江苏徐州市 2026-2027学年度九年级第一学期期中联考数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中联考 九年级数学试题 （满分140分，考试时间90分钟） 一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A． B． C． D． 2．已知的半径为2，点在同一平面内，，则点与的位置关系是（ ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象关于y轴对称 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 4．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A． B． C． D． 5．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积为4，则的值是（ ） A．2 B．-2 C．-4 D．4 8．如图，，为边上的一点，且，若以为圆心，为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 二、填空题（本题共10题，每小题3分，共30分） 9．已知，，是方程的两个实数根，则_________． 10．如图，在中，直径经过中点，已知，，则半径是_________． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为_________． 12．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是_________． 13．如图是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长为_________． 14．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）． 15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 16．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是________． 17．如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则________． 18．已知直线与双曲线相交于点，则的值等于________． 三、解答题（本大题有7小题，共86分） 19．（本题12分）解方程 （1）； （2）． 20．（本题10分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/厘米是其两腿迈出的步长之差/厘米的反比例函数，与之间有如表关系： /厘米 1 2 3 5 /厘米 1400 700 280 请根据表中的信息解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为175厘米时，他两腿迈出的步长之差为多少厘米？ 21．（本题12分）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求弧的长． 22．（本题14分）徐州某品牌桃酥专营店在销售中发现，一盒桃酥的进价为40元，售价为60元时，每天可售出30盒，为了扩大销售量，增加利润，该店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，若该种桃酥每盒降价1元，则平均可多售出2盒．设该种桃酥每盒降价x元； （1）每天可销售________盒，每盒盈利________元；（用含的代数式表示） （2）求该种桃酥每盒降价多少元时，平均每天可盈利500元； （3）若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 23．（本题12分）如图，在的方格中，的顶点都在格点处．请仅用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图①中，过点作出的外接圆的一条直径； （2）在图②中，在的右侧且的左侧格点处找一点，使．（找出所有符合条件的点） 24．（本题12分）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）在轴上找一点使的周长最小，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 25．（本题14分）在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为________；②面积的最大值为________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且，求线段长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中联考 九年级数学试题 （满分 140 分，考试时间 90 分钟） 一、单选题（本题共 8 题，每小题 3 分，共 24 分） 1．若方程“△”+2x=1 是关于 x 的一元二次方程，则“△”可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】一元二次方程必须只含一个未知数 x，且未知数的最高次数为 2。 把各选项代入“△”：若“△”为 ，方程化为 ，即 ，不含二次项；若为 （常数 9），方程为 ，是一元一次方程；若为 ，方程含 x、y 两个未知数；只有 时方程成为 ，符合一元二次方程的定义。故选 B。 2．已知⊙O 的半径为 2，点 P 在同一平面内，PO=3，则点 P 与⊙O 的位置关系是（　　） A．点 P 在⊙O 内 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 外 D．无法判断 【答案】C 【解析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小。 这里 d=PO=3，r=2，因为 d>r，所以点 P 在⊙O 外。故选 C。 3．对于反比例函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象关于 y 轴对称 C．图象位于第二、四象限 D．当 时，y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【解析】k=1>0，图象的两支分别位于第一、三象限，故 C 错误； 把 代入，，点不在图象上，故 A 错误； 反比例函数的图象关于原点成中心对称，并非关于 y 轴对称，故 B 错误； 当 时，图象位于第三象限的分支上，y 随 x 的增大而减小，故 D 正确。选 D。 4．用配方法解一元二次方程 的过程中，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】移项得 ；两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得 ，即 。故选 C。 5．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。” 其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比为 x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】每天“遗忘”的百分比为 x，则每天“保留”的比例为 。 经过两天，保留的比例为 ；由“两天不练丢一半”可知 。故选 C。 6．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 第 6 题图 【答案】A 【解析】圆内接四边形的对角互补，即 。 所以 。故选 A。 7．已知反比例函数 的图象如图所示，若矩形 OABC 的面积为 4，则 k 的值是（　　） A．2 B． C． D．4 第 7 题图 【答案】C 【解析】设图象上点 B 的坐标为 ，则 。 矩形 OABC 的两邻边分别等于 、，故其面积 ，即 。 又图象位于第二象限，，，所以 ，故 。选 C。 8．如图，，P 为边 OA 上的一点，且 OP=2，若以 P 为圆心、r 为半径的圆与射线 OB 只有一个公共点，则半径 r 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 第 8 题图 【答案】C 作 ，垂足为 M。在 中，，OP=2，故 ，。 （1）圆与射线 OB 相切时，，此时只有一个公共点； （2）圆与直线 OB 相交时，两个交点分别在点 M 两侧，到 M 的距离都是 。因 M 到 O 的距离为 ，交点到 O 的距离为 ： 当 时，两根均为正，两个交点都在射线 OB 上，不符合“只有一个公共点”； 当 时，其中一根为 ，交点恰为点 O（点 O 在射线上），另一个交点为 也在射线上，仍有两个公共点，不符合； 当 时，，该交点落在射线 OB 的反向延长线上，射线上只有一个公共点，符合； 当 时圆与射线没有公共点。 综上， 或 。故选 C。 二、填空题（本题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分） 9．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 __________． 【答案】2026 【解析】由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），。 10．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过 CD 中点 E，已知 CD=8，BE=2，则⊙O 半径是 __________． 第 10 题图 【答案】5 【解析】连接 OC。因为 AB 是直径且经过弦 CD 的中点 E，所以 ，且 。 设半径为 r，则 。在 中，，即 ，解得 。 （也可由垂径定理的推论 ，即 ，得 。） 11．已知 m 是方程 的一个根，则代数式 的值为 __________． 【答案】 【解析】把 代入方程得 ，即 。 所以 。 12．已知圆锥底面半径为 1 m，母线长为 2 m，则该圆锥的侧面积是 __________ ． 【答案】 【解析】圆锥的侧面积 ，其中 r=1，l=2， 所以 （）。 13．如图是周长为 15 cm 的三角形纸片 ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O 相切的 DE 剪下了一个三角形纸片 BDE，已知 AC=4 cm，则三角形纸片 BDE 的周长为 __________ cm． 第 13 题图 【答案】7 【解析】设⊙O 与 AB、BC 分别相切于 F、G，DE 与⊙O 相切于 T。 由切线长定理：，，。 所以 。 又 （cm），故 （cm）。 14．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ______ （填“>”“=”或“<”）． 【答案】> 【解析】因为 ，图象的两支分别位于第二、四象限，点 A、B 都在第四象限的分支上。 当 时，y 随 x 的增大而增大；由 得 。 （也可直接计算：，，因为 ，所以 。） 15．若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 __________． 【答案】 【解析】方程有两个相等的实数根，则判别式 。 ，解得 。 16．一次函数 和反比例函数 的图象如图所示，若 ，则 x 的取值范围是 __________． 第 16 题图 【答案】 或 【解析】由图可知，两个图象交点的横坐标为 和 。 在 和 的范围内，直线都在双曲线的下方，即 ；而在 和 的范围内，直线在双曲线上方，即 。 又 时两个函数都无意义，所以 x 的取值范围是 或 。 17．如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，点 Q 是优弧 ADB 上一点，连接 AQ，BQ，则 __________． 第 17 题图 【答案】 【解析】正五边形的五条边相等，故五段等弧的度数均为 。 点 Q 在优弧 ADB 上， 所对的弧是不含点 Q 的弧 AB，其度数为 。 由圆周角定理，。 18．已知直线 与双曲线 相交于点 ，则 的值等于 __________． 【答案】4 方法一（整体代入，用韦达式关系） 点 同时在两个图象上，故 ，且 ，即 。 所以 。 方法二（求出 m、n 的值再计算） 由 代入 ，得 ，即 。 由求根公式 ，对应的 。 取 、，则 。 （取另一组解结果相同。） 三、解答题（本大题有 7 小题，共 86 分） 19．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）移项得 ，配方得 ，即 。 所以 ，，。 （2）移项得 ，提取公因式得 。 所以 或 ，即 ，。 20．1896 年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象。经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径 y（厘米）是其两腿迈出的步长之差 x（厘米，）的反比例函数，y 与 x 之间有如表关系： x/厘米 1 2 3 5 y/厘米 1400 700 280 请根据表中的信息解决下列问题： （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当某人蒙上眼睛走出的大圆圈半径为 175 厘米时，他两腿迈出的步长之差为多少厘米？ 【答案】（1）；（2）8 厘米 【解析】（1）设 ，把 ， 代入，得 ， 所以 。检验： 时 ； 时 ； 时 ，均与表格相符。 （2）当 时，，解得 。 答：他两腿迈出的步长之差为 8 厘米。 21．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，CE⊥AB，垂足为 E。 第 21 题图 （1）求证：CA 平分 ； （2）若 ，AB=6，求弧 AC 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接 OC。 因为 CD 是⊙O 的切线，所以 ，即 ，故 。 因为 CE⊥AB，所以在 中 。 因为 OA=OC（同圆的半径相等），所以 。 所以 ，即 CA 平分 。 （2）由（1）知 ，所以 。 因为 OA=OC，所以 。 AB=6，则半径 r=3，所以弧 AC 的长 。 22．徐州某品牌桃酥专营店在销售中发现，一盒桃酥的进价为 40 元，售价为 60 元时，每天可售出 30 盒。为了扩大销售量、增加利润，该店决定采取适当的降价措施。经市场调查发现，若该种桃酥每盒降价 1 元，则平均可多售出 2 盒。设该种桃酥每盒降价 x 元。 （1）每天可销售 __________ 盒，每盒盈利 __________ 元（用含 x 的代数式表示）； （2）求该种桃酥每盒降价多少元时，平均每天可盈利 500 元； （3）若店长希望平均每天能盈利 800 元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1），；（2）每盒降价 10 元；（3）不能实现（理由见解析） 【解析】（1）每盒降价 x 元，销量增加 2x 盒，故每天可售 盒；每盒盈利 元。 （2）依题意得 ， 整理得 ，即 ， 解得 ，（降价不能为负，舍去）。 答：每盒降价 10 元时，平均每天可盈利 500 元。 （3）不能实现。理由：若平均每天盈利 800 元，则 ， 整理得 ，， 所以该方程没有实数根，即无论降价多少元，平均每天都不能盈利 800 元。 23．如图，在 的方格中，△ABC 的顶点都在格点处。请仅用无刻度的直尺按要求作图。 图① 图② （1）在图①中，过点 A 作出△ABC 外接圆的一条直径 AD； （2）在图②中，在 AB 的右侧且 AC 的左侧格点处找一点 G，使 （找出所有符合条件的点 G）． 【答案】（1）见解析（AD 即为所求）；（2）符合条件的格点 G 有两个 【解析】以方格左边界为 y 轴、BC 所在格线为 x 轴建立坐标系（每小格为 1 个单位），则 A(1,4)、B(0,1)、C(4,1)。 （1）BC 的垂直平分线是直线 x=2。计算得 ，，，所以 O(2,2) 是△ABC 的外心，且为格点。 连接 AO 并延长，交格点 D(3,0)（此时 ，点 D 在圆上），线段 AD 即为所求直径。 （2）由（1）知 A、B、C 三点都在以 O(2,2) 为圆心、 为半径的圆上。 由 A(1,4)、C(4,1) 知，从 A 到 C 水平方向走 3 格、竖直方向也走 3 格，所以 AC 与水平方向（即 BC 所在直线）的夹角为 ，即 。 该圆上的格点有 A(1,4)、B(0,1)、C(4,1)、(3,0)、(1,0)、(0,3)、(4,3)、(3,4)。其中位于 AB（直线 ）的右侧、AC（直线 ）的左侧的是 (1,0) 与 (3,0)。 又 、，说明 (1,0)、(3,0) 都在这个圆上，且与点 C 在弦 AB 的同侧。 由同弧所对的圆周角相等，得 ，故这两个格点都符合要求。 所以符合条件的点 G 有两个，分别位于点 B、点 C 的正下方一格处。 图①作法 图②结论 24．如图，在矩形 AOBC 中，OA=2，OB=3，反比例函数 的图象经过矩形边 BC 的中点 D，交 AC 边于点 E。 第 24 题图 （1）求 k 的值； （2）在 x 轴上找一点 P 使△PDE 的周长最小，求此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出△PDE 的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）1 【解析】（1）由 OA=2，OB=3 得 A(0,2)、B(3,0)、C(3,2)。 D 是 BC 的中点，所以 D(3,1)，则 。 （2）点 E 在 AC 上，而 AC 上各点的纵坐标都是 2，由 得 ，即 。 △PDE 中 DE 的长固定，要使周长最小，只需 PD+PE 最小。 作点 E 关于 x 轴的对称点 （记为 E′），连接 E′D 交 x 轴于点 P，此时 ，周长最小。 设直线 E′D 的表达式为 ，代入得 ，，解得 ，，即 。 令 ，得 ，所以 。 （3）。（计算：过 P、E、D 分别作水平线、竖直线，可得 的长方形，从中减去三块直角三角形：、、，所以 。） 第 24 题解析图 25．在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单： 已知线段 BC=4，使用作图工具作 ，尝试操作后思考： （1）这样的点 A 唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ 图 1 图 2 “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦的圆弧上（点 B、C 除外）……，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1）。 （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在圆的半径长为 __________；②△ABC 面积的最大值为 __________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们记为 A′，请你利用图 1 证明 ； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 ABCD 的边长 ，BC=5，点 P 在直线 CD 的左侧，且 ，求线段 PB 长的最小值． 【答案】（1）①4；②；（2）见解析；（3） 【解析】（1）①设该弧所在圆的半径为 R。因为 BC=4 是弦， 是它所对的圆周角， 所以 ，即 R=4。 ②圆心到弦 BC 的距离 。 当点 A 在弦 BC 的垂直平分线与弧的交点处时，A 到 BC 的距离最大，为 ， 所以 的最大值 。 （2）证明：延长 BA′ 交圆弧于点 D，连接 CD。 因为 是△A′CD 的一个外角，所以 。 又 与 都是弧 BC 所对的圆周角，故 。 所以 。 （3）以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立坐标系，则 B(0,0)、C(5,0)、A(0,)、D(5,)。 方法一（构造辅助圆，用圆心距与三边关系） 因为 是定弦， 是定角，所以点 P 在过 C、D 的圆上（CD 左侧的优弧）。 该圆半径 。圆心 M 在 CD 的垂直平分线上，且到 CD 的距离为 ，又在 CD 左侧，故 M(4,)。 过 M 作 MH⊥x 轴于 H，则 H(4,0)，BH=4，MH=，在 Rt△BMH 中由勾股定理得 。 因为 ，由三角形三边关系 ，得 。 当 B、P、M 三点共线且 P 在线段 BM 上时取到等号，此时 P 的横坐标约为 2.16，确实在直线 CD 的左侧，符合条件。 所以 PB 的最小值为 。 方法二（构造等边三角形，用四点共圆转化） 以 DC 为一边在 CD 左侧作等边三角形 DCE，则 ， 的坐标为 (2,)。 因为 ，且点 P、E 都在直线 CD 的左侧（同侧）， 所以 C、D、P、E 四点共圆，即点 P 在该圆上运动；该圆就是等边三角形 DCE 的外接圆，半径 ，圆心 M 为等边三角形的中心（4,）。 于是由勾股定理得 ，又 PM=2，由 得 ，当 B、P、M 共线且 P 在 BM 上时取等号。 所以线段 PB 长的最小值为 。 九年级数学试题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $