边同时除以可得， 即，解得或（舍去），故. 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【详解】将4.8代入关系式得，整理可得， ∴ . 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后得到，不是奇函数，故C错误； 对于D，由，则的图象关于点对称，故D正确． 10. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 在中，为边上一点，且，则 B. 对任意向量，，恒成立 C. 非零向量，，，满足，，则 D. 向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理、向量的线性运算等知识，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，，， ，故A正确. 对于B，若，不共线，则，，可构成三角形，则，故B错误； 对于C，为非零向量，当时，； 当时，， ，则，故C正确； 对于D，若，，则，共线，但不存在实数，使得，故D错误． 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. = __________． 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 已知函数单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】等价于恒成立，利用判别式即可求解. 【详解】函数单调递增， 所以恒成立， 则，可得. 14. 已知复数是虚数单位），b是z的虚部，且函数（＞0且≠1）,在区间内恒有＞0成立，则函数的递增区间是___ 【答案】（﹣∞，﹣） 【解析】 【分析】求出z，得出虚部为﹣1，即b＝﹣1，由x的范围求出真数部分的范围，结合f（x）＞0，得出0＜＜1，由复合函数的单调性，求内层函数的减区间，与真数部分大于0的x的取值范围取交集，得所求的区间． 【详解】解：∵= ∴b＝﹣1， ∴=， ∵x∈（0，）， ∴x+∈（，）， ∴∈（，）， ∴2﹣∈（0，1）， 又∵f（x）＞0， ∴0＜a＜1， ∵y＝2x2+x的减区间为（﹣∞，﹣]， 又2x2+x＞0，得x＜﹣或x＞0， ∴函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）． 故答案为：（﹣∞，﹣）． 四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数，（，）．已知的最小正周期为，且，． （1）求、的值； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1）． 因为的最小正周期为，所以．故． 所以． 由题设，得． 故． 因为且，所以． （2）由（1）知． 函数的单调递减区间为． 由，得． 所以的单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知为锐角，． （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【16题详解】 【17题详解】 所以 ． 【18题详解】 因为， 所以 所以． 所以 且为锐角，可得，所以． 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，求周长取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简可得，即可求得结果. （2）由正弦定理结合辅助角公式得，再由角的范围结合三角函数的性质求得的范围，即可求得周长的范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得 且 所以，且 则 所以 【小问2详解】 由正弦定理得， 则 ， 又是锐角三角形，则，， 可得， 又周长为，且 故周长的取值范围为. 18. 2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； （2）从所有参赛学生中抽取4人，求其中恰好2人成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； （3）从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率，直接求出成绩低于分的频率； （2）把问题看成次独立抽取中恰有次取到低于分、次取到高于分，用乘法公式计算； （3）把看作二项分布，比较相邻两项概率的大小判断增减性，由此求得最大值点. 【小问1详解】 由表得成绩低于分的频率为，高于分的频率为， 其余成绩的频率为. 以频率估计概率，从所有参赛学生中抽取人，其成绩低于分的概率为. 【小问2详解】 抽取人，要求其中人成绩低于分、人成绩高于分， 故所求概率为. 【小问3详解】 由题意，则，于是. 由得，即时单调递增、时单调递减， 特别地，时，即； 时，即. 故当时取得最大值. 19. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若方程有两个不同的根， ①求的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】（1）的极小值点为；无极大值点 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负情况研究函数的单调性，从而得到极值点； （2）①承接第一问的单调性：因为最小值，根据和时，；故方程有两个不同根等价于的最小值； ②由推导出的关系式，结合均值不等式放缩得到的上界，再通过极限确定下界． 【小问1详解】 求导得， 令，则有，已知， 故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的极小值点为；无极大值点． 【小问2详解】 ①由（1）当时，单调递减； 当时，单调递增， 又，当时，； 当时，， 若方程有两个不同的根，则， 即的取值范围为． ②设，由得，， 变形整理得， 因为，则， 故， 令，则，不等式化为， 由得，解得，故， 当时，， 综上可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $