精品解析：广西壮族自治区贵港市桂平市第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 2. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意有：当时，满足，又，所以不能推出， 当时，满足，但，所以不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 4. 已知为第三象限角，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合同角关系求，利用诱导公式化简，再求其值. 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 又， 所以. 故选：C. 5. 总体是由编号为000，001，002，……，198，199的200个个体组成． 利用下列随机数表，从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字（作为个体编号），则选出的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3613 4869 6938 7481 A. 080 B. 198 C. 023 D. 134 【答案】D 【解析】 【详解】从随机数表的第1行第3列开始选，个体编号依次为：166，080，140，198，080（重复剔除），134，第5个编号为134. 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 因为在上单调递减，所以对一切恒成立，即对一切恒成立. 当时，，故 ． 反之，当时，对一切恒成立，满足 在上单调递减. 所以实数的取值范围为. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造且，则，再构造并应用导数研究其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解】由，，， 令，，则， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，则在上恒成立， 将中换为可得，， 故在上恒成立，所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以，即双曲线的离心率为. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质解决. 【详解】对于A ,时不成立，故A错误； 对于B ,则，因此，于是，故B错误； 对于C，由知， 故，即，故C正确. 对于D ，则，所以，故D正确. 故选：CD 10. 下列命题中，真命题是（　　） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的定义即可判断出答案. 【详解】对于A，向量是有向线段，不能比较大小，此命题是真命题. 对于B，两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同，此命题是真命题. 对于C，零向量：模长为0的向量，此命题是真命题. 对于D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，此命题是假命题. 故选：ABC. 11. 如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（ ） A. 平面 B. 点在某个圆上运动 C. 存在某个位置，使 D. 线段的长的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，选项A，在上取一点，令，可通过面面平行的判定定理证明平面平面，从而证明平面；选项B，可通过, ，，借助余弦定理可知为定值，从而确定点的轨迹；选项C，可先假设成立，然后借助线面垂直的判定定理和性质定理得到，然后在中，利用勾股定理验证是否满足，即可做出判断；选项D，可通过点运行轨迹，分别找出最大值和最小值点，然后求解即可做出判断. 【详解】 如上图所示，在上取一点，令，连接， 在矩形中，且，又因为，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为且平面,所以平面平面， 又因为平面,所以平面，选项A正确； 由，，,可得, 由，可知，，而， 由余弦定理可知，为定值，而为定点，故在以为圆心，为半径的圆上运动，故选项B正确； 取的中点，连接、，在中，， 所以，假设成立，平面,所以平面，又因为平面，所以， 而，在中，，，，所以，故不成立，所以假设不成立，该选项C错误； 在上取一点，令， 在翻折过程中, 线段的最大值是与点重合，此时， 线段的最小值是与点重合，此时，又因为点不在平面内， 所以线段的长的取值范围是，选项D正确； 故选：ABD. 三、填空题（共15分） 12. 已知为虚数单位，则复数__________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数除法法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合两角和的正切公式化简已知条件，由此求得. 【详解】∵，， ∴. 故答案为：. 14. 设函数，且恒有，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数在定义域上恒非正的条件：当时，故需即；当时，故需即；从而，代入所求式后可通过换元与均值不等式求出其最值. 【详解】函数定义域为，17是奇数，故的符号与一致； 是增函数， 当时，，， 要使恒成立， 需对所有成立，得； 当时，，，要使恒成立， 需对所有成立，得， 因此得， 将代入目标式：， 令，则， 代入得： 当时，由基本不等式（当且仅当取等号）， 则： 当时，，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，且，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边，进而代值计算即可； （2）根据题意结合同角三角关系求得，进而可用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又因为，可得，解得. 【小问2详解】 因为，且，则， 所以的面积. 16. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，， 解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 17. 从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，，，，五组，画出频率分布直方图，如图所示. （1）求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数； （2）用分层随机抽样的方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列与期望. 【答案】（1），30 （2）的分布列为 X 1 2 3 P ，【解析】 【分析】（1）利用小矩形面积之和为1求出m,再求出月用水量在[15,20)内的户数 （2）先按照分层抽样抽出月用水量在内的居民有4户，月用水量在内的居民有2户，则X的取值可能为1，2，3，再求分布列与期望 【小问1详解】 由，解得. 月用水量在内的户数的频率为， 则月用水量在内的户数为. 【小问2详解】 月用水量在内的户数的频率为，用分层随机抽样的方法从月用 水量在和内的用户中选取6户， 可知月用水量在内的居民有4户，月用水量在内的居民有2户. 从中任选3户，可知X的取值可能为1，2，3， 且，，， 的分布列为 X 1 2 3 P . 18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，． （1）证明：∥平面； （2）证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑（只需写出结论）； （3）若二面角为．求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:如图，连接，交于点，连接， 则点为的中点，又因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）证明:因为底面，平面，所以， 因为为长方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，点是的中点，所以， 因为，故可得平面，所以平面， 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，. （3）1 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理可得线线平行，利用线面平行判定定理，可得答案； （2）根据线面垂直性质定理、长方形性质以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，利用线面垂直判定定理，结合题意，可得答案； （3）根据二面角平面角的定义作图，根据线面垂直判定的点到平面距离，结合对称性，可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 证明略，是一个鳖臑； 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，过作，连接． 因为分别是的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，所以就是二面角的平面角， 即，所以，又，得， 过作，因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 在中，，，所以． 因为，互相平分，是的中点， 所以点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离的2倍， 即点到平面的距离为1. 19. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，斜率为的直线与椭圆交于点P（点P异于点B），直线与椭圆交于点Q（点Q异于点B），直线与y轴交于点M，且． （1）求椭圆C的离心率； （2）试探究点B是否在以为直径的圆上，请说明理由； （3）若且点B在以为直径的圆上，求的值． 【答案】（1）； （2） 当时，点在以为直径的圆上．当时，点不在以为直径的圆上．理由如下： 设点，，由（1）可得椭圆方程为， 设过点B的直线方程为，两方程联立消去得， 易得，，当时，解得． 因为，所以，两点在轴的异侧，则直线的斜率大于0， 所以，即，得，则或， 即或． 显然当时，，点在以为直径的圆上． 当时，点不在以为直径的圆上． （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点斜率公式结合椭圆的定义计算离心率即可； （2）设直线方程与椭圆联立含参表示的坐标，根据向量关系得出斜率，利用垂直的斜率关系判定即可； （3）根据上问的结论，及弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由直线的斜率及，得，； 【小问2详解】 当时，点在以为直径的圆上．当时，点不在以为直径的圆上．理由略； 【小问3详解】 由，所以， 又因为点在以为直径的圆上，所以是以点为直角顶点的三角形， 所以． 又椭圆方程为， 所以， 因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 2. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为第三象限角，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 总体是由编号为000，001，002，……，198，199的200个个体组成． 利用下列随机数表，从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字（作为个体编号），则选出的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3613 4869 6938 7481 A. 080 B. 198 C. 023 D. 134 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中，真命题是（　　） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 11. 如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（ ） A. 平面 B. 点在某个圆上运动 C. 存在某个位置，使 D. 线段的长的取值范围是 三、填空题（共15分） 12. 已知为虚数单位，则复数__________ ． 13. 已知，则________． 14. 设函数，且恒有，则的最大值是__________． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，且，． （1）求； （2）求的面积． 16. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 17. 从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，，，，五组，画出频率分布直方图，如图所示. （1）求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数； （2）用分层随机抽样的方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列与期望. 18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，． （1）证明：∥平面； （2）证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑（只需写出结论）； （3）若二面角为．求点到平面的距离． 19. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，斜率为的直线与椭圆交于点P（点P异于点B），直线与椭圆交于点Q（点Q异于点B），直线与y轴交于点M，且． （1）求椭圆C的离心率； （2）试探究点B是否在以为直径的圆上，请说明理由； （3）若且点B在以为直径的圆上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $