31.3 相似三角形的应用 第1课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十一章 相似 31.3 相似三角形的应用 课时1 1.经历实际情境抽象几何图形、运用平行线构造相似三角形列比例式计算求解的建模过程，提升数学建模能力. 2. 会利用相似三角形的判定和性质，解决测量物体的高度问题，提高运算能力和推理能力. 学习目标 2 金字塔是古埃及的宏伟建筑，在当时没有现代测量工具的情况下，直接测量金字塔的高度几乎是不可能的 —— 金字塔又高又大，底部还是正方形，没法直接用尺子量. 但是，早在 2000 多年前的古希腊，有一位叫泰勒斯的数学家，就用相似三角形的原理，巧妙地测出了金字塔的高度，那泰勒斯是怎么做到的呢？ 课堂导入 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯（Thales，约公元前624—前547）曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度. 如图，木杆 EF 长 2 m，测得木杆的影子 FD=3 m，OA=201 m. 求金字塔的高度 BO. 例1 解：太阳光是平行光线，因此 又 ∴ . 因此，金字塔的高度为 134 m. 金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形底边上的高与金字塔底边长一半的和. 如何测出OA的长？ 知识点1 利用影子测量物体的高度 新知讲解 利用影子测量物体的高度 (1) 测量原理：利用太阳光是平行光线构造相似三角形. (2) 测量方法：如图， ① 测量出参照物的高度 DF； ② 测量出太阳光下参照物的影长 EF 和被测物体的影长 BC； ③ 根据太阳光是平行光线推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例，求出被测物体的高度 AC. 知识点1 利用影子测量物体的高度 新知讲解 如图，身高是1.6 m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2 m和9 m，则旗杆的高度为______m. 跟踪训练 A B C D E 解析：如图，∵ 太阳光线是平行光线，即 , ∴ . 又 , ∴ , ∴ 解得 DE =12 m. 12 1.6 9 1.2 知识点1 利用影子测量物体的高度 新知讲解 如图，身高是1.6 m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2 m和9 m，则旗杆的高度为______m. 跟踪训练 A B C D E 12 另解：本题也可直接利用同一时刻物高与影长成比例求解. 由同一时刻， 得 解得 . 知识点1 利用影子测量物体的高度 新知讲解 如图，左、右并排的两棵树的高分别为 AB=8 m 和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了? 例2 分析：如图，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域I和Ⅱ都看不到. 当她眼睛的位置与两棵树的顶端A,C恰在一条直线上时及其之后，就看不到右边较高树的顶端C了. 新知讲解 知识点2 利用标杆测量物体的高度 如图，左、右并排的两棵树的高分别为 AB=8 m 和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了? 例2 解：如图，假设观察者从左向右走到点F时，她眼睛的位置与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上. 设此时观察者眼睛的位置为点E，画出观察者的水平视线EG，分别交AB，CD于点H，K. 新知讲解 知识点2 利用标杆测量物体的高度 如图，左、右并排的两棵树的高分别为 AB=8 m 和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了? 例2 ∵ AB⊥l，CD⊥l， ∴ AB∥ CD. ∴ ∴ 即 解得 因此，观察者从左向右前进，当她与左边树的距离小于或等于8时，由于左边树的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 新知讲解 知识点2 利用标杆测量物体的高度 借助标杆测量物体的高度 （1）测量原理：利用标杆与被测物体平行构造相似三角形. （2）测量方法：如图， ① 测量出标杆的长度 、观测者眼睛到地面的高度 ； ② 让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛 、标杆的顶端  和被测物体的顶端  恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的水平距离  及距被测物体底端的水平距离 ； ③ 根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 . 新知讲解 知识点2 利用标杆测量物体的高度 跟踪训练 九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图，已知标杆的高度 ，标杆与旗杆的水平距离 ，人的眼睛距地面的高度 ，人与标杆  的水平距离 ，求旗杆  的高度. 解：易知四边形  为矩形，∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ ,即 , ∴ , 解得 . ∴ , 即旗杆  的高度为 . 15 2 1.6 3-1.6 1.6 15 2 新知讲解 知识点2 利用标杆测量物体的高度 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图. 在点  处水平放一平面镜，光线从点  发出经平面镜反射后刚好照到古城墙  的顶端  处，已知 ，，测得  米， 米， 米，求该城墙  的高度. 解：如图，由题意可得 ，，∴ . ∵ ，， ∴ , ∴ ， ∴ ∵  ， ， ， ∴  解得  . 答：该古城墙  的高度为 8 米. E 例3 新知讲解 知识点3 xxxxxxxxxxxxxxxx 知识点3 利用平面镜的反射测量物体的高度 利用平面镜的反射测量物体的高度 测量原理：利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形. 测量方法：如图， ① 在观察者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜， 在平面镜上做一个标记 ； ② 测出观察者眼睛到地面的高度 CD； ③ 观察者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜上的标记位置到观察者脚底的水平距离 DE  及到被测物体底端的水平距离 BE； ④ 根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 AB. 新知讲解 知识点3 xxxxxxxxxxxxxxxx 知识点3 利用平面镜的反射测量物体的高度 1. 在某地的同一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，一栋楼的影长为60 m， 这栋楼的高度是多少? 解：设这栋楼的高度是 . 根据题意，得 解得 . 答：这栋楼的高度是 36 m. 随堂练习 2. 如图，AB⊥BC，CE⊥BC，垂足分别为B，C.测得 BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m. 求河宽AB. 解：∵ , ∴ . 又  , ∴ , ∴ AB=100 . 答：河宽 AB 为 100 m. 随堂练习 3. 如图，在 A 时测得一棵大树的影长为 4 米，B 时又测得该树的影长为 9 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度是 （ ） A.4米 B.6米 C.8米 D.9米 E F C D 解析：如图，根据题意，得∠ECF=90°，ED=4，FD=9. B ∵ ∠ECF=，∴ ∵ ， 即ED⋅FD=36, ∴ DC=6 米. 随堂练习 相似三角形的应用 利用标杆测量物体的高度 利用影长测量物体的高度 生活中的问题 数学问题 抽象 建模 利用平面镜的反射测量物体的高度 课堂小结 $