广西壮族自治区贵港市江南中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 （试题满分150分 考试时长120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．（5分）若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（5分）“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）设，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 4．（5分）已知，，，若，则（ ） A．1 B．5 C． D． 5．（5分）某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，95，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（ ） A．91 B．92 C．93 D．94 6．（5分）甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A．10 B．16 C．32 D．64 7．（5分）在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 8．（5分）已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A．8 B．16 C．7 D． 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（6分）在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 10．（6分）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．在其定义域上是增函数 C．的定义域为 D．若，则 11．（6分）如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ） A． B．平面 C．若平面，则的最大值为 D．若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题（共15分） 12．（5分）已知，则________． 13．（5分）在数列中，，，则数列的通项公式为________． 14．（5分）已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围为________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，为锐角． （1）求与的值； （2）求的值及的面积． 16．（15分）已知过点的动直线与圆相交于、两点，与直线相交于． （1）当与垂直时，求直线的方程，并判断圆心与直线的位置关系． （2）当时，求直线的方程． 17．（15分）教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 （1）能否有90%的把握认为体测结果与性别有关？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．（17分）如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19．（17分）已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $《2026-2027学年秋季学期期中考试（高三数学）》参考答案 题号 3 8 10 答案 马 A C A A AC ACD 题号 11 答案 ABC 12.5-0.6 3 13.0=321-2 4.0<a<(2+22)e6 Sin4= 15.(1) 3,a=35,2b=5,5w-5 2 a c 【详解】解：(l)由正弦定理sinA sinC, 5 得V6sinC sinC ,解得a=3V2 因 c0s2A=2c0s2A-1=-1 3,A为锐角， Os4=3 所以 3 sind=6 3 (2)因为b2+c2-a2=2 becosA. 所以b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍去)， Sune -besindx5xx 所以 2 32 16.(1):3x-y+3=0,圆心C在直线l上；(2)4x-3y+4=0或x=-1. 1 km=- 【详解】(1)由题意，直线m:x+3y+6=0的斜率为” 3, -1=3 k 当1与m垂直时，可得直线l的斜率为人。， 又由直线I过点A(-1,0) 由点斜式可得直线1方程为y-0=3(x+),即3x-y+3=0, 所以直线I的方程为3x-y+3=0 由圆C:r+0-3》=4,可得圆心坐标为C(0,3) 把圆心C(0,3)代入直线3x-y+3=0中，可得3x0-3+3=0, 所以圆心C(0,3)在直线3x-y+3=0上 (2)因为直线l过点4(-1,0），设直线：y=k(+),即-y+k=0, 因为P=25,且圆心C(0,3),￥径R=2, d-0-3+4-2-5=1 可得圆心C(0,3)到直线l的距离“1+ k=4 解得3 所以直线I的方程为4x-3y+4=0 当斜率不存在时，r=-山，此时清足PO=25,适合题意。 综上可得，所求直线的方程为4x-3y+4=0或x=-1 17.(1)能有90%的把握认为体测结果与性别有关 又 (2)7 【详解】(1)由题意可得a=2,b=28,c=6,d=14,n=50, 2 50×(2x14-28×6≈4.8611>2.706 则 30×20×8×42 故能有90%的把握认为体测结果与性别有关. (2)设4={抽取的一人为优秀}，B={抽取的一人为男生}， 则A={抽取的一人为合格，B={抽取的一人为女生}， 可得 -S5.Pu8.P-.P间- 0-PP周间-普品8. 所以 141 P(BA)= P(AB)_P4B)P(B_15X2-4 P(4) P(4) 497 故 60 18.(1)15 26 (2)3 13 (3)2或2 【详解】(1)因为AA平面ABCD,ADC平面ABCD,所以ADLA4 又AD⊥BE,AA∩BE=E,A4,BEC平面ABB,A,所以AD⊥平面ABBA, 又ABC平面ABB,A,所以AD上AB. 故AD上A4,AD⊥AB,AA1AB,建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，如图： A B E- 则C(L,1,0),E(0,0,1),D(1,0,2).B(0,2,2) 得CE=（1,-1).BD=(0,-2,0) CE·BD 15 则直线CE与B,D所成角的余弦值为 CE BD V3×V5-15 (2)因为B(0,2,0),C(11,2) 所CB=(-11,0）,C℃=(0,0,2)】 设平面BCE的一个法向量为元=(，，) iCE=0 -x-y+2=0 则iCB=0,即-+y=0, 取x=1,则%=1,3=2，则i=(,12) Cn-4=26 故点CI到平面BCE的距离 川3 (3)因为点M在线段CC上， 所以设M(1,）,其中1∈[0,2].则EW=(,1t-) 设平面BCCB的法向量为m=(:,少，) m.CB=0 ∫-x3+y2=0 则mC℃=0，即22，=0 取=1，则=1，名=0，m=(,10)是平面BCCB的一个法向量， EM·m 2 22 故直线EM与平面BCCB所成角的正弦值为 EMm V2×V2+(t-1)2 3 1 t=- 4=3 解得2或2 13 故线段CM的长为2或2. 19.(1)极小值1，无极大值 (2)a≤0时，f(x)在(0，+0)递增， a>0时，f()在(0，a递减，在(a,+)递增； 【详解】(1)若a=1,则 f(x)=Inx+ x,x∈(0，+o) 3 当x∈(0，)时，()<0，()单调递减， 当x∈(，+o)时，f'()>0,f()单调递增， “当x=1时函数有极小值了(0=1，无极大值： afE0网，f-. ①a≤0时，x-a>0,则f'()>0,f(x在(0，+0)递增， @a>0时，令f()>0,得x>a,令f(x)<0,得0<x<a, 故f()在(0，a)递减，在(a,+o)递增， 综上，a≤0时，f(x)在(（0，+o)递增， a>0时，f(x)在(0，a)递减，在(a,+o)递增， 8()-af(x)+x-2x-a-alnx+x-2x (3) 义域为(0，+o）】 8(x)有两个极值点，(：<3)， 即86)=+2x-2-2-2x+0-0 则2x2-2x+a=0有两不等实根，x(0<,<), △=4-8a>0 a>0 ,解 0<a<{ a 且+6=1,62，所以0=2x-2X. 从而 <x<1 <x1< 由不等式8()≥m恒成立， m≤8s）_子-2x+alny 得 X2 号+52s-0-024 1-x 恒成立. 0=l-+2h0< 0i.0=10 +2lnt <0 2时， 恒成立， 0,3 所以函数h(0在0)上单调造诚。 故实数m的取值范围是