广西壮族自治区百色市右江区百色祈福高级中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

百色祈福高级中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 (试题满分150分考试时长120分钟) 一、单选题（共40分)：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求。 1.(5分)若U=红，2,3,4,5}，A=红，3}，B={2,3,4},则(CA)(CB)=() A.1} B.} C.{2,4} D.1,2,3,4号 2.(5分)函数y=tam(x-的最小正周期为() A.4 B. C.8 3.(5分)设x∈R.则-1<x<2”是|x-1k1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 4.(5分)若a<行，则化简2a-0的结果是() A.1+2a B.1-2a C.-1-2a D.2a-1 5,(5分)△ABC中，A=60°，b=1,面积为√3，则△ABC外接圆的直径为() A.3V5 B. 26V5 C.2V39 D.V39 3 2 6.(5分)若函数y=)的定义域为04，则函数-2x+的定义域为《） x-1 a小.[ D.(1,9] 7.(5分)己知函数f(x)=x3+m2+bx-a2-7a在x=1处取得极小值10，则2的值为() A.2或号 B.2或月 C.-2 D.号 2sinx,0<x<2 8.(5分)己知函数f(x)= ,则方程ff(x)=2的根的个数是(). 1og3(x-2x>2 A.7 B.8 C.9 D.10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)下列结论错误的是() A.若a>b,则ac<bc B.若a>b,则1<} C.若la>bl,则a2>b2 D.若ac2>bc2,则a>b 试卷第1页（共4页） 10.(6分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则下列结论中正确的是 () A.f(0)=0 B.函数f(x)是R上的增函数 C.是偶函数 D.f是奇函数 x2+1 11.(6分)已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，沿对角线AC将△ACD折起，得到如图所示的三棱锥 D-ABC.设AB=a,AC=b,AD=C,E是棱BD上靠近B的三等分点，F是AC的中点，且 EF=1,则下列结论正确的有() D B A.=-2a 29 B.aG-月 C.棱BD的长为V D.异面直线AD与5C所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(5分)已知为虚数单位，则复数3+4i i 13.(5分 若(：+是开式的二项式系数之和为64，则民开式的疮数项为 14.(5分)已知函数f(x)=e-ax2有三个零点，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=2W3 sinxcosx--cos2x. (1)求函数y=f(x)的最小正周期： (2)将函数∫(x)图象上所有的点向左平移严个单位后，得到函数g(x)的图象， 当 时，求函数 6 g(x)的值域. 试卷第2页（共4页） 16.(15分)已知函数f(x)=（x2-ar+1)e(aeR)在x=2处取得极小值 (1)求a的值，并求函数f(x)的单调区间： (2)求(x)在区间[-2,0]上的最大值和最小值. 17.(15分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=bcosC+。 (1)求角B的大小： (2)若√3sinA-cosC=1,且a=3,求△ABC的周长. 18.(本题17分)如图，AB是半球O的直径，AB=4,M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，P是 半球面上一点，且∠PON=60 B (1)求四边形OMB的面积： (2)证明：PB⊥平面PAM: (3)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值. 试卷第3页（共4页） 19.17分)己知0为坐标原点，椭圆C+业 +6-1a>b>0)的离心率e=y ,椭圆C的左，右焦点分 2 别为，耳，P是椭圆C上一动点，且P一P的最大值为2 (1)求椭圆C的方程； (2)记O到椭圆C在P点处切线的距离为d,求d|PP的值： (3)若射线OP与直线x=2交于点Q,点R在射线OP上，满足OR:O9=OP.过点R作直线1与椭圆C 相交于点A,B,且点R为弦AB的中点，证明：直线I过定点 试卷第4页（共4页） 《百色祈福高级中学2026-2027学年秋季学期期中考试（高三数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B ⊙ ⊙ O A C B AB ABC 题号 11 答案 ABD 1.B 【详解】若U={1,2,3,4,5},A=1,3},B={2,3,4}, 则CA={2,4,5},CB=1,5}, 则GA)AC,B)={ 故选：B. 2.D 【详解】丽致y的小正得期为了-子号。 故选：D 3.B 【详解】不等式lx-1k1台-1<x-1<1台0<x<2, 因此|x-1K1→-1<x<2,而-1<x<2不能推出|x-1K1, 所以“-1<x<2”是|x-1K1”的必要不充分条件 故选B 4.B 【详解】因为a< 2,所以2a-1<0, 所以(2a-1)4=2a-1=1-2a 故选：B 5.c 【详解】在A4BC中，4=60，i=1,面积为5，则e血60-5。-5，解得c=4, 4 由余弦定理得a=√b2+c2-2 bc cos A=V1+16-1×4=√13， a、V132W39 由正弦定理得△ABC外接圆的直径simA 3 3 故选：C 6.A 答案第1页（共10页） 【详解】因为函数y=f(x)的定义域为[0,4]， 所以 54,解得-方1或<号 x-1≠0 放函激2的定义拨为[引 x-1 故选：A. 7.C 【详解】f(x)=x3+ar2+bx-2-7a,f(x)=3x2+2+b, 又f(x)=x+2+bx-a-7a在x=1处取得极小值10， f(1)=1+a+b-m2-7a=10 则有 f(1)=3+2a+b=0 ,可得2+8a+12=0, 解得a=-2,b=1或a=-6,b=9. 当a=-2,b=1时，f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), 当号x≤1时，了()0，当x>1时，)>0， ∫(x)在x=1处取得极小值； 当a=-6,b=9时，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 当x<1时，f'(x)>0,当1<x<3时，f'(x)<0, f(x)在x=1处取得极大值，不合题意. 所以a=-2,b=1,则有8子-2 故选：C 8.B 【详解】设f(x)=t,由方程f(t)=2. 若0<t<2,则2sini=2→t=1. 2 再由f(x)=1,若0<x<2,则2sim5x=1→x= 或=若2，e,-2训1p或x=5 若>2.则03：-2训=2>1=g或- 西电)-=号，石0<<2，则2m受=号，无解：若x2,则o-2到明=吕=x=2+3号或 _19 x=2+39: 答案第2页（共10页） 由f(x)=11,若0<x<2,则2simx=11,无解：若x>2,则log(x-2=11→x=2+3或 x=2+311 综上可知，方程f[f(x)】]=2有8个根. 故选：B 9.AB 【详解】取a=2,b=-2,c=1可得，a>b,但aC=2>-2=bc,A错误： 取a=2b=2可相，a>b,但日分号分B销误 因为a>,又bl≥0，所以ad>b,故d>b2,c正确： 由ac2>bc2,可得c2>0,所以a>b,D正确： 故选：AB. 10.ABC 【详解】对于A,由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，有f(x)=-∫(-x),令x=0,则 f(0)=-f(0),解得f(0)=0,故A正确： 对于B,由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间[O,+o)上单调递增， 由于奇函数的图象关于原点对称，说明f(x)在区间(-∞，0)上也单调递增， 又因为f(O)=0,所以函数f(x)是R上的增函数，故B正确， 对打c,设付国，)化广但-W.因t四是西数，技c正 x2+1 (-x)2+1x2+1 x2+1 对于D,设)=f国，则(=f(=h,因此f@是偶函数，故D错误 -x 11.ABD 【详解】选项A:因为E是棱BD上靠近B的三等分点，F是AC的中点， 所以5晒-}5D,A-4C.因为5D=AD-AB,所以B丽-4D-}西】 3 2 因为AB=ā，AC=b,AD=c,所以EF=AF-A正 4c-(西+84c-(4+540-4d 2 3 选项B:因为菱形ABCD的边长为2，∠B=60°， 所以AB=AC=AD=BC=2,∠BAC=∠DAC=60°. 答案第3页（共10页） 因为丽a+-甘所以网-〔含a*6吉j 2 a6+ga.z-6c 3 3 2 ×4+×4- ×2×2× +4a.c-x2x2x号-l, 4 3 29 3 解得aG=一方故B正确： 选项C:因为a=问cos∠BAD=2x2co8∠BAD=号所以cos∠BAD=8 8 在三棱锥D-ABC的侧面BAD中， 由余弦定理得BD=AD2+AB2-2AD·ABc0S∠BAD=4+4+1=9, 所以BD=3,故C错误： 选项D:因为BC=AC-AB=b-ā， AD·BC 所以cos(AD,BC -6-a AD.BC 2×2 c.B-c.a 5, 4 8 可得异面直线AD与BC所成角的余弦值为。 故D正确 故选：ABD 12.4-3i/-3i+4 3+4i3+4x(-3i-4:4-3i 【详解】 i×(-i) -i2 故答案为：4-3i. 13.15 【详解】因为+ 展开式的二项式系数之和为64， 所以2”=64，所以n=6, 所以三明为 所以第+1项展开式为a=(=c, 若求常数项，则令12-3k=0,所以k=4, 所以T=C6=15,即常数项为15. 答案第4页（共10页） 故答案为：15. 14. 【详解】当a=0时，此时f(x)=e,显然f(x)无零点. 当a≠0时，fx)=0得1_ a ex 今君，g1w2- ，分别令g'()>0,g)<0, 前者解得0<x<2,,后者解得x>2或x<0, 故8(x)在(-n,0),(2,+∞)递减，(0,2)递增. 故8()的极小值为：(O)=0,极大直为8(a)=号 令g)号，显然分母e>0,则分子=0，=0，则g问有唯一李点0. 作出大致图像如图所示： -3-2-10 12345 1 -2 解得实数a的取值范围是 故答案为： 15.(1)π (2)[-1,2] 【详】解(1）因为/0)-25 cOA--cos2x=5m2x-cos2x=2sm(2x-》 所以f()最小正周期为：T=2亚=， 2 2自1知f=2n〔2-哥周 所以函数f(x)图象上所有的点向左平移”个单位，得到函数g(K)的解析式为 6 ge-22m2+ 答案第5页（共10页） 因为x∈0，π] 所以2x+∈「匹，7π] 2 66'6 所以当2x+后-时，8(x)=2:当2x+7匹时，g(x)=-1, 62 66 所以g(x)的值域为：「-1,2]， 16.(1)a=3,单调递增区间为(-o,-1),(2,+o),单调递减区间为(-1,2) (2)最大值为5e1,最小值为1. 【详解】(1)f(x)=(2x-ad)e*+(x2-m+1)e=(x2-a+2x-a+1)e, 由题意得f'(2)=(4-2a+4-a+1)e2=0,解得a=3, f(x)=(2-3x+1)e,定义域为R, f(x)=（x2-x-2)e=(x+1)(x-2)e, 令f"(x)>0得x>2或x<-1,令f'(x)<0得-1<x<2, 故f(x)单调递增区间为(-w,-1),(2,+∞)，单调递减区间为(-1,2)， 此时函数f(x)在x=2处取得极小值，满足题意： (2)由(1)知，故f(x)在(-2，-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减， 故f(x)在x=-1处取得极大值，也是最大值，f(-1)=5e, 又f(0)=1,f(-2)=11e2,其中1<11e2, 故f(x)在区间[-2,0]上的最小值为1， 综上，f(x)在区间[-2,0]上的最大值为5e1,最小值为1. 17.(①)B= 3 (2)9 【详解】(1)a=bcosC+c,sinA--sin BcosC=s 1 C)-sin B cosc=sinC:..cos sinc, .sinC>0,..cos B= 2又：0<B<π，B= 1 3 )面短c4 则5m4-cc-5m4-co 答案第6页（共10页） 又Ae02n 3A3C 行，a4BC是等边三角形， a=3,△ABC的周长为9. 18.(1)2√5 (2)证明：记ON与BM的交点为Q,连接PQ, 因为四边形OMB是菱形，则O为ON和BM的中点， 因为∠PON=60°，OP=ON,所以AOPN为正三角形， 所以P01ON,则P0=P0sin60°=2x5-V5, 而在等边△MON,△NOB中，易知MQ=BQ=√3， 即PO=MQ=BQ,所以PB⊥PM, 因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB L PA, 又PMOPA=P,PM,PAC平面PAM,所以PB⊥平面PAM. 3)0 5 【详解】(1)连接OM,MN,BM,因为M,N是底面半圆弧AB上的两个三等分点， 所以有∠MON=∠NOB=60°，又因为OM=ON=OB=2, 所以△MON,△NOB都为正三角形， 所以MN=NB=BO=OM,四边形OMB是菱形， 则V到边OB的距离为h=BNsin60=2×5.5, 2 所以四边形OMB的面积为OB.h=25 (2)略； (3)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上， 由(2)知PQ⊥ON,即O为点P在底面圆内的射影，所以PQ1底面ABM, 因为四边形OMB是菱形，所以MB⊥ON,即MB、ON、PO两两互相垂直， 以点Q为坐标原点，2M,QN,QP分别为x,y，,z轴，建立空间直角坐标系Q-z,如图所示， 答案第7页（共10页） - x M 则0(0，-1,0)，M(3,0,0),B(-3,0,0,N(0,10,P(0,0,3), 所以PM=(（W5,0,-V3),0P=(0,15),0B=（-31,0）, 设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z),则 mOP-0.所以 y+3z=0 mOB=0 -3x+y=0 取x=1,则m=(1,5,-1), 设直线PM与平面PAB的所成角为O, 所以sin0=cosPM,m= PMm5+g西 m PM √6x√5 故直线PM与平面PA8所成角的正弦值为10 19.0①+y=1 2 (2)2 (3) 设4，，.，” 因为A,B均在椭圆C上， 生+=1 所以 +好=1 两式相减得区+)3-+(0+，01-)=0， 2 2 整理得， 当少=-+、 X1-X2 2(4+乃2)' +2 而名=k如=当上 X1-x2 如子经 2 则年km=一2，设直线1的方程为y=+m,k0, y=kx+m 联立x2 2+2=1得0+2k)x+4kx+2m-2=0 答案第8页（共10页） 则△=16k22-41+2k2)(22-2)=8(2k2-1m2+1)>0, 24 x+3=1+2k 因为直线0P的方程为=文，则02-动月 s、1 联立 2k 2+2=1 得-装 分别过R,P作x轴的垂线，垂足为M,N,设直线x=2与x轴交于点H(2,O), 由a网og-,n888g2-删 ON OH 则OW=OMOH,即=2xR, 即4k2=46L 2k2+11+2’即k=-m, 则直线I的方程为y=-r+m, 所以直线过定点(1,0) OL R x=2 【详解】(1)因为P+P=2a,则PP=2a-2P引， 因为P-PF的最大值为2，且P的最小值为a-c, 则2a-2(a-c)=2,即c=1, 又e=c-5,则a=5,B=d-c=1, a 2 心椭圆C的方程为，+五 (2)由(1)知，耳（-1,0)，F(1,0), 设P(6,则9+6=1，即=1-发 2 则椭圆C在P点处切线为+y=1,即6x+2yy-2=0 2 2 2 则O到切线的距离为= V+4听V好+4-2x行V4-无： 答案第9页（共10页） 椭圆+y=1的右准线为x=C=2, 2 则P(,)到右准线为x=2的距离为d=2-, 根据椭圆的第二定义可知，P=e=c=V2 d a 2 即9--5，则州-：原 剥PP=2号， 所以pP42-=2 (3)略 答案第10页（共10页）