精品解析：广东省惠州市惠阳中山中学等校2025届高三上学期11月联考数学试题

惠州市中山中学 2025 届高三 11 月联考试题 数　学 考试时间：2024 年 11 月 26 日 下午 15:00—17:00　试卷满分 150 分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集的定义求解， 【详解】因为，所以. 故选：A． 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为复数满足，则， 因此，复数的虚部为. 故选：A. 3. 已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算及夹角公式得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 4. 某家具厂的原材料费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线经过样本平均数中心点，求得平均值 ，代入即可求得b． 【详解】 因为回归直线方程经过样本中心点，代入回归直线方程得 所以选A 【点睛】本题考查了回归直线的简单应用，注意回归直线会经过平均数中心点，而不是某个样本点，属于基础题． 5. 等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 6. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果. 【详解】因为，则，， 又因为， 则①， 等式①的两边同时除以 可得，解得. 故选：D. 7. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. －1 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线l经过定点M，且点M在圆C内，当直线l垂直于CM时，圆被直线截得的弦长最短，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标，半径为8， 直线的方程化为， 由，解得， 所以直线l过的定点，且，所以点M在圆C内， 要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线l， 所以， 故选：C 8. 已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，由已知得在区间单调递减， 为偶函数，且在区间单调递增，由此可将不等式等价转化为，求解即可. 【详解】解：令，则当时，，所以在区间单调递减， 又，所以为偶函数，且在区间单调递增， 又，即，所以，即， 得或， 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由最值求，由周期求，结合特殊点的三角函数值求，进而可求函数解析式；将代入计算，得到最小值就可判断；利用奇函数的定义进行判断为奇函数即可判断；直接进行伸缩变化即可判断． 【详解】A．由图可得，，，解得， 又函数图象经过点，所以，即， 因为，所以，解得，故，故A正确； B．当时，，此时函数取得最小值， 的图象关于直线对称，故B正确； C．是奇函数，故C错误； D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象，故D正确， 故选：ABD． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】因为， 所以，即，A正确； ，即，B错误； ，因为，所以， 当时，不满足选项C的不等式要求，因此C错误； ，因为，所以，D正确. 11. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为 D. 平面经过棱的三等分点 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法和夹角公式判断ABC，在棱上取一点，利用空间向量求出平面和平面共面时的值判断D. 【详解】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为， 则，，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量， 因为，所以平面，A说法正确； 因为，，所以，B说法正确； 因为正方体中平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则，所以，C说法错误； 在棱上取一点， 则，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 因为平面平面， 所以当时，共面，此时， 即，解得， 所以平面经过棱的三等分点，D说法正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 的展开式中的系数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得展开式的通项为，令，运算求解即可. 【详解】因为的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出，再由双曲线定义可以推导出，从而求出该双曲线的离心率． 【详解】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 14. 在中，角所对应的边分别为，已知，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理可解出，进而求得，由角的取值范围即可解出. 【详解】，即，即， 由正弦定理，， ，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）求导，根据得到，由求出单调递增区间，由求出单调递减区间； （2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值. 【小问1详解】 ， 由题意得，解得， ，定义域为R， ， 令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为， 此时函数在处取得极小值，满足题意； 【小问2详解】 由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又，其中， 故在区间上的最小值为1， 综上，在区间上的最大值为，最小值为1. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． （1）求的标准方程 （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】（1）； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标． 【小问1详解】 因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； 【小问2详解】 略 18. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. （1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； （2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； （3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值. 参考数据：. 【答案】（1） （2） （3）30 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算； （2）设出事件，利用全概率公式进行求解； （3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用单调性，结合特殊值，求出答案. 【小问1详解】 由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率 . 【小问2详解】 记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心， 则， 由全概率公式得. 故丁周日选择健身中心健身的概率为. 【小问3详解】 设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则， 设抽取次数为，则的分布列为 1 2 3 故， 又， 两式相减得， 所以 ， 所以在时单调递增， 可知当时，； 当时，； 当时，. 若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30. 19. 对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前n项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． 【答案】（1）12 （2） （3）1999， 【解析】 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【小问1详解】 由题得，，， 所以，，则公比为，故，，， 所以，，， 所以，，． 【小问2详解】 设的二阶和数列的前项和为， 由题得，， 所以． 【小问3详解】 因为，所以，解得． 设的公差为，则，解得， 又， 所以，解得， 所以的最大值是1999， 此时公差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市中山中学 2025 届高三 11 月联考试题 数　学 考试时间：2024 年 11 月 26 日 下午 15:00—17:00　试卷满分 150 分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 某家具厂的原材料费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为 A. B. C. D. 5. 等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. －1 B. C. 1 D. 8. 已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为 D. 平面经过棱的三等分点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 的展开式中的系数是____________． 13. 已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为_______. 14. 在中，角所对应的边分别为，已知，则角__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． （1）求的标准方程 （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 18. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. （1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； （2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； （3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值. 参考数据：. 19. 对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前n项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $