精品解析：黑龙江绥化市望奎县三校联盟体2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

初四数学期中试题 注意事项： 本卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为2， A. 中未知数最高次数为1，不符合要求； B. 中含有2个未知数，不符合要求； C. 同时满足三个条件，符合要求； D. 是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】向上平移个单位得，再向右平移个单位得． 4. 点O是的外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心；同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍． 【详解】解：点O是的外心， 点O是外接圆的圆心. 与对同一条弧，且是圆心角、是圆周角. ． 5. 如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质求出，即可求解. 【详解】解：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， . 6. 矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的面积公式求出与之间的函数关系式，再结合的取值范围即可判断求解． 【详解】解：∵矩形的长为，宽为，面积为， ∴， ∴， 又∵， ∴与之间的函数图象为位于第一象限的一支曲线，故C选项符合题意． 7. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， . 8. 有下面6个命题： ①半径相等的两个半圆是等弧；②在同圆或等圆中，等弦对等弧； ③优弧一定比劣弧长；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等； ⑤三角形的外心到三边的距离相等；⑥平分弦的直径垂直于这条弦． 其中真命题的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：①能够完全重合的弧叫等弧，半径相等的半圆可以重合，故该命题正确； ②一条弦对应一条优弧、一条劣弧，等弦只能说明所对的两条弧分别相等，不能笼统说等弦对等弧，故该命题错误； ③不在同一个圆中，优弧、劣弧无法比较长度，故该命题错误； ④同圆或等圆中，由圆心角相等可得所对弦相等，故该命题正确； ⑤外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，故该命题错误； ⑥被平分的弦不能是直径，若两条都是直径，互相平分但不一定垂直，故该命题错误． 综上所述，真命题为①、④，共2个． 9. 如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 10. 圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为． 【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为． 11. 如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作于点F，过点D作于点E，由垂径定理可得，由圆周角定理和角平分线的定义推出，则可证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】确定过  三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长． 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴  在中， 在 中，，即  解得，   过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴  在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴  在中，，， 弧的长即为 ． 第IⅠ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 抛物线 当时，y随x增大而减小，则m的取值范围___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的开口方向与增减性，结合给定的x的取值范围，确定对称轴的位置要求，列不等式求解. 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴， 解不等式得． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，通过换元将待求方程转化为与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求解待求方程的根． 【详解】解：将待求方程移项，得， 设，则上述方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为2027， ∴方程有一个根为，即， 解得． 15. 如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 【答案】 ##70度 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理结合等边对等角，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，， ∴，， ∴. 16. 已知反比例函数 的图象经过点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点代入反比例函数解析式求出常数，再将第二个点代入确定后的解析式计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， ∴该反比例函数的解析式为 ∵点在该函数图象上， ∴将，代入解析式，得． 17. 如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴， ∴，， 即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知，， ∴ 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 当时，，此时，故④错误． 18. 如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 19. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知三点在反比例函数图象上，结合的条件，代入横坐标得到纵坐标表达式，即可比较大小． 【详解】解： ∵ 点，，在反比例函数的图象上， ∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 20. 如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 21. 如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设动点，利用半径相等得到，分别列出距离平方等式，化简求出点A横坐标、点B纵坐标，得到、，消去字母x得到定值． 【详解】解：设， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，， ，， ，，， ，， ，， ． 22. 在学校就餐时，往往需要在窗口前排队等待．经调查发现，同学们的舒适度指数与等待时间之间满足如图所示的反比例函数关系．当舒适度指数不低于15时，同学们才感觉到舒适，那么在窗口排队的同学至多等待________才合适． 【答案】8 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出，当时，，然后结合图象求解． 【详解】解：设与之间的关系式为 将代入得， ∴ ∴ 当时， ∴ 由图象得，当时， ∴在窗口排队的同学至多等待才合适． 三、作图题 23. 如图三个顶点的坐标分别为，，．画出关于原点成中心对称的． 【答案】如图所示，即为所求； 【解析】 【详解】略 四、解答题 24. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】方程两边加上得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： 解得， 25. 已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． （1）求的值； （2）求证：为等腰三角形； 【答案】（1）8； （2）证明：过作于点， ∵， ∴点A的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）将与代入，列方程组求解即可； （2）过作于点，由（1）知点A的坐标为，点的坐标为，进而得到，可知垂直平分，得到，即可证明为等腰三角形． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； 【小问2详解】 略 27. 如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． （1）求证： （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴． 28. 阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： （1）当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． （2）点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：是等腰直角三角形，， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ， ，即， 在和中 ， ． ②． ③证明： ． ． 根据对角互补的四边形四个顶点共圆， 四点共圆． （2） 【解析】 【分析】（1）①利用等腰直角三角形性质和旋转性质得到两组边相等，再推导夹角相等，用 证明三角形全等． ②由全等得到角相等，进行等角代换，推出中两个锐角相加为，得到． ③算出，得到与互补，依据对角互补的四边形四点共圆完成证明． （2）先在直角三角形中求出斜边，结合等腰直角求出，利用四点共圆得到，作垂线构造等腰直角三角形，再用勾股定理分段求出、，相加得到． 【小问1详解】 解：①略． ②， ， 是等腰直角三角形 ，也就是， ∴，即 在中， ③略． 【小问2详解】 解：， 在中， ， ，是等腰直角三角形， ， 四点共圆， ， 过点作于， 是等腰直角三角形， 在中， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学期中试题 注意事项： 本卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 点O是的外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知平行四边形的顶点，，分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若，，则的值为（ ） A. 12 B. C. 15 D. 6. 矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 8. 有下面6个命题： ①半径相等的两个半圆是等弧；②在同圆或等圆中，等弦对等弧； ③优弧一定比劣弧长；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等； ⑤三角形的外心到三边的距离相等；⑥平分弦的直径垂直于这条弦． 其中真命题的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 10. 圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（ ） A. 18 B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第IⅠ卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 抛物线 当时，y随x增大而减小，则m的取值范围___． 14. 若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 15. 如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 16. 已知反比例函数 的图象经过点，，则__________． 17. 如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 18. 如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 19. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 20. 如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 21. 如图，点P是反比例函数的图像上一个动点，以P为圆心，为半径的圆分别交x轴、y轴于A、B两点，则的值为_______． 22. 在学校就餐时，往往需要在窗口前排队等待．经调查发现，同学们的舒适度指数与等待时间之间满足如图所示的反比例函数关系．当舒适度指数不低于15时，同学们才感觉到舒适，那么在窗口排队的同学至多等待________才合适． 三、作图题 23. 如图三个顶点的坐标分别为，，．画出关于原点成中心对称的． 四、解答题 24. 解方程：． 25. 已知函数是反比例函数，求m的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． （1）求的值； （2）求证：为等腰三角形； 27. 如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． （1）求证： （2）若，且，求的长． 28. 阅读与思考． 在学习《圆》这章时，我们学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中，经常会出现对角互补的四边形，那么我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题．如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，并延长交直线于点，连接．请解答下列问题： （1）当点在如图所示的位置时， ①求证； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：，，，四点共圆． （2）点在内部运动的过程中，若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $