31.3 课时1 相似三角形的应用课件2026-2027学年九年级数学下册人教版

第三十一章 相似 31.3 课时1 相似三角形的应用1 M A T H 22051 能利用相似三角形解决一些不能直接测量的物体的高度和宽度问题. 学习目标 M A T H 22051 思考：世界上有许多高山，有许多大河，在我们无法到达其顶端，无法跨越到对岸时，如何才能知道“山有多高，河有多宽”呢? 情境导入 M A T H 22051 3 活动1：据史料记载，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测OA得为201m，求金字塔的高度BO. 任务：能利用相似三角形求出不能直接测量的物体的高度、宽度. 思考：∠BAO与∠EDF相等吗？还有哪些角相等？ 所以∠BAO=∠EDF， ∠AOB=∠DFE=90°. 因为太阳光是平行的光线 探究学习 M A T H 22051 如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测OA得为201m，求金字塔的高度BO. 解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF. 答：金字塔的高为134m. 又 ∠AOB=∠DFE=90°. ∴△ABO∽△DEF. 则 讨论：大家还能想出其他的测量方法吗？ 探究学习 M A T H 22051 A F E B O △ABO∽△AEF OB EF = OA AF OB = OA · EF AF 平面镜 利用平面镜对光的反射构造相似三角形： 探究学习 M A T H 22051 利用太阳光进行测量时应在晴天，用这一方法时要牢记： 太阳光线是平行光线. 参照物的高度 被测物体的高度 参照物的影长 被测物体的影长 = 方法一：在同一时刻物高与影长成比例，即 方法二：可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 归纳 M A T H 22051 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( ) A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m B 巩固练习 M A T H 22051 8 活动2：如图，左、右并排的两棵树的高分别为AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 探究学习 M A T H 22051 分析：如图，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域I 和Ⅱ都看不到.当她眼睛的位置与两棵树的顶 端 A，C 恰在一条直线上时及其之后，就看不到右边较高树的顶端C了 . 探究学习 M A T H 22051 解：如图，假设观察者从左向右走到点F时 ，她眼睛的位置与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.设此时观察者眼睛的位置为点E，画出观察者的水平视线EG，分别交AB，CD于点 H，K. ∵ AB⊥l，CD⊥l， ∴AB//CD. ∴ △AEH∽△CEK. ∴ = ， 即 = . 解得EH=8. 因此，观察者从左向右前进，当她与左边 树的距离小于或等于8 m 时，由于左边树 的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 1.6 5 8 12 探究学习 M A T H 22051 如图，路灯灯柱OP的长为8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到达点B处，人影的长度变短了多少？ 解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y， ∵AD//OP，BC//OP， ∴△ ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN， ∴ 则 ， ∴x-y=3.5，故变短了3.5米． 巩固练习 M A T H 22051 活动3：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点 E，使 EC⊥BC，确定BC和AE的交点 D．此时如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求两岸间的大致距离AB． E A D C B 60m 50m 120m 解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴AB∥CE， ∴△ABD∽△ECD， ∴ ，即 ，解得AB=100m， 答：两岸间的大致距离AB为100m. 还有其他构造三角形相似求河宽的方法吗？ 探究学习 M A T H 22051 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“X”型或“A”型的相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离. 归纳 M A T H 22051 如图，A，B两地之间有一个池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC=0.5AO，连接BO并延长到点D，使OD=0.5BO. 测得C，D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为( ) A.30米 B.45米 C.60米 D.90米 C 巩固练习 M A T H 22051 15 关于本节课“利用相似三角形测量”，说一说你都学到了哪些知识？ 相似三角形应用举例 利用相似三角形测量宽度 利用相似三角形测量高度 利用相似解决有遮挡问题 课堂小结 M A T H 22051 1.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，并且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为( )  A.1.6米 B.1.5米 C.2.4米 D.1.2米 B 基础 随堂小练 M A T H 22051 17 2.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为(　　) A．45米 B．40米 C．90米 D．80米 3.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是(　　) A.6米 B.8米 C.18米 D.24米 A B 基础 随堂小练 M A T H 22051 4.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆. 小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为______米. 22.5 基础 随堂小练 M A T H 22051 5.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚底下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时 ∠LMK 等于∠SMT 吗？如果王青身高 1.55m，她估计自己眼睛离地面 1.50m，同时量得 LM = 30cm，MS = 2m，这栋大楼有多高？ 解：根据题意， ∵∠KLM =∠TSM = 90°，∠KML =∠TMS ， ∴△KLM ∽△TSM， ∴ 即 ∴TS = 10 ( m ) 所以这栋大楼高为 10m． 提升 随堂小练 M A T H 22051 6.在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，求树高. 解：如图所示，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F， 由题意，DE=0.2米，CD=BF=0.3米，BC=DF=3.84米， 则EF=DE+DF=3.84+0.2=4.04（米）， 设AF=x米，由题意，得x:4.04=0.9:0.6， 解得：x=6.06， ∴AB=AF+FB=6.06+0.3=6.36（米）． 答：树高为6.36米. 提升 随堂小练 M A T H 22051 $