精品解析：黑龙江省佳木斯市第二中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式,可得斜率,由斜率与倾斜角关系即可求得倾斜角. 【详解】直线,化为斜截式可得 则斜率 由斜率与倾斜角关系可得 由 可得 故选:B 【点睛】本题考查了几种直线方程间的转化,直线斜率与倾斜角关系,属于基础题. 2. 某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，义工社团女生总人数为人， 由分层抽样等比例抽取的规则，女生应抽取的人数为. 3. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能， 其中满足的数对有，共5种可能， 所以点在直线上的概率是. 故选：C. 4. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【详解】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 5. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 2或 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 解得或． 当时，，，所以与重合； 当时，，，所以，符合题意； 综上所述：． 故选：A. 6. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案. 【详解】圆的圆心，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程是. 故选：B 7. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ） A. B与A 不互斥且B与A 相互独立 B. B与C不互斥且B与C相互独立 C. C与A互斥且C与A 不相互独立 D. D与A不互斥且D与A相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可. 【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件， ，即B与不相互独立，故B错误； ，即与不相互独立，C与A互斥，故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点， 此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 8. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到曲线为圆心为，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率，数形结合得到答案 【详解】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为， 若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 二、多项选择题：(每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得 6分，3题共18分) 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案. 【详解】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 的周长为，D对. 故选：ABD 10. 圆和圆的交点为A，B则有（　　） A. 公共弦AB所在直线方程为 B. 线段AB中垂线方程为 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D. 【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B， 两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为，， 则线段AB中垂线斜率为， 即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确； 对于C，圆，圆心到的距离为，半径，所以，故C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D错误. 故选:AB 11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数据:1，2，3，5，6，10，9，8，7的分位数是_____. 【答案】7 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，计算索引值；索引不是整数时向上取整，对应项即为所求百分位数. 【详解】先将给定数据从小到大排列：1，2，3，5，6，7，8，9，10，样本容量. 计算索引值：，因为不是整数，向上取整为6，取排序后第6项数据，所以分位数是. 13. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得结果． 【详解】由直线与直线平行，可得，∴m＝4， 直线可化为xy＝0，∴d． 故答案为． 【点睛】本题考查直线的一般式方程与平行关系，平行直线间的距离，属基础题． 14. 已知点，动点满足，动点在直线上，则的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】分析可知动点N的轨迹是以为圆心，半径的圆，根据圆的性质结合图形分析最值即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知动点N的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则点到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设动点N到直线的距离为，则， 所以的最小值为1. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 2026年10月，珠海市金湾区举办青少年科创节，某校数学建模社团有5名成员，男生3名，记为，，；女生2名，记为，，现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队长（每人被选到的可能性相同） （1）写出该随机试验的样本空间； （2）求选出的2名成员中至少有1名女生的概率； （3）求选出的2名成员性别不同的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 用有序数对表示选出正队长为、副队长为. 样本空间 【小问2详解】 由（1）知， 设“选出的2名成员中至少有1名女生”为事件，则 ,, 所以. 【小问3详解】 设“选出的2名成员性别不同”为事件，则, ，所以. 16. 某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2）众数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由第二、三､四组的频率之和为0.8，所有组频率之和为1，列方程求的值； （2）由频率分布直方图中众数､平均数的定义公式计算； （3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题. 【小问1详解】 因为第二、三､四组的频率之和为0.8， 所以，解得， 所以第一和第五组的频率之和为，即， 所以. 【小问2详解】 频率分布直方图中，最高矩形的底边中点横坐标为，即众数为， 平均数为. 【小问3详解】 第四､第五两组志愿者分别有人，人， 采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽3人，记为，第五组抽2人，记为， 则从这5人中选出2人， 有共10种结果， 两人来自不同组有共6种结果， 所以两人来自不同组的概率为. 17. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的垂直关系求出直线的斜率，代入经过的点坐标求解； （2）先求出两直线的交点，再根据两坐标轴上的截距互为相反数分情况讨论，求出直线方程． 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 设直线方程为，根据垂直关系得，， 又直线经过点， ，解得， 所求直线方程为，整理得． 【小问2详解】 联立直线：，解得， 直线与的交点为， 当直线经过坐标原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，直线方程为，即； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， ，解得，此时直线方程为， 所求直线方程为或． 18. 已知点，圆. （1）若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. （2）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式列式求解. （2）按直线的斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 点到直线的距离为， 由弦的长为，得，所以. 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到此直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 19. 已知直线l：和圆C：． （1）直线l恒过一定点M，求出点M坐标； （2）当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长； （3）在（2）的前提下，直线是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 【答案】（1） （2）当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，弦长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线方程的特征，通过解方程组进行求解即可； （2）根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可； （3）根据外切的性质，结合点到直线距离公式、互相垂直的两直线的斜率关系进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为， 所以有，所以直线l恒过一定点， 即； 【小问2详解】 由， 所以，半径， 当时，直线l被圆C所截得的弦长最短， 所以有， 即， 所以 此时直线l的方程为， 点到直线l的距离， 因此直线l被圆所截得的弦长最短为； 【小问3详解】 如图所示： 由（2）可知直线l的方程为， 因为直线是过点且与直线l平行的直线， 所以设直线的方程为，把点的坐标代入，得 ，即直线的方程为， 过与直线垂直的方程设为，把代入，得 ，所以， 由， 到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且与圆外切的动圆中最小的圆的半径为： ， 因此圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为： . 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的性质、勾股定理、点到直线距离公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 3. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 2或 D. 5 6. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ） A. B与A 不互斥且B与A 相互独立 B. B与C不互斥且B与C相互独立 C. C与A互斥且C与A 不相互独立 D. D与A不互斥且D与A相互独立 8. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：(每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得 6分，3题共18分) 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 10. 圆和圆的交点为A，B则有（　　） A. 公共弦AB所在直线方程为 B. 线段AB中垂线方程为 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 数据:1，2，3，5，6，10，9，8，7的分位数是_____. 13. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为__________． 14. 已知点，动点满足，动点在直线上，则的最小值为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 2026年10月，珠海市金湾区举办青少年科创节，某校数学建模社团有5名成员，男生3名，记为，，；女生2名，记为，，现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队长（每人被选到的可能性相同） （1）写出该随机试验的样本空间； （2）求选出的2名成员中至少有1名女生的概率； （3）求选出的2名成员性别不同的概率 16. 某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 17. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 18. 已知点，圆. （1）若直线与圆C相交于A，B两点，弦AB的长为，求a的值. （2）若过点M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 19. 已知直线l：和圆C：． （1）直线l恒过一定点M，求出点M坐标； （2）当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长； （3）在（2）的前提下，直线是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $