31.4（第1课时）位似图形的概念及画法（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.4 位似图形的概念及画法 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 位似图形的画法 情境导入 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 合作探究 下图是运用幻灯机（点O表示光源）把幻灯片上的一只小松鼠放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？ A A’ B B’ C C’ O 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 合作探究 在图中的右边小松鼠的右边耳朵、右手食指指尖和左脚趾上分别取点A，B，C. 左边小松鼠的右边耳朵、右手食指指尖和左脚趾上的点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点. 此时我们会发现点A ，A′与点O在一条直线上，点B ，B′与点O在一条直线上，点C ， C′与点O也在一条直线上，且△ABC和△A’B’C’中， 这两个三角形相似吗？如果相似，△ABC和△A’B’C’的相似比是多少？ A B C A’ B’ C’ O 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 合作探究 A B C A’ B’ C’ O 因为△OA’B’∽△OAB.可得 同理可得 于是 △A’B’C’∽△ABC，相似比为k. 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 位似图形 A B C D P A’ B’ C’ D’ P’ O 一般地，如图，如果一个图形上的所有点 那么这两个图形叫做位似图形，点O叫作位似中心. 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫做位似多边形. 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 1 2 3 4 位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心； 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； 利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小. 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 合作探究 ● O ● ● ● 　 如下图，要把△ABC放大为原来的2倍，我们可以在三角形外任意取一点O，连接OA，OB，OC，分别在线段OA，OB，OC 的延长线上取点A′，B′，C′使得 C B A 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 ● O 　 对于上述△ABC及点O,如果分别在OA，OB，OC的反向延长线上取点A′，B′，C′使得 则△ABC和△ABC有什么关系？ C B A ● ● ● 思考 请同学们自己动手拖动△ABC试试看！ 如果点O取在△ABC内部，又应该如何画图呢？ 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长； （3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点； （4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. ● O ● ● ● C B A ● ● ● ● 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 请指出下列图形那些是位似图形,并指出位似图形图的位似中心. o P 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 归纳总结 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察： 一是这两个图形是相似的， 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点. 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点. 位似分为内位似和外位似， 内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上； 外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. A B C D P A’ B’ C’ D’ P’ O 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比，四边形 A′ B′ C′D′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比 ＝. 则四边形A″ B″ C″ D″和 四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比. 解：∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似， ∴ 四边形ABCD ∽四边形A′ B′ C′ D′ . ∵ 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似， ∴ 四边形A′ B′ C′ D′∽四边形A″ B″ C″ D″ . ∴ 四边形A″ B″ C″ D″∽四边形ABCD. ∵ 对应顶点的连线过同一点， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形. ∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比 ＝ ， 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似，相似比 ＝， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 的相似比为 . 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2. 解：画射线OA、OB、OC； 在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F，使OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC； 顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似，相似比为2. A B C F E D O 还有其他画法吗？ 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 解：画射线OA、OB、OC; 沿着射线OA、OB、OC反方向上分别取点D、E、F,OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; 顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2. A B C O E F D 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2. 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且AB∥CD∥EF， (1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明； (2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长. 解：(1)△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC， △AEB 与 △DEC 都是位似图形. (2)∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC，AB=2，CD=3， ∴ ∴ 解得 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图， 与 是以点O为位似中心的位似图形，若 ， 求 与 的周长之比． 解：∵ 与 是以点O为位似中心的位似图形， ，且相似比等于 ∴ 与 的周长之比等于 ，设 ， （ ） ， ∴ 与 的周长之比是 ． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图， 和 是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA’上，若 ，则 与 的面积之比为多少？ 解：∵ ，∴ ， ∵ 和 是以点O为位似中心的位似图形， ， ， ∴ ， ∴ ， 则 与 的面积之比为 ． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图所示，已知 ， ， ． (1)求证：四边形 与 四边形位似． (2)若 ， ，求 ． 解：(1)证明： ∵ ， ， ， ∴ 又∵四边形 与 四边形的对应顶点的连线相交于点A， ∴四边形 与 四边形位似． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图所示，已知 ， ， ． (1)求证：四边形 与 四边形位似． (2)若 ， ，求 ． (2)解： ∵ ，∴ ， ∴四边形 与 四边形的相似比为4:3． ∵ ， ∴ ． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为 和80 cm．大、小两个长方形左右边距为 ，上下边距为 ． (1)当 时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (1)解：外部大长方形的长和宽之比为 ， 中空的长方形铁板的长 ， 宽 ， ∴中空的长方形长和宽之比为 ， ， ∴大、小两个长方形不是位似图形； 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 (2)当m和n的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ (2)解：中空的长方形铁板的长 ， 宽 ， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得 ，整理可得 ， 所以当m和n的比值是 时，大、小两个长方形是位似图形． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 本课总结 画法 位似图形的概念 及画法 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似 图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做 位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线 相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似 图形，这个交点叫做位似中心． 概念 性质 ① 确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和 能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代 表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各 点，得到放大或缩小的图形. 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形． 下列图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5:3，点A,B的对应点分别为点A’,B’．若 ，则A’B’的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为5:3， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A’B’C’D’，已知 则 的值为（   ） A． B． C． D． 解：四边形ABCD与四边形A’B’C’D’是位似图形， 四边形ABCD∽A’B’C’D’四边形， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ．∵ ∴ 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，已知 ，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C． 是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 解：∵ ，∴ ， ， ∴ ， ∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，故A、B正确，不符合题意； 或 或 是相似比，故C错误，符合题意； 点B和点D，点C和点E是对应点，故D正确，不符合题意． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，三角板（ ）在手电筒（点O）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（ ）是位似图形，若 ，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A．4:5 B．4:9 C．16:25 D．16:81 解：∵ ， ∴ ， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴ ，且相似比为4:9， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是 ． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 指出下列各图中的两个图形是否是位似图形,若是位似图形,请指出其位似中心. 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 如图，已知DE//BC，则△ADE与△ABC是位似图形吗？若是，找出它们的位似中心. 解：△ADE与△ABC是位似图形，理由如下： ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与△ABC三组对应点所在直线经过同一点A， 且AD与AB，AE与AC在同一条直线上，且DE//BC， ∴它们的位似中心为点A. A D E C B 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 规范解答 解：由题意，作图如下（答案不唯一）： (1) (2) (3) 如图，已知四边形．按下列要求分别画出它的一个位似四边形，且使新四边形与原四边形的位似比． (1)位似中心在四边形的外部． (2)位似中心在四边形的内部． (3)位似中心在四边形的一个顶点上． 31.4（第1课时） 位似图形的概念及画法 相似比 = 1.50 相似比 = 1.50 $