精品解析：广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年第一学期高二年级第2次月考数学试卷

惠阳华附 2024-2025 学年第一学期高二年级第 2 次月考 数学试卷 全卷共 19 题，满分 150 分，时间 120 分钟． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线l经过，两点，则l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式直接计算即可. 【详解】由斜率公式得，l的斜率为． 故选：B 2. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，再由焦点坐标求出，求出离心率即可. 【详解】设椭圆的两个焦点为，，点， 则，， ，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 3. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率和直线的斜率，再根据题意求得的范围. 【详解】由于直线的斜率为，且经过定点，设此定点为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 如下图所示，故， 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的概率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 4. 与椭圆有相同焦点的曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程可确定焦点坐标，依次确认四个选项中的焦点坐标即可. 【详解】椭圆的焦点为； 对于A，椭圆的焦点坐标为，A错误； 对于B，椭圆的焦点坐标为，B错误； 对于C，双曲线的焦点坐标为，C错误； 对于D，双曲线方程可化为，则其焦点坐标为，D正确. 故选：D. 5. “”是“直线与直线垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】当直线与直线垂直时， ，即， ∴“”是“直线与直线垂直”的 既不充分也不必要条件． 6. 在三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则转化求解即可. 【详解】 由图可得. 故选：B. 7. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先判断出直线所过的定点，此时到距离的最大值即为的距离. 【详解】因为，所以，所以， 所以直线过定点， 所以到直线的距离的最大值为：， 故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点以及直线外一点到动直线的距离的最大值，解答本题的关键是能通过分析直线的方程确定出所过的定点，难度一般. 8. 在直三棱柱中，若D是棱的中点，，，，则直线CD与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件判断，以的单位向量为基底建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】∵，，，∴． 如图示： 以的单位向量为基底建立空间直角坐标系，则： ，，，，∴ ∵直线CD与直线所成角为锐角或直角， ∴． 故选：C 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 10. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A. 离心率为 B. 长轴长是 C. 焦点在轴上 D. 焦点坐标为(-1，0)，(1，0) 【答案】AD 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项. 【详解】将椭圆方程化为标准方程为 所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误； 焦点坐标为，故D正确； 长轴长是故B错误 因为所以离心率故A正确. 故选：AD. 11. 在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论一定成立的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面的法向量证得线面垂直，再根据面面垂直的判断即可逐一判断各选项作答. 【详解】因是平面的法向量，则有平面， 而平面，平面，因此，平面平面，平面平面，A，C都正确； 平面，则，又四边形为菱形，， 于是得平面，平面，从而得平面平面，D成立； 因是二面角的平面角，而与不一定垂直，则平面与平面不一定垂直，B不成立. 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若直线经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式求出直线方程的斜率，利用点斜式求出直线方程. 【详解】设的倾斜角为，则， 所以， 所以直线方程的斜率为， 所以直线的方程为：，整理得：. 故答案为： 13. 已知双曲线，则的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】解：由题知双曲线的焦点在轴上，， 所以，的渐近线方程为. 故答案为： 14. 已知直线与直线垂直，则实数的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】直接根据直线垂直的公式计算即可. 【详解】直线与直线垂直， 故，解得或. 故答案为：或 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求的值； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 由，可得，. ，故 【小问2详解】 ，，可得，，故 16. 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为． （1）求圆的方程； （2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程； （2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为， 因为圆心到直线的距离为，解得， 所以圆心的坐标为或，半径为， 因此，圆的标准方程为或. 【小问2详解】 解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为. 因为，所以圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 17. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程 （2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 设C的焦距为，长轴长为， 则， 所以，所以， 所以C的方程为． 【小问2详解】 设， 代入椭圆方程得 两式相减可得， 即． 由点为线段的中点， 得， 则l的斜率， 所以l的方程为， 即． 18. 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． （1）求双曲线E的离心率； （2）设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意知，且， ， 所以双曲线的离心率． 【小问2详解】 由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得， 不妨设， 所以． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，，，，. （1）若四棱锥的体积为，求的长； （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）这是一个逆向思考的问题，当已知四棱锥的体积时，只需把的长作为未知数代入梯形的面积公式即可； （2）本问首先以为坐标原点，建立空间直角坐标系，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【小问1详解】 依题意可得梯形的面积：， 因为底面， 所以四棱锥的体积， 解得. 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则，即 取，得. 因为，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳华附 2024-2025 学年第一学期高二年级第 2 次月考 数学试卷 全卷共 19 题，满分 150 分，时间 120 分钟． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线l经过，两点，则l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 与椭圆有相同焦点的曲线方程是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在直三棱柱中，若D是棱的中点，，，，则直线CD与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A. 离心率为 B. 长轴长是 C. 焦点在轴上 D. 焦点坐标为(-1，0)，(1，0) 11. 在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论一定成立的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若直线经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为________． 13. 已知双曲线，则的渐近线方程为______． 14. 已知直线与直线垂直，则实数的值为__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求的值； （2）. 16. 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为． （1）求圆的方程； （2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程． 17. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 18. 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． （1）求双曲线E的离心率； （2）设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，，，，. （1）若四棱锥的体积为，求的长； （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $