江苏省宿迁市第一高级中学、徐州中学2026-2027学年高一上学期期中调研数学试卷

2026级高一年级期中调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则 A. B. C. D. 2.命题“存在一个奇函数，是偶函数”的否定是 A. 存在一个奇函数，是奇函数 B. 存在一个偶函数，不是偶函数 C. 任意一个奇函数，是奇函数 D. 任意一个奇函数，不是偶函数 3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. B. C. D. 4.设集合，。若，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 5.若，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为 A. B. C. D. 7.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况。而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 A. B. C. D. 8.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”。已知函数是“函数”，则实数m的最大值是 A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二､选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9.下列命题为真命题的是 A. B. 若，则 C. 是的充分条件 D. 已知a，，“”是“”的必要条件 10.已知正数x，y满足，则 A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 11.给定函数，，若，用表示，中的最小者，记为函数，则 A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的零点为                    . 13.已知是定义在上的奇函数，当时，函数在上的解析式为                    ；若函数在区间单调递增，实数m的取值范围是                    . 14.设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是                    . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知集合， （1）求，； （2）定义，求， 16.（15分） （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）若，求的值。 17.（15分） 已知函数 （1）用单调性的定义证明：在上单调递减； （2）求函数的值域． 18.（17分） 某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分满分100 分和有效训练时长单位：天存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求函数的解析式； （2）若大模型的强化训练效率定义为，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 19.（17分） 对于函数，若在区间I内存在实数，满足，则称函数是区间I上的“局部倒负函数”． （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数，是否存在实数k，使得是区间上的“局部倒负函数”．若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由； 高一数学 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一年级期中调研测试 数学答案 1. C  2. D  3. D  4. A  5. C  6. C  7. B  8. C  9. BCD  10. BD  11. AC  12. 4  13.  ；   14.   15. 解：由，解得或，即；由，等价于，解得，即， 取两集合的公共部分，得；先求A在全集中的补集为，再将其与B取并集，合并区间得。 依据差集定义，由所有属于A且不属于B的元素组成，对应或，与A的范围取公共部分，其中满足的要求，时仅符合要求，故；由所有属于B且不属于A的元素组成，对应，与B的范围取公共部分，得。  16. 解： 对原式各项分别化简，，，，，，，，故原式 与有意义，，将两边平方，得，展开得，即，再将该等式两边平方，得，展开得，即，代入待求式得 由，得，化为指数式得，，故  17. 解： 任取，则 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减. ， 令，则，且 所以可化为 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的值域为，即的值域为  18. 解：，将代入第一段函数解析式，结合得，计算得，解得。 函数在处图象连续，两段函数在处的函数值相等，代入第一段解析式得，将代入第二段解析式，令函数值等于80得，计算得，解得。 故 由且的定义域为，得的定义域为，分情况讨论： ①当时，代入第一段解析式得。任取且，作差变形得。 ，，又，，差的符号由决定。若则，，，即，在上单调递增；若，则，，，即，在上单调递减。 故时，在上取得最大值。 ②当时，代入第二段解析式得。令，由得，转化为二次函数，该函数二次项系数为，开口向上，对称轴为，函数在区间上单调递增，故，即时。 综上所述，定义域内的最大值为4，对应训练时长  19. 解：因为 ，解得 ， 所以区间 内存在实数 ，满足 ， 所以函数 是 上的“局部倒负函数”. 另法：因为 ，且 ，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数 是 上的“局部倒负函数”. 假设存在实数k ，使得函数 是区间 上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在 ，使得 . 因为 ，所以 . 当 时， ，则 ，即 ①， 当 时， ，则 ，即 ②. 所以①或②有解，即 在 上有解或 在 上有解， 当 时， ；当 时， ，所以 . 所以存在实数 ，使得 是区间 上的“局部倒负函数”.   【解析】 1. 解：因为集合，且， 所以 故选： 利用元素与集合的关系求解． 本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 2. 解：原命题是特称命题，因此原命题的否定为“任意一个奇函数，不是偶函数”. 故选 3. 解：对于选项A，函数的定义域为，关于原点对称， ，为奇函数， 取，满足，但，故该函数在整个定义域上不是增函数，排除A； 对于选项B，函数的定义域为，关于原点对称，，为偶函数，不满足奇函数要求，排除B； 对于选项C，函数的定义域为定义域包含但不包含1，不关于原点对称，故不是奇函数，排除C； 对于选项D，函数的定义域为，关于原点对称，，为奇函数， 任取且，作差得， 由得，又不可能同时为0，故， 因此，即，故在上是增函数，符合要求. 故选 4. 解：求解不等式，因式分解得，对应二次函数开口向上，解得，即；求解绝对值不等式，等价于，解得，即。，，由闭区间包含关系可得，解得，故选 5. 方法一  因为，所以且若，则，所以，所以；若，则，所以，所以，即，所以综上，若，则“”是“”的充要条件． 方法二  充分性：因为，且，所以，所以充分性成立．必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立．综上，若，则“”是“”的充要条件． 6. 解：根据运算定义，将、代入，计算得， 原不等式等价于，即，开方得，即或， 对应解集为 故选 7. 【分析】 本题考查数学史和对数运算，属于中档题. 取常用对数进行计算即可. 【解答】 解： ， 所以 故选B 8. 解：由题意可知的定义域为， 又因为函数是“函数”，故其值域为； 而，则值域为； 当时，， 当时，， 此时函数在上单调递增，则 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数m的取值范围是， 实数m的最大值是 故选： 9. 解：A选项：是空集，所以，A为假命题； B选项：，等价于，B为真命题； C选项：若，则一定有，由前者可以推出后者，故是的充分条件，C为真命题； D选项：若，则，，一定满足，也就是：由能推出，故a，，“”是“”的必要条件，D为真命题． 故选： 根据集合以及充分条件，必要条件相关知识可解． 本题考查集合以及充分条件，必要条件相关知识，属于基础题． 10. 解：为正数，，且，解得 对于选项A，对与作差得，，差的符号由决定，代入得，当时，；当时，；当时，，故不恒成立，A错误. 对于选项B，由得，即，则，，等号成立当且仅当即，联立，解得，满足，等号可取，故，最小值为，B正确. 对于选项C，，结合得，令，则，目标式化为，，等号成立当且仅当即，，等号无法取得.任取，作差得，，，又，，，故，在上单调递减，，最小值不为4，C错误. 对于选项D，代入得，①当时，，，故，不等式成立；②当时，，，令，，则，，两边同乘2得，等号成立当且仅当即，解得，此时，满足条件，等号可取.综上所述，恒成立，D正确. 故选 11. 解：先求解的交点，即解方程。 当时，，方程化为，整理得，，无实根； 当时，，方程化为，整理得，解得或，因此的分段表达式为。 逐一分析选项： 选项A：，故，A正确。 选项B：方程即，分三段求解： 当时，，解得，不满足，舍去； 当时，，解得舍去或，符合条件； 当时，，解得或，均符合条件，共3个实根，B错误。 选项C：分析各段单调性：时，单调递减； 时，为开口向上的二次函数，对称轴为，故在单调递减，在单调递增； 时，，故在单调递减，在单调递增，因此的单调递增区间为和，C正确。 选项D：已知，则，因； 当时，，故， 令，整理得，解得或，其中满足，即时成立，故b的最小值为2，D错误。 综上，故选 12. 解：由，得，即， 所以函数的零点为 故答案为： 令，解出x的值，即为函数的零点，从而得解． 本题考查函数零点的求法，是基础题． 13. 解：已知是定义在R上的奇函数，当时，， 当时，，则有； 由可得图象如图所示： 若在区间上单调递增， 则有，解得， 故实数m的取值范围： 14. 解：集合M为非空集合，。 由题意，对任意，即，都有，故恒有。 ，，左侧不等关系恒成立，只需保证对所有恒成立，即在区间上的最大值满足。 二次函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，分情况讨论： ①当时，区间在该区间单调递减，当时取得最大值，，代入最值条件得，即，结合前提得。 ②当时，区间包含对称轴，两端点函数值分别为和，由得，代入得，结合可知不等式恒成立，故。 ③当时，，故，代入条件得，整理为。解方程，由求根公式得，由于二次函数开口向上，不等式的解为，结合前提，得。 将三类情况的取值范围取并集，得。综上所述，实数m的取值范围是。 15. 详细解答和解析过程见【答案】 16. 详细解答和解析过程见【答案】 17. 详细解答和解析过程见【答案】 18. 详细解答和解析过程见【答案】 19. 详细解答和解析过程见【答案】 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $