精品解析：浙江省海宁市浙师大附属海宁经开区实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

浙师大附属海宁经济开发区实验初级中学 九年级数学基础过关赛（一） 试卷总分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、约分等知识点，掌握约分成为解题的关键． 由可得，把代入约分即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得． 故选C． 2. 某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ） A. 小明夺冠的可能性较大 B. 小明夺冠的可能性较小 C. 小明肯定会赢 D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．根据概率的意义分别对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义， A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意； B、小明夺冠的可能性较大，故选项不符合题意； C、小明赢的可能性较大，故选项不符合题意； D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故选项不符合题意． 故选：A． 3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题； 求出时y的值即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 4. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线的顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：对于二次函数， A．，则开口向下，故选项A错误，不符合题意； B． 对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C．当时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； D．顶点坐标为，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 6. 如图，点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7. 若四边形是的内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ， ， 设，则， ， 解得：， ∴， ， 故选：A． 8. 下列命题正确的是（    ） A. 平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B. 垂直于弦的直线平分弦 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，已知AB是的直径，弦，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算、垂径定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据图形推出阴影部分的面积等于扇形的面积． 根据垂径定理推出阴影部分的面积等于扇形的面积，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，设与交于点E，如图， ∵ ∴，， ∴ ∴阴影部分面积等于扇形的面积 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 10. 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键在于理解频率稳定性定理，分析实验数据的变化趋势，并据此做出合理的概率估计；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此判断即可. 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是． 故答案为：． 12. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的中项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 13. 若将抛物线向上平移后经过点，所得抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移后的解析式为：， 把代入得， 解得：， ∴解析式为：， 故答案为：． 14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，连接， 是中的弦的中点，且， ，， 设的半径长为，则， ， ， 在中，，即， 解得， 即的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 15. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ 故①正确，符合题意； ②∵点为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 当时，， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 三、解答题（本题10分，共52分） 17. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率及用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用红球数除以总球数即可得解； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 两次摸到红球的概率为． 18. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． （1）在计算过程中、之间的距离应是________米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定； （1）、之间的距离应是测量者的眼睛距地面的高度 （2）证，得，即可求解； 【小问1详解】 解：∵测量者的眼睛距地面的高度为米． ∴、之间的距离应是米． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴，即，解得； ∴学校旗杆的高度为米； 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 如图，即为所求． ，， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可得，点Q的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 20. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求b和c的值． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过两点， ∴， 解得， 即b的值为，c的值为2； 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数的解析式为 ， ∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，且， ∴当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是． 21. 如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； （2）求弧的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理及其逆定理，弧长公式，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键． （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理得出，结合弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，D为所求；， 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： 在中，， 的半径为， 由网格得：，，， ∴， ∴， ∴弧的长为：． 22. 如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持 （1）当时，求的长； （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，得到，，当时，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据等腰直角三角形的性质，得到，，进而得到，，再利用勾股定理，求出，然后证明，利用对应边成比例，即可求出． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 由勾股定理得：， 当时，是等腰三角形， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴的长为； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， 在中，， 由（1）可知，， 又， ， ． 23. 大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】（1）；自变量的取值范围为，且x为整数 （2）每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元 （3）每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元 【解析】 【分析】本题是函数应用问题，考查了求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据利润为1920元及所列的函数式，得到关于x的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：， 其中自变量取值范围为，且x为整数； 答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当，且x为整数时， ∴当时，最大值（元）， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：； ∵，且x为整数， ∴， 此时售价为（元）； 答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元． 24. 如图，直线与轴交于，与轴交于，抛物线经过，．是轴上一动点．过点作轴交于点，交直线于点，交抛物线于点，连接． （1）求直线解析式； （2）求点的坐标； （3）求抛物线解析式； （4）用含的代数式表示和的长； （5）点在线段上运动，当线段的长度最大时，求点的坐标，并求出的最大值； （6）点在线段上运动，若是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）；； （5），有最大值； （6） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求得一次函数和二次函数的解析式，根据两点之间的距离和勾股定理求得两点的距离，转化为求二次函数最值或解等式是解题关键． （1）将点A代入直线，即可确定函数解析式； （2）令，即可确定点B的坐标； （3）利用待定系数法即可确定函数解析式； （4）根据题意得出点，点，然后利用两点之间的距离求解即可； （5）根据二次函数的性质求解即可； （6）根据（4）中结果及等腰三角形的性质求解判断即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点， ∴ 解得， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴点； 【小问3详解】 ∵抛物线经过A，B， ∴ 解得， ∴． 【小问4详解】 ∵轴， ∴， ∵点， ∴点，点， ∴， ∵， ∴； 【小问5详解】 由（4）得：， 当时，有最大值，， ∴， 故点． 【小问6详解】 根据（4）得：，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴ 解得或(舍去)或(舍去)； 故点E的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙师大附属海宁经济开发区实验初级中学 九年级数学基础过关赛（一） 试卷总分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ） A. 小明夺冠的可能性较大 B. 小明夺冠的可能性较小 C. 小明肯定会赢 D. 若小明比赛10局，他一定会赢8局 3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线的顶点坐标是 6. 如图，点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 若四边形是的内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是（    ） A. 平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B. 垂直于弦的直线平分弦 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 9. 如图，已知AB是的直径，弦，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 12. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 13. 若将抛物线向上平移后经过点，所得抛物线的解析式为____________． 14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m． 15. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为_____． 16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是______． 三、解答题（本题10分，共52分） 17. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 18. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． （1）在计算过程中、之间的距离应是________米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 20. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求b和c的值． （2）当时，求y的取值范围． 21. 如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； （2）求弧的长． 22. 如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持 （1）当时，求的长； （2）当时，求的长． 23. 大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 24. 如图，直线与轴交于，与轴交于，抛物线经过，．是轴上一动点．过点作轴交于点，交直线于点，交抛物线于点，连接． （1）求直线解析式； （2）求点的坐标； （3）求抛物线解析式； （4）用含的代数式表示和的长； （5）点在线段上运动，当线段的长度最大时，求点的坐标，并求出的最大值； （6）点在线段上运动，若是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $