精品解析：广西壮族自治区贵港市江南中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 （试题满分150分 考试时长120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意化简集合，进而求交集. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：C. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义,分别验证充分性和必要性. 【详解】当时，两直线方程分别为和，两直线平行； 当直线与直线平行时，有，解得或，其中时两直线重合，舍去，故. 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件. 故选：C 3. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入法，结合对数和指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】∵， ∴， . 故选：B. 4. 已知，，，若，则（ ） A. 1 B. 5 C. －1 D. －5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值. 【详解】， 由于，所以. 故选：A 5. 某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下:，则这组数据的第80百分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 【答案】D 【解析】 【分析】将比分从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解. 【详解】将比分从小到大排序可得：， ，即这组数据的第80百分位数为， 故选：D. 6. 甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先把甲乙捆绑，丙丁捆绑，再把站队分成三步完成，第一步：第一排甲乙必须站在一起；第二步：丙丁必须站在一起；第三步：剩下2人全排列.三步方法数相乘即可. 【详解】第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能， 甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列， 所以有种． 7. 在等比数列中，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列性质将直接整体代换为，把原等式直接转化为关于和的完全平方式；再结合推断出为正数，开平方即可直接得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，，， 所以，即， 因为，且，所以； 同理，所以， 所以. 8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由椭圆的定义和余弦定理结合面积公式求出，再由双曲线的定义和椭圆定义找到a，的关系，代入目标式化简可得，再用基本不等式可求解. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、， 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、，设，， 则由椭圆和双曲线定义可得①，②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得③， ①2③得④， 由面积公式可得，即， 代入④整理得，即， 所以，即， 因为，所以，所以，得， 所以，，即， 所以，即， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轭复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案. 【详解】由复数对应的点为，可得，. 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：， 所以，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在其定义域上是增函数 C. 的定义域为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确； B：，，解得， 所以函数在上单调递增，故B错误； C：由，，得，， 所以函数的定义域为，故C正确； D：，得，，解得，，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若平面，则的最大值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A、B选项，分别取、中点、，连接、、、、、、，证明面面平行，找出点的轨迹，结合图形求出的最大值和点的轨迹长度，可判断C、D选项. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于A选项，，， ，故，选项A正确； 对于B选项，因为，， 设平面法向量为，则， 取，则，可得， ，即， 因为平面，所以平面，故选项B正确； 对于C选项，因为，所以为中点， 如图分别取、中点、，连接、、、、、、， 因为、分别为、中点，所以， 又因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以，且平面，平面，所以平面， 同理可得，平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因此当点P 为的边上一点（异于点）时，则平面，所以平面， 故点P的轨迹为的边上一点（异于点）， 因为， 所以结合图形可知，当点P在G点或H点时，取得最大值，故选项C正确； 对于D选项，根据C选项的分析，P点的轨迹的长度为，故D选项错误. 故选：ABC 【点睛】本题的核心是将求轨迹问题转化为面面平行的问题，满足条件的点一定在与已知平面平行的平面上，只要做出这个平面就能画出轨迹. 三、填空题（共15分） 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 在数列中，，则数列的通项公式为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可得答案. 【详解】由已知得，且， 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， 则，可得. 故答案为：. 14. 已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，求导数，从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围． 【详解】由题意得，， ， 令， 则令，解得：或， 令，解得：， 在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， ， ， 且当时，，当时， 所以函数与的图象有且只有三个交点， 则只需和图象有且只有三个交点， 故 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于难题． 四、解答题（共77分） 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=，sin A=sin C，A为锐角. （1）求sin A与a的值； （2）求b的值及△ABC的面积. 【答案】（1）sin A=，；（2）b=5，. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理即可解得a，再用二倍角展开式可以求出sinA; （2）由余弦定理求出b，再用面积公式解出答案. 【详解】解：（1）由正弦定理=， 得=，解得. 因为cos 2A=2cos2A-1=-，A为锐角， 所以cos A=，sin A=. （2）因为b2+c2-a2=2bccos A， 所以b2-2b-15=0，解得b=5或(舍去)， 所以S△ABC=bcsin A=×5××=. 16. 已知过点的动直线与圆相交于两点，与直线相交于. （1）当与垂直时，求直线的方程，并判断圆心与直线的位置关系. （2）当时，求直线的方程. 【答案】（1），圆心在直线上；（2）或. 【解析】 【分析】（1）当与垂直时，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求得直线的方程，再根据圆心坐标代入直线方程，得到圆心与直线的关系； （2）设直线，根据，结合圆的弦长公式和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的斜率为， 当与垂直时，可得直线的斜率为， 又由直线过点， 由点斜式可得直线方程为，即， 所以直线的方程为， 由圆，可得圆心坐标为， 把圆心代入直线中，可得， 所以圆心在直线上. （2）因为直线过点，设直线，即 因为，且圆心，半径， 可得圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为 当斜率不存在时，，此时满足，适合题意， 综上可得，所求直线的方程为或. 17. 教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 （1）能否有的把握认为体测结果与性别有关？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）能有的把握认为体测结果与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表可得独立性检验的各项数据，利用独立性检验的计算公式以及检验过程，可得答案； （2）根据古典概型以及条件概率，利用全概率公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 则， 故能有的把握认为体测结果与性别有关. 【小问2详解】 设{抽取的一人为优秀}，{抽取的一人为男生}， 则{抽取的一人为合格}，{抽取的一人为女生}， 可得，，，， 所以， 故. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求证平面，得到，进而建立适当空间直角坐标系，求出，，再由空间角的向量法公式直接计算即可得解； （2）求出和平面的一个法向量为，再由距离公式 即可计算求解； （3）设，其中，求出和平面的一个法向量，由求出参数即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 故，，，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图： 则，，，， 得，， 则直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，则， 故点到平面的距离； 【小问3详解】 因为点在线段上， 所以设，其中，则． 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，是平面的一个法向量， 故直线与平面所成角的正弦值为， 解得或． 故线段的长为或． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 时，在递增； 时，在递减，在递增； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其单调性即可求出极值； （2）求出函数导数，分和两种情况讨论可得单调性； （3）根据导数可得有两个极值点等价于有两不等实根，则可得出，进而得出，可得恒成立，等价于，构造函数求出最小值即可. 【小问1详解】 若，则，， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 的定义域是，， ①时，，则，在递增， ②时，令，得，令，得， 故在递减，在递增， 综上，时，在递增； 时，在递减，在递增； 【小问3详解】 定义域为， 有两个极值点， 即， 则有两不等实根， ∴，解得， 且，所以， 从而， 由不等式恒成立， 得 恒成立. 令， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递减， ∴， 故实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将有两个极值点等价于有两不等实根，以此求出，再将不等式恒成立转化为求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 （试题满分150分 考试时长120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 4. 已知，，，若，则（ ） A. 1 B. 5 C. －1 D. －5 5. 某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下:，则这组数据的第80百分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 6. 甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 7. 在等比数列中，，，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在其定义域上是增函数 C. 的定义域为 D. 若，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若平面，则的最大值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题（共15分） 12. 已知，则______. 13. 在数列中，，则数列的通项公式为__________ 14. 已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围为________． 四、解答题（共77分） 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=，sin A=sin C，A为锐角. （1）求sin A与a的值； （2）求b的值及△ABC的面积. 16. 已知过点的动直线与圆相交于两点，与直线相交于. （1）当与垂直时，求直线的方程，并判断圆心与直线的位置关系. （2）当时，求直线的方程. 17. 教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 （1）能否有的把握认为体测结果与性别有关？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $