广西壮族自治区崇左市大新县大新中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

大新县中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 (试题满分150分考试时长120分钟) 一、单选题（共40分)：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求. 1.已知集合A={x|-2<x≤1}，B={-2,-1,0},则集合A∩B=() A.{-2,-1,0,1} B.{-1,0,1} C.{-1,0} D.{-2,-1,0} 2.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：7,5,9,7,4,8,9,9,7,5，则这组数据第 70百分位数为() A.7 B.8 C.8.5 D.9 3.设向量a=4,),6=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)1c,则元=() A.3 B.2 C.-2 D.-3 4,者双曲线于-1(k为非零常数)的离心率是5，则双曲线的虚轴长是( A.6 B.8 C.12 D.16 5.将函数y=32x+习的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 6 () A.术3玩 4 B.=3 8 C.x=-5n 14 D.x=-5n 24 6.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题记P为实际声压，通常我们用声压级L(p)(单位：分贝)来 定义声音的强弱，声压级L(p)与声压P存在近似函数关系：L(p)=al鸣卫，其中a为常数，且常数 P(P>O)为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压乃为穿软底鞋走路的声压P 的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L(2)=60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L(P2)的3倍.若住宅 区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p',则() A.a=20,p'≤1010p, 1 09 B.a=20,p'≤ C.a=10,p'≤10W10p2 D.a=10,p≤10A 1 7.已知等比数列{a}有2n+1项，4=1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n=() A.2 B.3 C.4 D.5 试卷第1页（共4页） 8.某生产厂商要为一款直径为2的球形玩具设计一种正四面体的包装盒，每个盒子需放入10个小球， 则包装盒的棱长最短为() A.2+2√6 B.2+46 C.4+2√6 D.4+4V6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点，点M(x,o)在抛物线C上，若M=5,则() A.F的坐标为(1,0) B.6=4 C.OM=2V5 D.SAOFM =2 10.以下四个命题中正确的是() A.在z轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B.若a.b=ac,且a≠0，则b=c C.若非零向量a,b,c满足a1i,b/c,则a⊥c D.若{a,b,c}是空间的一个基底，则{a+五，b+c,c+d心也是空间的一个基底 1.在数列0，}中，4=3.型-30，记数列 a. 的前n项和为Tn,则下列说法正确的是() nn+l (n+1)3" A.4=9 B.{a}是递增数列 C.若对任意neN,都有(-1)”a,≤a,则的取值范围是 D.neN,使得Tn≥ln(n+1) 三、填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设复数z满足(1+i)z=1-1(i为虚数单位)，则z= 13.直线1：x-y+2-3m=0(m∈R)与圆C:x2+y2-2y-15=0交于两点P、Q,则弦长PQ的最小值是 14.已知函数f(x)=asinx,aeZ.若y=f(f(x)的零点恰为y=f(x)的零点，则a的最大值是 四、解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(13分)某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零 试卷第2页（共4页） 件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设5表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求5的分布列和数学期望. 16.(15分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 sin2B+sin2C=sin2A+3sin B sin C (1)求sinA; (2)若△ABC外接圆的面积为16π，求边长a 17.(本题15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形， AB=2,AD=PD=1,M,N分别为PB,CD的中点. D C B (I)求证：MN⊥面PAB: (2)求C到平面AMN的距离. 试卷第3页（共4页） 8(17分)已知椭圆C:等+片1Q>b>0)过点Q,),且C的离心率为Y2 (1)求椭圆C的方程； (2)设点P(2,0),A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交椭圆C于另一点E,乃是椭圆的左焦点， 求△AE?的内切圆半径的取值范围： B)若斜率为3neN)的直线与椭圆C相交于M,V两点，且N中点G恰在抛物线C:=-2y上 n 记G的横坐标为xn,求x的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)=h(2x-1)-m(2x-1)+1. (1)若y=f(x)在x=2处的切线与直线x+3y-1=0平行，求y=f(x)的极值； (2)若函数y=f(x)的图象恒在直线y=1的下方. ①求实数m的取值范围； ②求证：对任意正整数n,都有n[(2m门<4n+ 5 试卷第4页（共4页） 《大新县中学2026-2027学年秋季学期期中考试（高三数学)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C A ⊙ D A B BD ACD 题号 11 答案 ABC 1.C 【详解】解：因为A={x|-2<x≤1}，B={-2,-1,0} 所以集合A∩B={-1,0}, 故选：C 2.C 【详解】将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4,5,5,7,7,7,8,9,9,9， 10x70%=7，第70百分位数为88的 故选：C. 3.A 【详解】因为a=1,1),b=(-1,3),c=(2,1),则a-b=(1+,1-32), 若(a-b)1c,则(a-b)c=21+2)+1-3)=3-=0,解得1=3. 故选：A. 4.B 【详解】由解析式可知双曲线的a=4,b2=k, 所以腐心率-后是-子5，片以=16 B2 4 即b=√R=4, 所以虚轴长2b=8. 故选：B 5.D 【详解】白题意，可得=39n26x-骨+孕-3n(2x-没， 令2x-亚=亚+mkeD,可得x=匹+keZ), 122 242 当k=1时，可得x=-5还」 24 故选：D. 答案第1页（共10页） 6.A 【详解】由题意L()-L(p,)=adgA=alg100=2a=60-20=40,得a=20, P2 则Zp）=20lg，因此Z(p)=201g≤50， Po Po Z(p）-Z(p,)=20lg2≤50-20=30，则p≤10N10p, (B)-Z(p)=20le号≥60-50=10，则p≤ D 10. 故选：A. 7.B 【详解】因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为9， 得到奇数项为1+q+q+.…+qm=1+q(q+q++.+m-1)=85, 偶数项为q++q+.+q2-1=42,整体代入得q=2, 所以前2n+1项的和为1-2 =85+42=127,解得n=3. 1-2 故选：B 8.C 【详解】设正四面体的棱长为a,高为h,内切球半径为r, 则d=+ 52)2 -ax- a.4xxLxxr-IxLaxxh 23 可得h=6 3 32 2 32 2 可得，=6 a, 2 即正四面体的高等于其枝长的后，正四面体的内切球的半径等于其枝长的6 3 12 当10个直径为2的小球放进棱长为a的正四面体ABCD中，构成三棱锥的形状，有3层，从上到下每层 的小球个数依次为1,3,6. 答案第2页（共10页） y D 当α取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四 面体的底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于正四面体尖角处的所有相邻小球的球心连线可组成 一个正四面体EFGH， 设底面BCD的中心为O,AO与面FGH的交点为P,则该正四面体EFGH的棱长为1+2+1=4，可求得 其高为BP=4x6_4N6,AB=1x2×6-1=3,所以正四面体ABCD的高为 331 √63 0=B+BP±+P0=3士中1：44中6进而可求得其棱长a的最小值为 +46×3=4+26 4 3 故选：C 9.BD 【详解】由搬物线C:x:4,可得卫=2，所以号1，且焦点在y挂正半轴上， 则焦点F(0,1),所以A错误： 由抛物线的定义，可得M=+1=5,解得%=4，所以B正确： 由%=4，可得=16，所以=4，则oM=√号+=4W2,所以C不正确： 由5m-pAk2,所以D正确 故选：BD 10.ACD 【详解】对于A,设空间向量v=(x,y,z),=(0,0,1)是z轴的单位向量，则v在z轴上的投影向量的模为 0,即下==0，得z=0,因此在z轴上的投影向量的模为0的空间向量的坐标形式为x,y,0),所有 这样的向量都在y平面内（或平行于y平面），因此它们共面，故A对： 对于B,由a.b=a.c可得a.(b-c)=0,所以a⊥(b-c), 但这推不出=C,故B错： 对于C,若非零向量a,b,c满足b%,则b=tc(t≠0)，又a1b, 答案第3页（共10页） 所以a.b=0,即a.tc=0,得a.c=0,所以a⊥c,故C正确 对于D,若a+b,b+c,c+a共面，设a+b=s(b+c)+tc+), t=1 即a+b=sb+6+t)c+ta,又{a,b,c是空间的一个基底，所以{ S=1,方程无解，所以a+b,b+c,c+a 5+t=0 不共面，即{a+b,b+c,c+d也是空间的一个基底，故D正确. 11.ABC 【详解】对于A因为4=34=30，所以0+1a=3. nn+11 na 所以{a}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以0=3x313·所以a.=,==9,故A正确 对于B,由于4=30=1+m>1.故44>A,因此a}是递增数列，故B正确： 4.n+1 n+1 对可(rA告-》 当n为偶数时，则以≤恒成立. 由于f回-11单调造增，故2sf回)=3-2)2： 当为的数、则-)恒成立。 由了倒=1单调诺酒，改-×0=0古房则得2 n+l 故对任意EN,都有（旷a≤as则≤s2,放c正确： 3” 对于D,因为4 n 1_11 (0n+1)3(n+1)3(n+1)nnn+ 所以x-1)-日 令7m,期似国=是} 1 当0<x<1时，f"(x)<0,当x>1时，f(x)>0 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增，又+1≥2， 所以f0+1)=+n(0+1)-1>f)=0,即n(0+1)>1-1=T,故D错误. n+1 n+1 12.2 2 2 答案第4页（共10页） 【详解】因为1-=√P+1=√，即1+i)z=2, 可得：=点555，所以：-5+5 1+i(1+i)1-i)22 22 13.2√6 【详解】圆C:x2+y2-2y-15=0化成标准形式为圆C:x2+(y-1)2=16, 圆心C(0,1),半径r=4, 直线1：x-y+2-3m=0→m(x-3)-y+2=0过定点M(3,2),并在圆C内， ∴PO最短时，点M(3,2)为弦PQ的中点，即CM⊥P2时， 所以Pg=2VFP2-CM-26 故答案为：26. 14.3 【详解】设A={x(x)=0以，B={x(f(x)》=0} 显然，集合A非空 当a=0时，显然A=B, 以下设a≠0， =asinx=0,B=xasin (asinx)=0=asinx=ki,kZ. 易知，B三A当且仅当对任意的x∈R,有six≠m(k∈Z,k≠O), 即ad<兀，故整数a的最大值为3. 故答案为：3 15. (2)5的分布列为： 5 0 1 2 1 5 5 P 21 21 > 效学期望为号 【详解】(1)设“第1次检测出合格零件”为事件A,“第2次检测出不合格零件”为事件B, 答案第5页（共10页） 则p4=P因利=名 放在第1次检测出合格零件的条件下第2次是不合格零件的概率为 (2)由题意5可能的取值为0,1,2 5-0表示前5次检测出的均为合格零件，则P(5=0)=7634321 543211 5=1表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格，则P(5=)=C三C.!-三 C221 P(5=2）=1-P(5=0)-P(5==121217 155 则5的分布列为： 0 1 2 1 J 5 21 21 7 1 5 55 所以5的数学期望E(5)=0× +1× 21 +2×3 16.(1)号 (2)4 【详解】(1)因为sinB+sinC=sinA+√3 sin Bsin C,由正弦定理可得b2+c2=ad2+√3bc, 由余弦定理可得cosA=+c2-a-V3e_V5 2bc 2bc 2 因为0<4<，则A名故m4m君号 元1 62 (2)设△ABC外接圆的半径为r,则m2=16π，可得r=4, 由正弦定理可得a=2,故a=2smA=8×号-4. sin A 2 17.(I):PD⊥底面ABCD,AD,DCC平面ABCD, PD⊥AD,PD⊥DC, .底面ABCD为矩形，AD⊥DC, 以D为原点，分别以DA,DC,DP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图， ZA B 则根据题意可得： 答案第6页（共10页） D(0,0,0),A1,0,0),C(0,2,0), PaaD.Ba20M[专}N010. w（0》A=a0-a丽=020. =1+0-（》=0w4=0, .MN⊥PA,N⊥AB,又PAOAB=A,PA,ABC平面PAB, .MN⊥面PAB; ② 3 【详解】(1)略 (2)设C到平面AN的距离为h. 由(1)可知N⊥M. :PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=2,AD=PD=1, M,N分别为PB,CD的中点， w9w-a-p-月9 2 -1x62_3 ∴SAaN=2X2X24 :S8c=2x1x1=2 1 1 2 由'cAr=YM-Ac, .1111 …32234 h; h=5,即C到平面AN的距离为 3 3 8o片 e号 d2=b2+c2 【详解】(1)依题意b=1 解得a=√2，b=1 c2 La 2 所以椭圆C的方程为 (2)因为直线AE斜率存在且不为0，可设AE的直线方程为x=y+t(m≠O), 答案第7页（共10页） 设点A(,)(出≠0)，E(,y2),则B(,-), r-1得r+2产+2咖+r-2=0. x=my+t, 联立x2, -21t 则△=8(r-f+2)>0,+%=m+2,yy= t2-2 m2+2 F B 因为点P,B,E三点共线且斜率一定存在，所以马+1=片 为出-2 所以2+x24=2(以+y2), 将x=+i,书=+1代入，化简可得当+些=2 h32-t 故，2m=-2m 2-t2-2,解得t=1, 满足△=8(+1)>0，所以直线AE过定点Q(1,0),且Q为椭圆右焦点. 1 设所求内切圆半径为7，因为S.A=与×4-T=2W5, 所应，8及a4+SPO+为4m 2W2 2W2 2W2 2W2 m2+2 令u=Vm2+1(u>1), u 1 1 所以2+1 1 u+ 1 2u. 3,当且仅当u即1=1时等号成立，从而0<7<号 所以△5肉切圆半轻r的范盟为0》 +=1 (3)设M(ux),Nsw,w,G(e,a),代入得3 +=1 2 作差整理得(g3+w)=-2(0wx0w+w）,--,+ xu-x 2(u+y) XM+XN 即w=2w+功)，又因+w=2g,+n-2g, 长理得一京即。公衣，即k如-号 答案第8页（共10页） 因为点0在孩的线上，所以g=式，又水，即兰-方，即得。=分 由a--公-2n+23,当=1时，上式为正， 3+H 3 31-1 当n≥2时，上式为负，即x1<为>x3>x4>…>xm>… 联立{2 +y,得到其交点的横坐标为x=5-,所以0≤XsV5, x2=-2y 因为（了- 4 sV5-1 所以气的最大值为号 19.(1)极大值为n2,无极小值 eo2rj: @证明：因为2>≥血(2x-,所以当m=时，血(2x-少<2 5e2x-1 2x-15 即ln(2x-1) 22少对任意的x恒成立4k=2x-1keN),则学， 5 所以nl+h2th3+…+n(2到<0+2+3+…+2训， 即ln1+ln2+ln3+.+ln(2m）< 2n(1+2n) 5 所以1n(2m]s2(2n+ 5 因为4nn+_2n(2n+.4r+4m-4m-2”_2>0, 5 5 5 5 所以22n+.0+,又n[（2ny]<2n2n+,即n(2n门<+ 5 5 5 5 【详解1由=h(2-少m2x-)1可得r=22m. 所以了2)=号-2m=子即m=号 2 则=少-5o品，（引 令了()=0可得x=多令()<0，解得>号令)0，解得< 所以了)在（上单调递减，在2产2引 13 上单调递增， 所以f(x)的极大值为f ）h22,无段小 答案第9页（共10页） (2)①由条件可知：只需()<1，即n(2-)-加2-k0在行+0上恒成立， 即m(2x->h2x-1).而x>分，所以2x-10,所以m>2恒成立 2x-1 争g小则7-2，◆g-0呵用- (2x-1) 2 令g)>0,解得生，令g)0,解得)生 所以g国在侵)上竿销遂增，在（会小上单润运成。 故)的最大位为告)。所以加是即实数m的取值花用是” ②略 答案第10页（共10页）