精品解析：黑龙江省哈尔滨市顺迈学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

顺迈初中2024-2025学年度上学期 九年级数学学科学情评估试题 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、填空题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的概念．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 3. 目前中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．将16000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数，将一个数表示成，其中，为整数． 【详解】解：将16000000用科学记数法表示为． 故选B． 4. 由七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是几何体的三视图，根据几何体的主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：从正面观察几何体可知，其主视图有2层，第一层有3个小正方形，第二层靠左有1个小正方形，故选项A符合． 故选：A． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解． 根据解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的解． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A 7. 如图，用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放下去，摆第5个图案时，黑色小正方形纸片需要（ ）张． A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．据此即可解答． 【详解】解：第1个图案中黑色小正方形纸片需要4张，而； 第2个图案中黑色小正方形纸片需要7张，而； 第3个图案中黑色小正方形纸片需要10张，而； …… 第n个图案中黑色小正方形纸片需要张， ∴第5个图案中黑色小正方形纸片需要张． 故选：B 8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，两直线平行，同位角相等， 先根据平行线的性质说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为（　　）度． A. 65 B. 75 C. 80 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再由作图的步骤可知BD是∠ABC的平分线，求得∠DBC的度数，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°， ∴∠C=∠ABC=70°． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBC=∠ABC=35°， ∴∠ADB=180°-（∠C+∠DBC）=180°-（70°+35°）=75°． 故选B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 10. 甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从地去往地，如图表示其行驶过程中路程（千米）随时间（小时）的变化图象，下列说法错误的是（ ）． A. 乙车比甲车先出发2小时； B. 乙车速度为40千米/时； C. 、两地相距200千米； D. 甲车出发75分钟追上乙车． 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与时间之间的函数关系，可知乙出发2小时后甲再出发，根据路程除以时间等于速度进行分析． 【详解】解：A.乙车比甲车先出发2小时，说法正确，不符合题意； B.乙车速度为80÷2=40千米/时，说法正确，不符合题意； C.A、B两地相距40×5=200千米，说法正确，不符合题意； D.甲的速度为200÷2=100千米/小时， 设甲车出发x小时追上乙车，可得：100x=40（x+2） 解得：x= 小时=80分钟，说法错误，符合题意 故选D 【点睛】本题考查学生观察图象的能力，关键是根据图象可得出路程除以时间等于速度． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴函数中，自变量x的取值范围是． 故答案为： 12. 把多项式9x3﹣x分解因式的结果是_____． 【答案】x（3x+1）（3x﹣1） 【解析】 【分析】提取公因式分解多项式，再根据平方差公式分解因式，从而得到答案. 【详解】9x3－x＝x（9x2－1）＝x（3x＋1）（3x－1），故答案为x（3x＋1）（3x－1）. 【点睛】本题主要考查了因式分解以及平方差公式，解本题的要点在于熟知多项式分解因式的相关方法. 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解． 【详解】= 故答案是：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 14. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 15. 如图，是的外接圆，为的切线，经过圆心，且，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，可知，进而可求得的度数，利用圆周角定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个小球，共有种等可能的情况，其中是红球的有种情况， 故． 故答案为：． 17. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．根据弧长的公式计算． 【详解】解：根据弧长的公式， ， ∴， 故答案为2． 18. 定义新运算：，则的运算结果是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算是解题的关键．根据新运算进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 19. 已知中，，，，则的长等于_________ 【答案】或 【解析】 【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长． 【详解】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ， 在Rt△ACD中，∵AC=， 则BC=BD+CD=6； ②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5，CD=， 则BC=BD-CD=4， 综上，BC=6或4， 【点睛】考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理． 20. 如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接，，若，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长，取，连接，作的平分线，交于点G，根据正方形的性质得出，，，证明，得出，证明，得出，设，，则，，根据勾股定理得出，整理得，求出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：延长，取，连接，作的平分线，交于点G，如图所示： 、 ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， 则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 整理得：， 即， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，求一个角的余弦值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45° 【答案】, 【解析】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】原式 把代入， 考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键. 22. 如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点的端点都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20． （2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10． （3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求； （2）如图，等腰三角形即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）结合等腰三角形的性质及三角形的面积求法得出答案； （3）直接利用勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：由图可知：，高为， ∴菱形的面积等于，满足题意； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 连接如图， 由勾股定理，得：． 23. 临近“双十一”，某小区开展以“我最喜爱的电商平台”为主题的调查活动，围绕“在淘宝、唯品会、京东，易购、天猫共五个平台中，你最喜爱在哪一电商平台购物？（每户家庭必选且只选一类）”的问题，在小区范围内随机抽取部分家庭进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图、图所示的不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取多少户家庭？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若小区有户家庭，请你估计该小区最喜欢在京东购物的家庭有多少户？ 【答案】（1）户 （2） 补全条形统计图如下： （3）户 【解析】 【分析】（）根据在淘宝平台上购物的户数，除以占比，即可求解； （）用总家庭数减去其他平台的，求出最喜爱在唯品会购物的家庭数量，然后补全统计图即可； （）根据乘以在京东购物的家庭的占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴在本次调查中，一共抽取户家庭； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：， 答：估计该小区最喜欢在京东购物的家庭有户． 24. 已知，在四边形中，，为对角线，点O是的中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的所有平行四边形． 【答案】（1） 证明：，点、分别在、上， ，， 点是的中点， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）先证，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证得四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的判定与性质分别进行判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在不添加任何辅助线的情况下，图中的所有平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，理由如下： 由（1）可知四边形是平行四边形； ，， 四边形是平行四边形； ， ， ， 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 25. 为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． （1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ （2）若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【答案】（1）购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元； （2）最多可以购买20副羽毛球拍． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． 【小问2详解】 解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 26. 已知，为的直径，弦交于点E，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦交于点G，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，连接交于点K，若，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴； （2） 证明：如图2，连接，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理，垂径定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点； （1）连接，由圆周角得到，结合已知得到，推出，利用垂径定理证明即可； （2）连接，，，由，，得到，推出，结合半径组成等腰三角形得到，再根据，得到，即可得到； （3）连接，，设，则，，，再证明，得到，，利用勾股定理得到，，再证明得到代入列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，， 设，则， ∴， ∴， ∵直径，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是方程的解， ∴， ∴， ∴的半径． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，交轴的负半轴于另一点，点在第二象限的抛物线上，且点的纵坐标为． （1）请直接写出点和点的坐标； （2）如图1，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，点在上，且，点在第三象限的抛物线上，连接，，过点作轴，交于点，连接，若，且，求点的坐标并直接写出直线的解析式． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）分别令，，解方程，结合图象即可求解； （2）过点作轴于点，根据得出，即可求解． （3）设交轴于点，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点，根据已知得出，设，根据得出，则，求得直线的解析式为，过点作轴于点，证明得出代入直线：得出，进而得出，待定系数法求解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：令， 解得： ∴ 当时， 解得：或 ∴ 【小问2详解】 解：如图所示， 过点作轴于点， ∵ ∴ ∴ 设点的横坐标为，线段的长为， ∴， ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图所示， 设交轴于点，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵轴 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 过点作轴于点， ∴， 由（2）得，即 ∵， ∴， ∴ 又∵ 在中 ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 代入直线：，得 解得：（舍去）， 当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 设直线的解析式为代入，得 解得： ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正切的定义，求一次函数的解析式，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺迈初中2024-2025学年度上学期 九年级数学学科学情评估试题 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、填空题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．将16000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 由七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放下去，摆第5个图案时，黑色小正方形纸片需要（ ）张． A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为（　　）度． A. 65 B. 75 C. 80 D. 85 10. 甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从地去往地，如图表示其行驶过程中路程（千米）随时间（小时）的变化图象，下列说法错误的是（ ）． A. 乙车比甲车先出发2小时； B. 乙车速度为40千米/时； C. 、两地相距200千米； D. 甲车出发75分钟追上乙车． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 把多项式9x3﹣x分解因式的结果是_____． 13. 计算的结果是______． 14. 不等式组的解集是__________． 15. 如图，是的外接圆，为的切线，经过圆心，且，则的度数为__________． 16. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是__________． 17. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是__________． 18. 定义新运算：，则的运算结果是__________． 19. 已知中，，，，则的长等于_________ 20. 如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接，，若，则的值为__________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45° 22. 如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点的端点都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20． （2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10． （3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 23. 临近“双十一”，某小区开展以“我最喜爱的电商平台”为主题的调查活动，围绕“在淘宝、唯品会、京东，易购、天猫共五个平台中，你最喜爱在哪一电商平台购物？（每户家庭必选且只选一类）”的问题，在小区范围内随机抽取部分家庭进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图、图所示的不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取多少户家庭？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若小区有户家庭，请你估计该小区最喜欢在京东购物的家庭有多少户？ 24. 已知，在四边形中，，为对角线，点O是的中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的所有平行四边形． 25. 为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． （1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ （2）若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 26. 已知，为的直径，弦交于点E，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦交于点G，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，连接交于点K，若，求的半径． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，交轴的负半轴于另一点，点在第二象限的抛物线上，且点的纵坐标为． （1）请直接写出点和点的坐标； （2）如图1，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，点在上，且，点在第三象限的抛物线上，连接，，过点作轴，交于点，连接，若，且，求点的坐标并直接写出直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $