黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

参考答案 1．【答案】A 【详解】因为复数，由复数的除法得， 所以复数在复平面对应的点为，该点在第一象限. 2．【答案】B 【详解】由，即，解得或，即或， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选B 3．【答案】D 【详解】因为 所以，所以. 所以. 4．【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，且， 因为，则， 又因为，则，可得，即， 所以. 5．【答案】D 【详解】由函数， 当时，， 当时，，若时， 函数单调递减，所以， 若时，函数单调递增，所以， 又因为分段函数的值域为[1，+∞）， 所以，， 所以. 所以的取值范围是. 故选D 6．【答案】D 【详解】根据题意构造新函数（，）， 因为，即，所以， 所以. 7．【答案】A 【详解】在中，由余弦定理得， 所以，即，为直角三角形， 其外接圆圆心为中点，半径. 设直三棱柱的高为，直三棱柱外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点， 所以外接球半径满足. 由外接球表面积，得，则，解得. 以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则. . 设平面的法向量为， 则，即，令，则，即. 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．【答案】A 【详解】要使函数有两个零点， 即只需有两个实根， 即只需有两个实根， 设，则，所以在上单调递增， 又，则， 即只需有两个实根， 即只需函数与有两个交点， 令，（），则， 当时，；当时，， 则在上单调递增；则在上单调递减，所以， 又时，；时，， 所以函数与的大致图象如下： 数形结合，所以要使函数与有两个交点， 只需，解得，所以的取值范围是． 9．【答案】BC 【详解】对于A，如图，若，， 则不一定平行，可能相交，故A错误； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，由，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，由，，则或，故D错误. 10．【答案】AC 【详解】对于A选项，， 则的最小正周期，A正确； 对于B选项，当时，求得， 故函数的图象不关于点中心对称，B错误； 对于C选项，当时，则， 则，C正确； 对于D选项，由，则， 则在上单调递增且值域为， 在上单调递减且值域为， 要使在上有且仅有一个实数根，则，D错误. 11．【答案】BCD A:因为,所以直接将代入的表达式计算即可. B:如果,那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式. 先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和. D:先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较. 【详解】因为,所以当时，; 当时，,对也成立， 所以,所以选项错误，选项正确; 对C,则① 则②， ①-②得： 即,所以选项正确; 对D, 所以 所以选项正确. 12．【答案】 【详解】因为 ， 所以. 13．【答案】 【详解】正四棱锥中，设，连接，则平面， 设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 因为正四棱锥的高为，所以， 底面正方形的边长为6，则有，所以即为， 正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为. 14．【答案】 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 15．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，， 故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为, 可得 解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或， 故实数的取值范围为 16．【答案】（1）证明：数列中，由，得， 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以的通项公式为. （2） 【详解】（1）略 （2）由（1）得，令数列的前项和为， 则，， 两式相减得， 因此，， 所以数列的前项和. 17．【答案】（1） 点在的中点位置，证明如下， 取中点，设为点，连接， 因为为的中点，所以且， 又为中点，所以且， 所以且， 所以，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【详解】（1）略 （2） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，， 在正方体中，平面， 所以可以作为平面的一个法向量， 则，， 所以， 得平面与平面夹角的正切值为． 18．【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． （2）因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 19．【答案】 （1） 【解】当时,,定义域为, 所以, 所以.又, 所以函数的图象在点处的切线方程为,即. （2） 的定义域为, ,. 由函数在定义域上单调递增,可得在上恒成立, 即,在上恒成立. 因为,当且仅当时等号成立, 所以当时,在上恒成立且不恒为0,即在上单调递增. 故实数的取值范围为. （3） 因为在上存在两个极值点,, 所以,即在上有两个不等实数根,, 则解得. 又,, 则有,, . 令,则, 则,所以在上单调递减. 又①,及,即②, 联立①②解得,所以,且,, 所以的取值范围是. 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试试卷 高三数学学科 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分 1．复数在复平面内对应的点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 5．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数（，），若，则（    ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．若函数，有两个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时，函数的值域为 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 11．已知数列的前项和,则（ ） A． B． C．令为数列的前项和，则 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量之间的夹角都是60°，且，则_______. 13．已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为__________. 14．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）求在时的解析式； （2）解不等式：； 16．已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17．如图，在正方体中，分别为的中点． （1）若在线段上存在一点，使平面，试确定点的位置并证明； （2）求平面与平面夹角的正切值． 18．在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 19．已知函数,其中. （1） 当时,求函数的图象在点处的切线方程； （2） 若函数在定义域上单调递增,求实数的取值范围； （3） 若在上存在两个极值点,,求的取值范围. 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $