广西壮族自治区来宾市象州县中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

象州县中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 (满分150分时长120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求。 1.(5分)己知集合M=xx-2≤2}，N={-2,-1,0,1,2,3},则MnN=() A.{-1,0,1,2 B.{-2,-1,0,1} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3} 2.(5分)若复数z满足(z-3)=-1,则z+z=() A.-3 B.3 C.-6 D.6 3.(5分)已知g,6是两个不共线的向量，向量9+6，日-3妃共线，则1=（） B C.6 D.-6 4.(5分)如果随机变量X~N(6,4),则P(X≤2)约等于()（注：P(u-2o≤X≤u+2o)=0.9545) A.0.210 B.0.0228 C.0.0456 D.0.0215 5.(5分)已知正数x,y满足xy=8,则(x-1)(y-2)的最大值是() A.4 B.6 C.1 D.2 6.（5分)已知等差数列{a}前n项和为Sn,=5,则S5=() A.8 B.45 C.72 D.75 7.(5分)已知函数f(x)=2sin2x-,若将函数f(y)的图象向右平移t(>0)个单位长度，得到函数 6 8(x)的图象若函数8(x)为奇函数，则t的最小值是() A.8 c.5π 12 D.5π 6 8,(5分)在平面直角坐标系x0y中，A为双曲线CC之=(a>0,b>0)的左顶点，M为双曲线C上 位于第一象限内的一点，点M关于y轴对称的点为N,记∠MAN=a,∠MOx=B,若tanatanB=3,则 双曲线C的离心率为() A.2 B.5 C.√2 D.√5-1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.(6分)设A,B是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是() 试卷第1页（共4页） A.如果P(A)+P(B)=1,那么A与B相互对立 B.若A,B是互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑 球”是对立事件 D.已知事件A,B发生的概幸分别为P()-片P(©)-号且P4)5则事件A,B相互独立 10.(6分)己知正方体ABCD-AB,C1D的体积为8，线段CC1,BC的中点分别为E,F,动点G在下底面 AB,CD内（含边界），动点H在直线AD上，且GE=A4,则() B D A.三棱锥H-DEF的体积为定值 B.动点G的轨迹长度为V5 C.不存在点G,使得EG⊥平面DEF D.四面体DBG体积的最大值为V5+2 6 .(6分)在椭圆C。+将Q>b>0中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆T:r+少=a+B 称此圆为该椭圆的蒙日圆该圆由法国数学家G-Mo1ge(1746-1818)最先发现若椭圆C:+上 16+g1,则 下列说法正确的有() A.椭圆C外切矩形面积的最小值为48 B.椭圆C外切矩形面积的最大值为48 C.点P(x,)为蒙日圆T上任意一点，点M(-10,O),N(0,10),当∠PMN取最大值时， tan∠PMN=2+√5 D.若椭圆C的左、右焦点分别为耳，至，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于点M, N,则PPE=PMPN 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 125分已如m-引- ,则c0s20= 试卷第2页（共4页） 13.(5分)若0≤a≤1时，不等式x2+5x-6>0恒成立，则实数x的取值范围是」 14.(5分)将7本不同故事书分配给3个孩子，每个孩子至少分得一本，记三个孩子分得书本的数量分 别为a,b,c,若从所有可能的分配方案中随机选择一种，记随机变量X为α，b,c三个数中最大的数，则X 的数学期望E(X)为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=m-1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,1)，记数列{a}的前n项和为S,,且 S,=f(n). (1)求数列{a}的通项公式： 20-1 2)设a=(a+10a4+1) 1 数列{bn}的前n项和为Tm,求证：Tn< 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3 bcosC-csinB=√3a (1)求B; (2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D,a=4,△ABC的面积为7N3,求BD的长度： (3)若b=2√5，求△ABC周长的最大值， 17.(15分)把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角、 试卷第3页（共4页） (1)证明：PB⊥平面PCD: (2)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. 18.(17分)已知函数f(x)=a(x-1)+e*(x-2)(a∈R), (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程： (2)求函数f(x)的单调区间： (3)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围（只需写出结论） 19.(17分)已知圆E的圆心在x轴上，且过o(0,0),4, 2-2 两点，抛物线C:y2=2x(p>0)与圆 E有且只有一个交点. (1)求圆E的标准方程： (2)求P的最小值： (3)当P取最小值时，过抛物线C上的点M作圆E的两条切线，它们分别交C于点A,B(A,B均异于 点M),设直线OA,OB的斜率分别为k,k,证明：k-k为定值. 试卷第4页（共4页） 《2027届高三第一学期期中检测（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C 0 ⊙ ⊙ D D A BD ACD 题号 11 答案 ACD 1.C 【详解】因为M={xx-2|≤2}={xl0≤x≤4，N={-2,-1,01,2,3}, 所以MN={01,2,3} 故选：C 2.D 【详解】因为i(z-3)=-1=iP, 所以z=3+i, 所以三=3-i 从而二+三=6： 故选：D 3.B 【详解】因为+6，日-妈共线，所以设名+后=(-的， 1 1 又e,e,是两个不共线的向量，所以 x=2,解得 t=-3x 3 i=- 故选：B 4.B 【详解】由题得4=6，σ=2， Px≤2）)=Px≤6-2x2)=PX≤L-2o)=1-P-2o≤X≤+2o）-1-05450028 2 2 故选：B 5.D 【详解】(x-1)(y-2)=xy-2x-y+2,因为2x+y≥2√2xy=8,所以-2x-y≤-8， 从而xy-2x-y+2≤-8+10=2，当且仅当2x=y=4时，等号成立，所以(x-1)(y-2)的最大值是2. 故选D 6.D 答案第1页（共13页） 【详解】Ss 15(4+4s)=15a4,=75 2 故选：D 7.C 【详1自题意8（创=f-小=2n2(一-小看引-2n（2--君引 因为国数8)为奇函数，所以-21-名低kEZ,→1=冬晋keZ, 212 又>0，所以当k=-1时，t有最小值是亚 -12 故选：C. 8.A 【详解】 0 设M(,),>a,>0,则N(-,),A(-a,0), 是差-a>06>0,则防-代-)，回 则∠MAN=∠NAx-∠MAx=a, 所以tana=tan(∠NAr-∠MAx)=,tan∠N4r-tan MAx 1+tan∠NAx.tan∠MAx tamn∠4=为-0-h,tam∠Max=h-0-为 -xo+a a-xo xn+aa+xo 6。为2% 所以taa&= 空⑧ a-xo a+xo d2-x0 将①代入②得tana= -2b20 d2-b2% tanB=tan∠Mox=h 因为tanatanB=3, -b6X6a-b-3→B=3x, 所以 -2B.五×h=-2b 答案第2页（共13页） 所以双曲线的离心率为e= a 1+=2 故选：A. 9.BD 【详解】选项A:设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设A=“至少有一次正面向上”，B=“两次都是正面”， 显然代利-)-子P到+到=1，月A与分不是对立半件放A结误： 选项B:因为A,B是互斥事件，所以P(AB)=O,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故 B正确； 选项C:从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误： 选项D:根据相互独立事件的定义，若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立， 因为P-含P(B)-行P(4)5满足P(A)=P(P(a. 因此事件A,B相互独立，故D正确。 故选：BD 10.ACD 【详解】对于A,如图，连接BC、AD, F D H B D 依题意，EF‖BC II AD,而ADa平面DEF,EFC平面DEF,故AD‖平面DEF, 所以点H到平面DEF的距离等于点A到平面DEF的距离，其为定值， 所以点H到平面DEF的距离为定值，故三棱维H-DEF的体积为定值，故A正确： 对于B,因为正方体ABCD-ABCD的体积为8，故A4=2,则GE=2,而EC=1, 故CG=VGE2-EC=V5, 答案第3页（共13页） B B 故动点G的轨迹为以C为圆心，√3为半径的圆在底面AB,CD内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为}×2m×5=VBπ，故B错误， 2 以C1为坐标原点，CD,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B B1 D A 则D(2,0,2),E(0,0,1),F(0,1,2),故DE=(-2,0,-1),EF=(0,1,1), F=0, ,「y+z=0, 设1=（x,y,z)为平面DEF的法向量，则 E0故{2：0 令z=2,故=(-1，-2,2)为平面DEF的一个法向量， 设G(x,%,0)(≥0，%≥0)，故EG=(,%,-1), 若EG⊥平面DEF,则/1EG, 则当号子，解得号-1，但写+听*3， 1 所以不存在点点G,使得EGL平面DEF,故C正确： 2 2 22 而点G到平面DEF的距离d= EG_k+2,+2+2+2 3 3 令=V5cos0,则h=V3sim8,6∈0， 2 则d=5cos0+2W5sin6+2_i5sin(0+p)+2≤15+2，其中tamp=} 3 3 3 答案第4页（共13页） 则四面体DrG体积的最大值为2x衫x5+2_5+2,故D正确 323 6 故选：ACD 11.ACD 【详解】对于A,B:如图，设对于椭圆C上任意点M,过点M作椭圆的切线交圆下：x2+y=25于 P,2两点， P,Q关于原点对称的点分别为S,T,则椭圆C的一个外切矩形为POST, M S O 7 则S=Pg2S,由图象易知， 圆心O到直线P9的距离d∈[3,4]，所以PQ∈[6,8]. 又PeP+sP=100,所以外切矩形为POsT的面积s=POP.(10-|PO)∈[48,50]， 因此A对，B错 对于C:当PM与圆相切且切点P在圆下方时，∠PN最大，am∠PMO= 3 ,∠NM0=45°， 3 +1 .tan∠PMW=3 1、3 2+√3，C对. 3 y M P 对于D:PE+PF=8∴.PF2+PE+2PF·PE=64, 答案第5页（共13页） Pr2+PF=64-2Pr·PE, PE+PE,=2PO PR2+PE+2PE.PE =4PO PR-P耳=乃FPr+P-2P℉·PE=RE② ①+②得Pr+P=2PO+14,∴.PO2=25-PEPE, PM·PN=(r-OP)(r+OP)=25-(25-PR·PE)=PEPE,故D正确 故选：ACD 2 【详解】因为sin 2 所以c0s20=2c0s20-1=2× 故答案为：一3 13.*6 【详解】令f(a)=2+5x-6,由题知当0≤a≤1时，f(a)>0恒成立， 5620解得x>g所以实数x的取值范国是x f(0)=5x-6>0 所以 6 故答案为：x> 5 u罗 【详解】解：总分配数：每本书都可以独立选择给3个孩子中的任意一个，所以一共有：3？=2187 (种)分配方式， 减去“有人没分到的情况：先减去至少有1个孩子没分到书的情况： 选1个孩子不给书，剩下7本书只能分给另外2个孩子，有2？=128（种）分法， 所以初步减去：C·2=3×128=384(种)， 但这样多减了“有2个孩子都没分到书'的情况： 因为“孩子甲没分到和“孩子乙没分到两种情况下，都包含了“甲、乙都没分到的情形，被重复减了， 选2个孩子不给书，7本书只能给剩下的1个孩子，所以加回：C1”=3×1=3(种)， 于是满足每人至少1本的方案N=2187-384+3=1806(种)， 将7本不同的书分为3组（每组至少1本），有4种分组的可能：11,5}，13,3}，1,2,4}，{2,2,3}. 答案第6页（共13页） (1)当X=3时， ①先分组{1,33}，再分配给3个孩子的方案： ccC×A=7x20X1x6=420种， 2! 2 ②先分组{2,2,3}，再分配给3个孩子的方案： cicc-21x101x6=630种， 2！ 2 X=3合计方案数：420+630-1050种，P(X=3)=1806 1050 (2)当X=4时，先分组1,2,4，再分配3个孩子的方案： Cc8C×A=7x15x1x6=630种，P(x=4)=630 1806 (3)当X=5时，先分组11,5}，再分配给3个小朋友的分法： CCCxA-21x21x6=126种， 2！ 2 P(X=5)=126 1806 因此，E()=3×1050 4×630+5×126_150 1806 1806 180643 15.(1)an=2 21-1 2-1 (2)b= 11 a.+1)aH+1)(2-4+1(2”+12+12+1' 11,11 所以x,=6+6+…+62+22+12+十+ 11111 2"-1+12”+122”+12 (2)利用裂项求和法求，即可证明7<2 1 【详解】(1)由题意f(1)=1→a-1=1→a=2. 所以数列{a},其前n项和为S,n=2”-1. 当n=1时，4=2-1=1： 当n22时，4=S-Sn1=(2”-1)-(2-1-1）=2-1 n=1时，上式亦成立 所以an=2-1,neN (2)略 16.(1)B= 2元 3 ②BD= 28 (3)4+2√5 【详解】(1)根据正弦定理，√3 bcosC-csinB=√3a边化角得：√3 sinBcosC-sinCsinB=√3sinA, 答案第7页（共13页） 又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, 代入上式整理得：-sinBsinC=√5 cosBsinC, 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以tanB=-√3， 又Be(O,,得B=2 3 (2)由三角形面积公式：Sc= acm84c×5-反=7V5,得c=B-7, 2 BD是角平分线，故∠ABD=∠CBD=了，由面积关系Sc=Sn+S@0, 设BD=x,则片ABBDsin5+BCBD-sim5=7N5, 32 3 代入仙又C4特：h=5.部为D=兰 4 B D (3)由余弦定理：b2=a2+c2-2acc0sB→12=a2+c2+ac, 即(a+c)2-ac=12,得ac=(a+c)2-12, 由基本不等式ac≤ a+c 2 ,代入得a+c)2-12≤a→(a+c)≤16→a+c≤4当且仅当 a=c=2时等号成立， 所以△ABC的周长L=a+b+c≤4+2W3, 故△ABC的周长最大值为4+23 17.(I)因为二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD, 又平面PBCA平面BCD=BC,∠BCD=90°，即CD⊥BC,且CDC平面BCD,所以CD⊥平面 PBC 因为PBc平面PBC,所以CD⊥PB 由题意知，△PBC是由△ABC翻折得到，且∠BAC=90°，所以∠BPC=90°，即PB⊥PC, 又因为PCOCD=C,PC,CDC平面PCD,所以PB⊥平面PCD. R 5 【详解】(1)略 答案第8页（共13页） (2)在△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=90°，所以BC=V32+32=3√2， 分别取BC、BD的中点OM,连接PQOM. 因为PB=PC,所以PO⊥BC 又因为平面PBC⊥平面BCD,平面PBCO平面BCD=BC,POC平面PBC, 所以PO⊥平面BCD.又因为CD⊥BC,OMI/CD,所以OM⊥BC. 以O为坐标原点，分别以OB,OM,OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-yz. D 在RtaBCD中，BC=3√2，∠CBD=30,所以CD=√6. 则c0a0009a29ax-560, 2 防以m:←909 BD=(-32,6,0, n.BP=0 （35x+35z=0 -X+ 设平面PBD的法向量为=(c,y,),则 即 2 2 n.BD=0' -3W2x+√6y=0 取x=1,得n=(L,V5,1), 又因为平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1), 设平面PBD与平面BCD所成角为O, + n.n 则cos6=cos<2,l> 5 风园 V12+(W3)2+12×1 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为V 5 18.(1)y+e=0 (②)当a≥0时，f在(n)上单调递减，在，o)上单调递增：当<a<0时，f在(，h(-2a》 和+m)上单调递增，在血(2a,)上单调递减：当a=时，在R上单调递增：当a<时， f(x)在(-n,1)和(n(-2d,+∞)上单调递增，在1，n(-2a)上单调递减， (3)(-0,0]. 答案第9页（共13页） 【详解】(1)当a=0时，y=f=e(x-2), 所以f(x)=e(x-l), 所以f(1)=-e,f(1)=0, 故曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为y+e=0. (2)由f(x)=a(x-1)+e(x-2),知f'(x)=2a(x-1)+e(x-1)=(x-1)(2a+e） ①当a≥0时，2a+e>0, 令f'(x)>0,则x>1;令f"(x)<0,则x<1, 所以f(x)在(-0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： ②当a<0时，令f"(x)=0,则x=1或n(-2a, 若h(-20-1,即a=一氵则之0恒成立，所以0)在R上单调递增： 若h(20>1,即a<-号 令f'(x)>0,则x<1或x>ln(-2a;令f'(x)<0,则1<x<n(-2d, 所以f(x)在(-n,1)和(n(-2a),+o)上单调递增，在1，ln(-2a)上单调递减： 若h(2ak1,即-<a<0, 令f'(x)>0,则x<ln(-2a或x>1;令f'(x)<0,则h(-2a)<x<1, 所以f(x)在（←∞，ln(-2a)和1，+w)上单调递增，在(n(-2a,)上单调递减， 综上所述，当a≥0时，f(x)在(-0,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增： 当<a<0时，在，h(-2如)和+)上单调递增，在h(-2网.)上单调道减： 当a=-时，fx)在R上单调递增： 2 当a<-时，f)在(-，)和血(-2a,+)上单调递增，在0，h(-2a》上单调递减. (3)①由(2)知，当a≥0时，f(x)在(-n,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 此时f(x)n=f()=-e<0,x→+o0时，f→+w, 若a=0,则f(x)=e(x-2),当x→-o时，f(x)→0，所以函数f(x)恰有一个零点： 若a>0,则当x→-∞时，f)→+，所以函数f(x)有两个零点： ②当a=-时，f)在R上单调递增， 当x→+n时，a(x-1)<0,e*(x-2)>0,指数函数e的增长速度远快于二次函数(x-1)2, 答案第10页（共13页） 所以x→+0时，f(x)→+0， 又f(I)=-e<0,所以函数f(x)恰有一个零点： 国当-氵<a<0时，)在(n,血(-2a)和Q+)上单调递增，在((-2a.)上单调递减， 所以极大值为f(n(-2a)=a[ln(-2a)-]-2aln(2a)-2上d4[(ln(-2d)-2+1<0, 极小值为f(1)=-e<0,且x→+w时，f)→+w, 所以函数f(x)恰有一个零点： ④当a<-。时，f(x)在（←m,1)和(n(-2a),+m）上单调递增，在1，h(-2a》上单调递减， 2 所以极大值为(1)=-e<0,且x→+0时，f)→+∞， 所以函数f(x)恰有一个零点， 综上所述，a的取值范围为(-m,0]. 19.(1)(x-1)2+y2=1: (2)1 -为定值1.E明：白2)得Cy=2x,自愿可设M兰】 设过点M的圆归的切线方程为-，=文-)，即+y空-0， Vk2+1 两边平方得+ 2 进一步整理得子（兮-462-5）+好-1=0. 设两切线斜率分别为kA,ks,则kMM,ks是上述方程的两根，故 6(2-6)_4(6-2 好-14(6-1) 4(防-4)6(64e= (6-4)5(坊-4： 1 2消去x得y2-2y+2地-坊=0、 y2=2x 2 2 +州即4三之：同理得为 -%. 答案第11页（共13页） m-【品与忌为-{无名u (kk 4(-2）1 4 4(片-1) (号-4) 8(6-44好 4(6-1) (6- (坊-4) 4- 42,+ kypk MA k4+k@+片二 kya 4(-2) 4 %(6-4) 4(好-1 -2% 4(听-1 %-1 6(后-4) (后-4) 4% 又4是-22 6-1 所以k-k=4是一个定值. M 【件深I)可设ao0a:0,则d-a--号 解得a=1, 所以圆心E(1,0),半径r=1, 所以圆E的标准方程为(x-1)+y2=1. (2)联立 (x-1)+y2=1 y2=2px(p>0) +2p-1)x=0→x=0或x=-2(p-1. 因为抛物线C:y2=2x(p>0)与圆E有且只有一个交点， 答案第12页（共13页） 所以-2(p-1)≤0→p≥1， 所以P的最小值为1. (3)略 答案第13页（共13页）