精品解析：黑龙江哈尔滨市呼兰区2026-2027学年上学期九年级期中考数学试题

2026-2027学年度上学期九年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄放，不准使用涂改液、创纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 3. 已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数在每一象限内，随的增大而减小， ∴，解得． 4. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识．根据直径所对的圆周角和三角形的内角和定理求出度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由抛物线得顶点坐标为． 6. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为， ∴第一轮迭代后能量密度为， ∴第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为. 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．如图是由棋子摆成的图案，第1个图案中有2颗棋子，第2个图案中有5颗棋子，第3个图案中有8颗棋子，第4个图案中有11颗棋子…按此规律摆放，第10个图案中棋子的颗数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【详解】解：第个图案中有：颗棋子， 第个图案中有：颗棋子， 第个图案中有：颗棋子， ∴第个图案中有颗棋子， ∴第个图案中有颗棋子． 9. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由作图步骤得出是的角平分线，结合推出，再通过作，利用平行线间距离相等得，最后在含角的中计算出的长度，即得到的长为． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解． 【详解】解：当时，分别在线段上， 此时，， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 当时，分别在线段上， 此时，底边上的高为， ，为一次函数，图象为直线； 当时，分别在线段上， 此时，底边上的高为， ，为二次函数，图象为开口向下的抛物线； 结合选项，只有A选项符合题意， 故选：A． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出方程两根之和与两根之积，再代入代数式计算结果． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 13. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】由点到直线的距离可知，利用垂径定理、勾股定理可得、，进而求得弦． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ∴， ∴，， ∴． 14. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式，即可求出k的取值范围. 【详解】解：根据题意得：， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的取值范围. 15. 一个扇形的弧长为，半径为，则扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的弧长和半径，可直接利用扇形面积与弧长、半径的对应关系求解，扇形面积公式为，其中为弧长，为半径． 【详解】解：由题可知弧长，半径， ． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为：，把代入计算出反比例函数的解析式，再把代入运算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象可得：反比例函数经过点， ∴把代入可得： 解得：， ∴ 把代入可得：． 17. 若二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系有：，对称轴，即可作答． 【详解】解：根据题意有：，对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 若的弦所对的圆心角为80°，则弦所对的圆周角的度数是_________． 【答案】40°或140° 【解析】 【分析】如图，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，利用圆周角定理得∠ACB=40°，然后利用圆内接四边形的性质得到∠ADB=140°，从而得到弦AB所对的圆周角的度数． 【详解】解：如图，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角， ∵∠AOB=80°， ∴∠ACB=∠AOB=40°， ∵∠ACB+∠ADB=180°， ∴∠ADB=180°-40°=140°， 即弦AB所对的圆周角的度数是40°或140°． 故答案为：40°或140°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 19. 将抛物线向下平移3个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，则线段的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则得到平移后的解析式，求解其与x轴的交点坐标，再计算两点间的线段长度． 【详解】解：根据抛物线向下平移的规律，将向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为， 令，则， 整理得， 开平方得或， 解得，， 即平移后的抛物线与x轴的两个交点坐标为和， ∵两点都在x轴上， ∴线段的长度为． 20. 如图，在正方形中，，的两边分别与边，交于点E，F，，连接并延长交的延长线于点N，交于点H，垂足为点M，连接，把绕点A逆时针旋转得到．有如下结论：①；②；③若点E为的中点，则；④若点E为的中点，点P为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明即可判断①；利用正方形的性质、三角形外角的性质证明，再利用等角对等边即可判断②；利用正方形的性质和勾股定理可得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可判断③；如图：连接，利用轴对称、正方形的性质可得当B、P、F三点共线时，最小值就是．再利用①的相关结论以及勾股定理求得，然后运用勾股定理求得即可判断④． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵正方形， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵正方形中，，点E为的中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即，解得：，即③正确； ④如图：连接， ∵正方形， ∴对称轴是对角线， ∴ 关于对称， ∵点P为直线上的一个动点， ∴， ∴， ∴当B、P、F三点共线时，最小值就是． ∵点E为的中点， ∴， 由①可得，， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的最小值为，而不是，故④错误． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 原式 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出以为底边的等腰三角形，（点在格点上），且满足的面积是16； （2）在方格纸中，画出直线，交于点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先算出，由等腰三角形底边性质知道在垂直平分线上，结合面积16算出边上的高，在格点上找到符合条件的点，连接； （2）先找到格点，利用勾股定理逆定理证明垂直，再将向右平移得到，连接并延长交于，得到垂直 ，再利用三角形面积16，以为底列式求出垂线段的长度为． 【小问1详解】 解：先求线段的长度： 由网格，横向差，纵向差． ． 取格点C，由网格可知是以为底边的等腰三角形． 此时，的面积为． 【小问2详解】 解：取格点E，连接，，，，， ∴为直角三角形，， 向右平移，取格点，连接，由网格性质可知，，延长交于点． ∵，以为底． 先得． ． ∴． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； （2）的面积为8． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 24. 定义：一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍，则称这两个三角形互为倍积三角形．已知四边形是平行四边形，点E、F分别在边，上，且，连接分别交，于点G，H． （1）如图①：求证； （2）如图②，点E是的中点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中与互为倍积三角形的所有三角形． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形． ，，，，． ． ． ． ． 四边形是平行四边形． ． ． ． ． （2）、、、． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质得到对应边相等、内错角相等，证明四边形为平行四边形得到角相等，用证明； （2）先由是中点、得到是中点，再由平行线证两组相似三角形，得到被三等分，结合等高三角形面积比等于底边长之比，找到面积是两倍的、、、． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形． ∴，． ∵是的中点． ∴． ∵． ∴． ∴，即是中点． ∵． ∴，相似比为． ∴． 同理，，相似比为． ∴． ∴，线段被三等分． 设，以为底，高为点到直线的距离． ∵，以为底，它的高是对应高的2倍． ∴． 由（1）． ∴． ∵，和以和为底，它的高是对应高的2倍． ∴． 根据倍积三角形的定义：一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍，则这两个三角形互为倍积三角形． ∴与互为倍积三角形的三角形是、、、． 25. “十一”国庆期间，老道外特色特产门店计划购进红肠和大列巴两种哈尔滨特色食品．已知购进3件红肠和2件大列巴，需1200元；购进2件红肠和3件大列巴，需1300元． （1）红肠、大列巴的进货单价分别是多少？ （2）设红肠的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现，红肠的日销售量（单位：件）与销售单价之间的函数关系为；设红肠的日销售利润为元，当红肠的销售单价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）红肠、大列巴的进货单价分别是200元/件、300元/件 （2）当红肠的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元 【解析】 【分析】（1）设红肠进货单价为元/件、大列巴进货单价为元/件，根据题干给出的两种不同购进组合的总费用，列出二元一次方程组，求解该方程组即可得到两种商品的进货单价． （2）先根据“日销售利润单件利润日销售量”的关系，结合第一问求出的红肠进货单价和给定的日销售量与销售单价的函数式，列出日销售利润关于销售单价的二次函数，再利用二次函数的性质求出利润最大值及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：设红肠、大列巴的进货单价分别是元/件、元/件， 由题意得：． 解得：． 红肠、大列巴的进货单价分别是200元/件、300元/件． 【小问2详解】 解：． ． 当时，有最大值． 当红肠的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． 26. 内接于，点在内部，，连接． （1）如图①，求证：平分； （2）如图②，连接，，交的延长线于点，求证； （3）如图③，在（2）的条件下，交于点，连接，，，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，． ． ，． ． ． 平分． （2）证明：延长交于点． ，平分． ，． ． ． ． ． ，． ． ． ． （3）． 【解析】 【分析】（1）连接、，利用，，，通过证明，得到，从而证明平分． （2）延长交于点，由，平分推出，，得到，结合得，再利用、，通过证明，得到，进而证出． （3）在上截取，由得，推出，结合证，得到，作，算出，，，求出，，再由，在和中列方程解得，利用，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上截取． ， ． 与所对的弧都是弧． ． 与所对的弧都是弧． ． ． ． ． 作于点． ，，， 又， ． ， 为等腰直角三角形， ． ，． ， 又， ． 在中，． 在中，． ． ． 解得：． ． ． ． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，连接，． （1）如图①，求抛物线的解析式； （2）如图②，点在第一象限抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图③，在（2）的条件下，连接交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，平行于轴，交于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令抛物线中，求出、，由得，把代入抛物线算出，得到抛物线解析式； （2）设点横坐标为，作铅垂线交于，利用表示，用铅垂高面积公式算出面积关于的函数关系式； （3）求出直线解析式，得到点坐标，由证明直角三角形全等，再结合旋转得到的全等三角形以及、轴的条件，求出点坐标为． 【小问1详解】 解：抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． 当时，． 解得：，． ，． ， ． 将代入得， ． 解得：． 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在抛物线上，点的横坐标为． ． 作于点，交于点． ，． ． ． ． ． 的面积的面积的面积． ． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为． ，． ． 解得． 直线的解析式为． 当时，． ． ． ， ． ． 作轴于点，作交的延长线于点． ． ． ， ． ，． ． ． ，， ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期九年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄放，不准使用涂改液、创纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 6. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 8. 围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．如图是由棋子摆成的图案，第1个图案中有2颗棋子，第2个图案中有5颗棋子，第3个图案中有8颗棋子，第4个图案中有11颗棋子…按此规律摆放，第10个图案中棋子的颗数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 9. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______. 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 13. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为________． 14. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围为________. 15. 一个扇形的弧长为，半径为，则扇形的面积是________． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流为______． 17. 若二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 18. 若的弦所对的圆心角为80°，则弦所对的圆周角的度数是_________． 19. 将抛物线向下平移3个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，则线段的长度为________． 20. 如图，在正方形中，，的两边分别与边，交于点E，F，，连接并延长交的延长线于点N，交于点H，垂足为点M，连接，把绕点A逆时针旋转得到．有如下结论：①；②；③若点E为的中点，则；④若点E为的中点，点P为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出以为底边的等腰三角形，（点在格点上），且满足的面积是16； （2）在方格纸中，画出直线，交于点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出线段的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 24. 定义：一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍，则称这两个三角形互为倍积三角形．已知四边形是平行四边形，点E、F分别在边，上，且，连接分别交，于点G，H． （1）如图①：求证； （2）如图②，点E是的中点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中与互为倍积三角形的所有三角形． 25. “十一”国庆期间，老道外特色特产门店计划购进红肠和大列巴两种哈尔滨特色食品．已知购进3件红肠和2件大列巴，需1200元；购进2件红肠和3件大列巴，需1300元． （1）红肠、大列巴的进货单价分别是多少？ （2）设红肠的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现，红肠的日销售量（单位：件）与销售单价之间的函数关系为；设红肠的日销售利润为元，当红肠的销售单价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 内接于，点在内部，，连接． （1）如图①，求证：平分； （2）如图②，连接，，交的延长线于点，求证； （3）如图③，在（2）的条件下，交于点，连接，，，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，连接，． （1）如图①，求抛物线的解析式； （2）如图②，点在第一象限抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图③，在（2）的条件下，连接交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，平行于轴，交于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $