浙江省嘉兴市北京师范大学南湖附属学校2026-2027学年九年级上学期数学期中检测试题卷

· 北师大南湖附校2026学年第一学期期中检测试题卷 · 九年级数学 一、单选题 1．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 2．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．购买一张彩票，中奖 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类，事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； B．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； C．购买一张彩票，中奖，是随机事件； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选：D． 3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(  ) A．115° B．105° C．100° D．95° 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°， 而∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠BAD， 而∠BAD=105°， ∴∠DCE=105°． 故选：B． 4．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（   ） A．20个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率的实际应用，解题的关键是明确当试验次数足够大时，频率近似等于概率，再结合总球数计算对应颜色球的个数． 已知袋子中球的总数，根据摸出红球的频率稳定值确定红球的概率，用总球数乘以红球概率得到红球的估计个数，再对应选项得出答案． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴红球的概率约为， 又∵袋子中红球、黄球共40个， ∴红球的个数约为， 故选：D． 5．在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（    ） A．5 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【分析】由点P在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可. 【详解】解：∵点P在圆外 ∴圆的直径为10-2=8 ∴圆的半径为4 故答案为D. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键. 6．已知点、、在函数上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由函数,可知,该函数的抛物线开口向上，且对称轴为 点、、在函数上，且、在对称辅的左侧, 关于直线的对称点为， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键． 7．如图，在正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，垂足为P，连接．若正方形的边长为1，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据∠APB得到点P的轨迹，从而得到CP最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵AE⊥BF交于点P，且∠APB=90°， 取AB中点O，连接PO， 则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上， ∵点E、F分别在正方形的边CD和AD上， ∴当点E与点C重合时，CP的值最小，即为CP′， P′为正方形ABCD的对角线AC和BD的交点， ∵AB=BC=1， ∴CP′=AC==， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，确定出点P的轨迹，得到CP最小时的位置是解题的关键． 8．如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数． 【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图： ∵， ∴ ∴ ∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心 ∴， ∵ ∴ ∴． 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单． 9．如右图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为(  )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过证明△ODF≌△ODA，可以得到F是⊙O的切线，然后在直角△BOE中利用勾股定理计算出线段CE的长. 【详解】解：如图：连接OF，OD.    由折叠的性质可得：△EDF≌△EDC， ∴DF=DC, ∠C=90° 在△ODF和△ODA中， ∵OF=OA，DA=DF，DO=DO， ∴△ODF≌△ODA， ∴∠OFD=∠OAD=90°， ∴DF是⊙O的切线． ∵∠DFE=∠C=90°， ∴E，F，O三点共线． ∵EF=EC， ∴在△BEO中，BO=1，BE=2−CE，EO=1+CE， ∴(1+CE)² =1+(2−CE)²， 解得：CE=. 故选A. 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF是圆的切线,然后由翻折变换对，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段长. 10．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；③由图象可知，，从而得以判断；④根据直角三角形的 【详解】∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴二次函数的对称轴为， 即， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故②错误； 由图象可知，当是等腰三角形时， ，只能是或，故a有两个值， 故③正确； ∵是直角三角形， ∴分两种情况或， 得到的a有两个值， 故④错误； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题 11．二次函数的图象经过点(1，1)．则代数式的值为________． 【答案】 【详解】试题分析：∵二次函数的图象经过点（1，1）， ∴， ∴， ∴． 12．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数图象平移的规则，“左加右减”针对自变量，“上加下减”针对函数值即可得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的函数表达式为． 故答案为： 13．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为，则点C的坐标为_____________ 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，含30度角直角三角形的性质，正多边形的性质． 根据正多边形的性质求出，即，根据A点的坐标及正多边形的性质得到，根据含30度角直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，结合点位于第四象限即可求出点C的坐标． 【详解】解：如图，连接，设交y轴于G， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵A点的坐标为， ∴， ∵中心与坐标原点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点位于第四象限， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 14．如图，为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为 _____． 【答案】/度 【分析】证明，求出，再证明，推出，可得结论． 【详解】解：是直径， ， ， ， 由作图可知，垂直平分线段， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．从数，，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若，则函数的图像经过第一、三象限的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，正比例函数图像的性质，当函数的图像经过第一、三象限时，，据此画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到k为正数的结果数即可得到答案． 【详解】解：当函数的图像经过第一、三象限时，， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中k的值为正数的结果数有2种， ∴函数的图像经过第一、三象限的概率是， 故答案为：． 16．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 三、解答题 17．已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象直接回答：当x为何值时，． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把函数解析式设为顶点式，然后代入点进行求解即可； （2）根据当时，二次函数图象在x轴下方进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个二次函数解析式为， 把点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的解析式为 （2）解；由题意得，当或时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 18．在一个不透明的口袋里装有四个小球，球面上分别标有数字﹣2、0、1、2，它们除数字不同外没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，求抽取的数字为负数的概率； （2）从中任取一球，将球上的数字记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字记为y，试用画树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果，并求“x+y＞0”的概率． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先利用树状图展示12种等可能的结果数，再得到x+y＞0的所有可能的数目，即可求出其概率． 【详解】（1）根据题意得：抽取的数字为负的情况有1个，则P（数字为负数）＝ ； （2）列表如下： ﹣2 0 1 2 ﹣2 ﹣﹣﹣ ﹣2 ﹣1 0 0 ﹣2 ﹣﹣﹣ 1 2 1 ﹣1 1 ﹣﹣﹣ 3 2 0 2 3 ﹣﹣﹣ 由列表可知，所有等可能的结果有12种，其中“x+y＞0”的结果有6种，则P（x+y＞0）＝ ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．注意从中任取一球，不放回是解题的关键． 19．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点. (1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求PA+PB的最小值. 【答案】 （1）如图，点P即为所求作的点． (2)2. 【分析】(1)画出A点关于MN的称点A′,连接A′B,就可以得到P点； (2)利用∠AMN=30°得∠AON=∠A′ON=60°，又B为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠A′OB=90°，再求最小值2． 【详解】解：(1)略 (2)由（1）可知，PA+PB的最小值为 A′B的长， 连接OA′,OB、OA， ∵A点关于MN的称点A′，∠AMN=30°， ∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=60°， 又∵B为的中点 ∴ ∴∠BON=∠AOB=∠AON=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°， 又∵MN=4， ∴ OA′=OB= MN=2， 在Rt△A′OB中，A′B==2 ， 即PA+PB的最小值为2． 20．如图，为⊙O的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）求证：=． （2）若=18cm，=，求⊙O的直径． 【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【详解】试题分析：（1）先根据垂径定理求出，再根据圆周角定理即可得出∠BCD=∠BAC，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）设⊙O的半径为r，则OE=18-r，OC=r，在Rt△OCE中根据勾股定理求出R的值，进而可得出结论． 试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴， ∴∠BCD=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠BAC， ∴∠ACO=∠BCD； （2）设⊙O的半径为r，则OE=18-r，OC=r， ∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴CE=CD=×24=12， 在Rt△OCE中， OE2+CE2=OC2，即（18-r）2+122=r2，解得r=13， ∴AB=2×13=26． 考点：1垂径定理；2.勾股定理；3.圆周角定理． 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 【答案】(1) 4；2或3；（2）m=2. 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【详解】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件； 当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件， 故答案为4；2或3. （2）根据题意得：， 解得：m=2， 所以m的值为2. 22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 (1)直接写出y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，售价为70元时获得最大利润，最大利润是元 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得二次函数解析式，将其配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 将代入得：  ，   解得：， ． （2）解：由题意可得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， 又∵， 当时，有最大值，， 答：W与x之间的函数表达式为，售价为70元时获得最大利润，最大利润是元． 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线L： (1)当时 ①抛物线L的对称轴为直线 . ②若在抛物线L上有两点，，且，则m的取值范围是 . (2)抛物线L的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线L与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围. 【答案】(1) 1 或 (2)或 【分析】（1）把代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴； ②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线上有两点，，且，进而可得的取值范围； （2）根据题意先求出点、、的坐标，再结合图象，即可求的取值范围． 【详解】（1）①∵当时，抛物线为， ∴抛物线的对称轴为， 故答案为：1； ②当时，抛物线为， 如图，当或时，， ∵抛物线上有两点，，且， ∴在点左边抛物线上或点右边的抛物线上， ∴的取值范围是或； 故答案为：或； （2）∵抛物线：的对称轴为，且对称轴于轴交于点， ∴点的坐标为（1，0）， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为（，0）， ∵点向右移3个单位长度得到点， ∴点的坐标为（4，0）， 依题意，抛物线与线段恰有一个公共点， 把点（，0）代入可得； 把点（4，0）代入可得； 把点（1，0）代入可得； 根据图象可知抛物线与线段恰有一个公共点时可得或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，结合图象作答是解题的关键． 24．如图，已知锐角内接于⊙O， 于点D，连结AO. ⑴若. ①求证：； ②当时，求面积的最大值； ⑵点E在线段OA上，，连接DE，设，（m、n是正数），若，求证： 【答案】 （1）①证明：连接OB，OC， 因为OB=OC，OD⊥BC， 所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°， 所以OD=OB=OA ②△ABC面积的最大值是； （2）证明：设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β， 因为△ABC是锐角三角形， 所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°， 即 （*） 又因为∠ABC<∠ACB， 所以∠EOD=∠AOC+∠DOC 因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°， 所以（**） 由（*），（**），得， 即 【分析】（1）①连接OB，OC，由圆的性质可得答案； ②先作AF⊥BC，垂足为点F，要使得面积最大，则当点A，O，D在同一直线上时取到 再根据三角形的面积公式即可得到答案； （2）先设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由锐角三角形性质得到 即 ，再结合题意及三角形内角和的性质得到 两式联立即可得到答案. 【详解】（1）①略 ②作AF⊥BC，垂足为点F， 所以AF≤AD≤AO+OD=，等号当点A，O，D在同一直线上时取到 由①知，BC=2BD=， 所以△ABC的面积 即△ABC面积的最大值是 （2）略 【点睛】本题综合考查圆的性质、三角形内角和的性质勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质、三角形内角和的性质勾股定理. 试卷第14页（共19页） 试卷第19页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年九上学期北师大期中测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D D B B C A B 11．3 12． 13． 14．/度 15． 16．或或2 17．(1) (2)或 18．（1）（2） 19． （1）如图，点P即为所求作的点． (2)2. 20．（1）证明见解析；（2）26. 21．(1) 4；2或3；（2）m=2. 22．(1) (2)，售价为70元时获得最大利润，最大利润是元 23．(1) 1 或 (2)或 24． （1）①证明：连接OB，OC， 因为OB=OC，OD⊥BC， 所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°， 所以OD=OB=OA ②△ABC面积的最大值是； （2）证明：设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β， 因为△ABC是锐角三角形， 所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°， 即 （*） 又因为∠ABC<∠ACB， 所以∠EOD=∠AOC+∠DOC 因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°， 所以（**） 由（*），（**），得， 即 学科网（北京）股份有限公司 $北师大南湖附校2026学年第一学期期中检测试题卷 九年级数学 一、单选题 1.若函数y=xm-1-x+2是二次函数，那么m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列事件中，是必然事件的是() A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B.射击运动员射击一次，命中靶心 C.购买一张彩票，中奖 D.任意画一个三角形，其内角和是180° 3.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若LBAD=105°，则LDCE的大小是() 4 B C E A.115° B.105° C.100° D.95° 4.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验 发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是() A.20个 B.15个 C.12个 D.10个 5.在同一平面上，⊙0外有一定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙0的半径是() A.5 B.3 C.6 D.4 6.已知点A(1,)人B(-V2,2)C(-2,)在函数y=2(x+1)2-上，则1、2y的大小关系为 () A.y1>y3>y2 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y1>y3 7.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE1BF,垂足为P,连接CP.若正 方形的边长为1，则线段CP的最小值为() D p B A C. D.9 试卷第1页（共5页） 8.如图，⊙O截AABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=80°，则∠B0C的度数为() A.125° B.120° C.130 D.115 9.如右图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O,将 △DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为() A D E 4.3 B.目 C. D. 10.如图所示，己知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴的正半轴交 于点C,顶点为D,则下列结论：①2a+b=0;②2c<3b;③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个： ④当△BCD是直角三角形时，Q=一三.其中正确的有() 2 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 11.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1).则代数式a+b+1的值为 12.将抛物线y=-(x-2)2+3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的函数表 达式为 13.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(-1,0)，则点 C的坐标为 试卷第2页（共5页） F B 14.如图，0M为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若∠FM0=50°，则∠C0F的度数为 B M 15.从数-2，-三0,4中任取一个数记为，再从余下的三个数中，任取一个数记为m.若k=mn,则 函数y=kx的图像经过第一、三象限的概率是 16.如图，AB是⊙O的直径，AB=2,点C在线段AB上运动，过点C的弦DE1AB,将DBE沿DE翻折交 直线AB于点F,当DE的长为正整数时，线段FB的长为一· D F 三、解答题 17.已知二次函数的图象如图所示. 2 (1)求这个二次函数的解析式： (2)根据图象直接回答：当x为何值时，y<0. 18.在一个不透明的口袋里装有四个小球，球面上分别标有数字-2、0、1、2，它们除数字不同外没有任 何区别，每次实验先搅拌均匀。 试卷第3页（共5页） (1)从中任取一球，求抽取的数字为负数的概率： (2)从中任取一球，将球上的数字记为x(不放回)：再任取一球，将球上的数字记为y,试用画树状图 (或列表法)表示所有可能出现的结果，并求“xy>0的概率， 19.如图，MN是⊙O的直径，MN-4,点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为N的中点，P是直径MN上一动 点 (1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）. (2)求PA+PB的最小值 B 20.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB一CD于点E.连接AC、OC、BC. D (1)求证：∠AC0=∠BCD. (2)若EB=18cm,CD=24cm,求⊙O的直径. 21.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个 (1)先从袋子中取出m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将摸出黑球”记为事件A.请完成下 列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 (2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于， 求m的值. 22.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、 每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 试卷第4页（共5页） 售价x(元/千克) 50 60 70 销售量y(千克) 100 80 60 (1)直接写出y与x之间的函数表达式： (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最 大利润是多少？ 23.在平面直角坐标系中，已知抛物线L:y=ax2-2ax+4(a≠0) 4 3 2 1 54-32-1012345 -2 -3 -4 -5 (1)当a=1时 ①抛物线L的对称轴为直线x=-· ②若在抛物线L上有两点(2，y1),(m,y2),且y2>y1,则m的取值范围是_ (2)抛物线L的对称轴与x轴交于点M,点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B, 若抛物线L与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求α的取值范围！ 24.如图，已知锐角△ABC内接于⊙O,OD1BC于点D,连结AO (1)若∠BAC=60 ①求证：0D=0A: ②当0A=1时，求△ABC面积的最大值： (2)点E在线段OA上，OE=OD,连接DE,设LABC=mLOED,∠ACB=nLOED(m、n是正数)，若LABC< ∠ACB,求证：m-n+2=0 试卷第5页（共5页） · 北师大南湖附校2026学年第一学期期中检测试题卷 · 九年级数学 一、单选题 1．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．购买一张彩票，中奖 D．任意画一个三角形，其内角和是 3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(  ) A．115° B．105° C．100° D．95° 4．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（   ） A．20个 B．15个 C．12个 D．10个 5．在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（    ） A．5 B．3 C．6 D．4 6．已知点、、在函数上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，垂足为P，连接．若正方形的边长为1，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 9．如右图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为(  )    A． B． C． D． 10．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．二次函数的图象经过点(1，1)．则代数式的值为________． 12．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的函数表达式为________． 13．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为，则点C的坐标为_____________ 14．如图，为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为 _____． 15．从数，，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若，则函数的图像经过第一、三象限的概率是________． 16．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 三、解答题 17．已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象直接回答：当x为何值时，． 18．在一个不透明的口袋里装有四个小球，球面上分别标有数字﹣2、0、1、2，它们除数字不同外没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，求抽取的数字为负数的概率； （2）从中任取一球，将球上的数字记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字记为y，试用画树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果，并求“x+y＞0”的概率． 19．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点. (1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求PA+PB的最小值. 20．如图，为⊙O的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）求证：=． （2）若=18cm，=，求⊙O的直径． 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 (1)直接写出y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线L： (1)当时 ①抛物线L的对称轴为直线 . ②若在抛物线L上有两点，，且，则m的取值范围是 . (2)抛物线L的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线L与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围. 24．如图，已知锐角内接于⊙O， 于点D，连结AO. ⑴若. ①求证：； ②当时，求面积的最大值； ⑵点E在线段OA上，，连接DE，设，（m、n是正数），若，求证： 试卷第4页（共5页） 试卷第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $