精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年度第一学期期中试卷初一年级数学

北师大实验中学2026-2027学年度第一学期期中试卷 初一年级数学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，三道大题，30道小题；答题纸共2页． 满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10道小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．每小题2分，共20分） 1. 田径比赛中，若规定“领先”记为正数，“落后”记为负数，那么“落后0.09秒”应记为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2. 2026年国庆假期，受国风动画电影的带动，山西省大同市多处古建筑关注度持续上升．全市8家重点监测景区累计接待游客万人次．将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列问题中两个量成反比例关系的是（ ） A. 正方形的边长与面积 B. 在电脑上输入一份总字数确定的稿件，每分钟打字个数与所需的时间 C. 班级人数一定，每人订一份时，订阅某类报纸的单价与所需总钱数 D. 购买足球和篮球的总费用一定时，买足球的费用与买篮球的费用 4. 已知，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 3 D. 4 5. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式的系数是，次数是2 B. 多项式是三次三项式 C. 单项式与单项式互为倒数 D. 多项式是按照字母降幂排列的 6. 下列各式的变形错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 对于代数式赋予实际意义错误的是（ ） A. 小明步行速度为米/分钟，走了10分钟后，又走了4米，小明走的总长度为米 B. 小红买了10支单价为元的铅笔，老板送了一个4元的文具盒，则小红总花费为元 C. 一个两位数，十位数字是，个位数字是4，这个两位数表示为 D. 小明今年岁，爷爷的年龄是他的十倍，4年后爷爷的年龄为岁 8. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 用一根铁丝围出相同数量的型或型长方形，如图所示，型周长，型周长．若全围型，铁丝剩；若全围型，铁丝缺．求长方形的个数与铁丝总长各是多少？下列说法错误的是( ) A. 设一根铁丝长为，根据题意可列方程： B. 长方形个数为 C. 设长方形的个数为个，根据题意可列方程： D. 设长方形的个数为个，根据题意可列方程： 10. 幻方是我国古代数学文化中极具代表性的趣味数学成果．后人在幻方的基础上衍生出“幻圆”这类环形填数问题．现有一个幻圆，共有8个圆圈，需要将，，，，，，，这8个数不重复地填入圆圈内． 填数规则：纵向4个数之和、横向4个数之和、内圈4个数之和、外圈4个数之和全部相等．图中已经预先填入部分数字．请根据幻圆的规则，图中的值应该为（ ） A. B. 2 C. D. 8 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分） 11. 关于的一元一次方程的解是，则______． 12. 数学中的自然常数为无限不循环小数，用四舍五入法把它精确到百分位得近似数为__________． 13. 比较大小：__________． 14. 与多项式的和为单项式的整式可以是__________（写出一个即可） 15. 已知，那么__________． 16. 如图，直角三角形的两条直角边分别为3和4，分别以这两条直角边为直径构造两个半圆，则这个组合图形的面积为__________．（结果保留） 17. 若，则__________，__________． 18. 已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，其中，化简：__________． 19. 按如图所示的运算程序，输出结果在数轴上表示的数到原点的距离为65，则自然数__________． 20. 如图所示，某同学模仿实验中学校徽核心部分画了一组图形，第1个图形是边长为1的等边三角形；第2个图形从内到外由边长是1、3的两个等边三角形组成；第3个图形从内到外依次由边长是1、3、5的等边三角形组成…以此类推，每个图形中三角形的边长为连续奇数． 记第1个图形的总线段长为3，第2个图形的总线段长为11（重合部分只计算一次） （1）第3个图形的总线段长为__________；（2）第个图形的总线段长为__________． 三、解答题（本题共10道小题，其中第21题12分，第22题4分，第23至27题每题5分，第28、29题每题6分，第30题7分，共60分） 21. 计算题： （1） （2） （3） （4） 22. 解方程：． 23. 先化简，再求值：其中，． 24. 已知，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 25. 观察下列算式，寻找规律，利用规律解答问题． 第一个算式：， 第二个算式：， 第三个算式：， 第四个算式：，…… （1）根据上述规律填空：_____________＝_____________； （2）若第个算式等于，则__________； （3）计算的值． 26. 列方程解应用题： “丰产1号”花生平均每公顷产量为kg，出油率为．“丰产2号”花生比“丰产1号”平均每公顷产量提高了kg，出油率提高了个百分点．某农场去年种植“丰产1号”花生，今年改种“丰产2号”花生，虽然种植面积比去年减少了公顷，但是花生总出油量比去年提高了kg．求这个农场今年花生的种植面积是多少公顷？ 27. 材料1：正整数进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，任意正整数进制的数都可以相互转化． 其中逢三进一为三进制，用0，1，2共三个整数记数，三进制1201记为，由，则可转化为十进制下的46．（默认十进制不写角标） 逢八进一为八进制，用0至7共八个整数记数，八进制数371记为，由，则可转化为十进制下的249． 材料2：一个数如果从左向右读和从右向左读完全相同，这个数叫回文数．例如：十进制五位数12321，四进制两位数都是回文数，特别地，在任意正整数进制下，一位数都是回文数． 根据以上材料，回答下列问题： （1）将八进制三位数转化为十进制数，写出计算过程． （2）请写出一个二进制四位数回文数：_____________，把它转化为十进制后_____________（填“是”或“不是”）回文数． （3）已知（其中且为正整数）是进制下的两位数，显然在进制下不是回文数，将它转化为十进制后得到的数是十进制回文数，直接写出的值． 28. 对于任意的有理数，规定： 当时，； 当时，． （1）填空：_____________；_____________． （2）若，求的值 （3）若两个有理数，满足，且，则_____________． 29. 如图1所示，数轴上点、表示的数分别为、15，现有一动点从点出发，以2单位长度/秒的速度向数轴正方向运动，一动点从点出发，以3单位长度/秒的速度向数轴负方向运动，两动点同时出发，设运动时间为． （1）用含的代数式表示点和点所表示的数． （2）若所有动点经过原点时，都会在运动方向无改变的前提下，将速度提升至原来的1.5倍． ①当时，__________． ②如图2所示，点、在数轴上表示的数分别为、，我们规定点与点是“连通”的，即当某一动点运动至点（或点）时，会瞬间穿越至另一点（或点），且穿越后的运动方向、运动速度与穿越前保持不变．则当时，__________． 30. 将一组正整数分成若干小组，每个小组内至少含有一个数，每个原始数字只能归入一个小组，小组不计先后顺序，分组数量不少于1． 把每个小组内所有数字求和，得到该小组的组和；称一种分组方案下，所有小组组和的乘积，为该种分组方案的权重值，权重值最大的分组，为最优分组，最大权重值记为． 示例：数字3，5． 方案1：全部作为1个小组，，组和为8，权重值为8； 方案2：分成两组、，两组组和依次为3和5，权重值．故最优分组为方案2，最大权重值15． （1）对数字2，3，5进行分组，一共存在__________种不同的分组方案，最大权重值__________． （2）记从1到这个正整数，经过分组得到的最大权重值为． ①当时，__________； ②取，将数字2026并入最优分组中某一组（这组组和为a），记这个新分组方案的权重为；保持的最优分组不变，在此基础上增加新小组，得到另一个分组方案，记该方案的权重值为． 若，则被并入那一组的组和__________． （3）设一组正整数相加的总和为定值，则可得到的最大权重值_________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026-2027学年度第一学期期中试卷 初一年级数学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，三道大题，30道小题；答题纸共2页． 满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10道小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．每小题2分，共20分） 1. 田径比赛中，若规定“领先”记为正数，“落后”记为负数，那么“落后0.09秒”应记为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】D 【解析】 【分析】题目规定“领先”记为正数，“落后”是与”领先”相反的情况，因此“落后”应记为负数． 【详解】解：∵“领先”记为正数，“落后”记为负数， ∴“落后0.09秒”应记为秒． 2. 2026年国庆假期，受国风动画电影的带动，山西省大同市多处古建筑关注度持续上升．全市8家重点监测景区累计接待游客万人次．将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：192.2万． 3. 下列问题中两个量成反比例关系的是（ ） A. 正方形的边长与面积 B. 在电脑上输入一份总字数确定的稿件，每分钟打字个数与所需的时间 C. 班级人数一定，每人订一份时，订阅某类报纸的单价与所需总钱数 D. 购买足球和篮球的总费用一定时，买足球的费用与买篮球的费用 【答案】B 【解析】 【分析】成反比例的两个量乘积为定值，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、正方形边长为，面积为，满足，二者乘积非定值，不成反比例，不符合题意； B、稿件总字数为定值，每分钟打字个数与所需时间的乘积为定值，成反比例，符合题意； C、班级人数一定，每人订一份时，总钱数与单价的比值为定值，成正比例，不成反比例，不符合题意； D、总费用一定时，足球费用与篮球费用的和为定值，乘积非定值，不成反比例，不符合题意． 4. 已知，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将所求代数式变形为含的形式，整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式的系数是，次数是2 B. 多项式是三次三项式 C. 单项式与单项式互为倒数 D. 多项式是按照字母降幂排列的 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，单项式的系数是，次数是1，不符合题意； 选项B中，多项式的最高次项次数为，是四次三项式，不符合题意； 选项C中，分母含字母，不是单项式，不符合题意； 选项D中，多项式中各项的次数依次为2、1、0，是按字母的降幂排列，符合题意． 6. 下列各式的变形错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】分母化为整数时仅调整对应分数的分子分母，其余项保持不变，以此判断变形正误． 【详解】解：A、，两边加3，，A变形正确； B、，将的分子分母同乘10，其余项不变，正确变形为，B变形错误； C、，两边乘，，C变形正确； D、，去括号，，D变形正确． 7. 对于代数式赋予实际意义错误的是（ ） A. 小明步行速度为米/分钟，走了10分钟后，又走了4米，小明走的总长度为米 B. 小红买了10支单价为元的铅笔，老板送了一个4元的文具盒，则小红总花费为元 C. 一个两位数，十位数字是，个位数字是4，这个两位数表示为 D. 小明今年岁，爷爷的年龄是他的十倍，4年后爷爷的年龄为岁 【答案】B 【解析】 【分析】先明确代数式的运算含义，再逐一匹配各选项的实际意义判断正误． 【详解】解：A、总路程为米，意义正确； B、文具盒为赠送无需付费，总花费为元，与不符，意义错误； C、两位数表示为，意义正确； D、4年后爷爷年龄为岁，意义正确． 8. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，，，得到，再逐一判断每个选项的正误． 【详解】解：，， ， ， A 选项：，， ，故 A 项错误； B 选项：， ，即，故 B 项错误； C 选项：，， ，，， ，故 C 项正确； D 选项：，， ，故 D 项错误． 故选：C． 9. 用一根铁丝围出相同数量的型或型长方形，如图所示，型周长，型周长．若全围型，铁丝剩；若全围型，铁丝缺．求长方形的个数与铁丝总长各是多少？下列说法错误的是( ) A. 设一根铁丝长为，根据题意可列方程： B. 长方形个数为 C. 设长方形的个数为个，根据题意可列方程： D. 设长方形的个数为个，根据题意可列方程： 【答案】D 【解析】 【分析】分别设一根铁丝长为，长方形的个数为个，分别根据长方形的个数相同和铁丝的总长相等列出方程即可判断选项A、C、D的正误，在判断出选项C正确的基础上变形求y可判断选项B的正误． 【详解】解：设一根铁丝长为， ∵全围型，铁丝剩；若全围型，铁丝缺． ∴根据长方形的个数相同列方程得：，故选项A正确； 设长方形的个数为个， ∵全围型，铁丝剩；若全围型，铁丝缺． ∴根据铁丝的总长相等列方程得：，故选项C正确，选项D错误； 由移项整理得：， 故长方形的个数为：，故选项B正确． 10. 幻方是我国古代数学文化中极具代表性的趣味数学成果．后人在幻方的基础上衍生出“幻圆”这类环形填数问题．现有一个幻圆，共有8个圆圈，需要将，，，，，，，这8个数不重复地填入圆圈内． 填数规则：纵向4个数之和、横向4个数之和、内圈4个数之和、外圈4个数之和全部相等．图中已经预先填入部分数字．请根据幻圆的规则，图中的值应该为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得每个圈内的四个数的和以及横向、竖向四个数的和都为2，从而得到，再由剩下的四个数为，且这四个数中只有，可得或，即可求解． 【详解】解：如图， ，且纵向4个数之和、横向4个数之和、内圈4个数之和、外圈4个数之和全部相等， ∴每个圈内的四个数的和以及横向、竖向四个数的和都为2， ∴， ∴， ∵剩下的四个数为，且这四个数中只有， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， ∴x的值为2． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分） 11. 关于的一元一次方程的解是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解． 将代入方程解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 数学中的自然常数为无限不循环小数，用四舍五入法把它精确到百分位得近似数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】精确到百分位需保留两位小数，依据四舍五入规则，通过千分位数字判断是否进位． 【详解】解： ∵ 精确到百分位即保留小数点后两位，需根据千分位数字进行四舍五入. ∴ 对，其百分位数字为，千分位数字为， ∵ 千分位数字，需向百分位进， ∴ 百分位的加得，舍去千分位及之后的数字，得到近似数． 13. 比较大小：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简含乘方的待比较数，再根据两个负数比较大小的规则，通过比较绝对值的大小判断原数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， 计算两数的绝对值： ， ， ∵，即， ∴根据两个负数比较大小的规则：绝对值较大的负数反而小，可得，即． 14. 与多项式的和为单项式的整式可以是__________（写出一个即可） 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】需使两整式合并同类项后结果仅含一项，可通过消去原多项式的二次项或一次项构造符合要求的整式． 【详解】解：∵由单项式的定义可知，整式相加合并同类项后仅剩余一项即为单项式． ∴取整式，与原多项式相加计算得， 合并后结果为单项式，满足题目要求． 15. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质，两个非负代数式的和为时，每个代数式的值都为，据此先求出、的取值，再代入计算的结果． 【详解】解：∵ 平方数、绝对值均为非负数，即， ∵ 已知 ∴ 两个非负代数式的和为时，每一代数式的值都为，即， 解得， ∴ ． 16. 如图，直角三角形的两条直角边分别为3和4，分别以这两条直角边为直径构造两个半圆，则这个组合图形的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据组合图形的面积=直角三角形的面积加上两个半圆的面积计算即可． 【详解】解：这个组合图形的面积 17. 若，则__________，__________． 【答案】 ①. 0 ②. 16 【解析】 【分析】利用多项式恒等的性质，代入特殊值和，可直接得到对应系数组合的和，无需完整展开多项式计算． 【详解】解：当时，， 即， 当时，． 即． 18. 已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，其中，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意及数轴，可得，，然后化简绝对值并进一步运算即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ． 19. 按如图所示的运算程序，输出结果在数轴上表示的数到原点的距离为65，则自然数__________． 【答案】6或33 【解析】 【分析】分n是否为奇数讨论，分别令和求出n即可得解． 【详解】解：∵在数轴上表示的数到原点的距离为65， ∴输出结果是， 当n是奇数时，令， 即或 解得：，或(不合题意，舍去) 当n不是奇数，即n是偶数时，令， 即，或(无解) 解得：， 综上所述：自然数6或33． 20. 如图所示，某同学模仿实验中学校徽核心部分画了一组图形，第1个图形是边长为1的等边三角形；第2个图形从内到外由边长是1、3的两个等边三角形组成；第3个图形从内到外依次由边长是1、3、5的等边三角形组成…以此类推，每个图形中三角形的边长为连续奇数． 记第1个图形的总线段长为3，第2个图形的总线段长为11（重合部分只计算一次） （1）第3个图形的总线段长为__________；（2）第个图形的总线段长为__________． 【答案】 ①. 23 ②. 【解析】 【分析】先根据题意求出第3个图形的总线段长，再根据前3个图形的总线段长找出规律即可． 【详解】解：由图可知，第3个图形的总线段长为 ∵第1个图形的总线段长为 第2个图形的总线段长为 第3个图形的总线段长为 ∴第n个图形的总线段长为． 三、解答题（本题共10道小题，其中第21题12分，第22题4分，第23至27题每题5分，第28、29题每题6分，第30题7分，共60分） 21. 计算题： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母（两边同乘4），得， 去括号、整理，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 23. 先化简，再求值：其中，． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先化简多项式，然后把和代入求值即可； 【详解】原式 当，时， 原式 【点睛】本题主要考查整式的化简，先去括号，然后合并同类项，最后代入求值，保证计算的准确率是解决本题的关键. 24. 已知，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 当，时， 原式 ； 【小问2详解】 解： ； 当，时， 原式 ． 25. 观察下列算式，寻找规律，利用规律解答问题． 第一个算式：， 第二个算式：， 第三个算式：， 第四个算式：，…… （1）根据上述规律填空：_____________＝_____________； （2）若第个算式等于，则__________； （3）计算的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察上面等式的规律，总结出规律即可写出第7个式子． （2）根据（1）中的规律求解即可． （3）将式子变形成，然后约分后得出，然后前后相消求解即可． 【小问1详解】 解：第一个算式：， 第二个算式：， 第三个算式：， 第四个算式：， …… 第n个算式：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知：第n个算式：， ∵第个算式等于， ∴由，解得． 【小问3详解】 解： ． 26. 列方程解应用题： “丰产1号”花生平均每公顷产量为kg，出油率为．“丰产2号”花生比“丰产1号”平均每公顷产量提高了kg，出油率提高了个百分点．某农场去年种植“丰产1号”花生，今年改种“丰产2号”花生，虽然种植面积比去年减少了公顷，但是花生总出油量比去年提高了kg．求这个农场今年花生的种植面积是多少公顷？ 【答案】 【解析】 【分析】找准两年总出油量的关系，正确计算不同品种花生的出油量，根据题意，列方程解答即可． 【详解】解：设这个农场今年花生的种植面积是公顷，则去年种植公顷． “丰产2号”每公顷产量，出油率； 今年总出油量，去年总出油量， 根据题意，得， ， ， ， 答：这个农场今年花生的种植面积是公顷． 27. 材料1：正整数进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，任意正整数进制的数都可以相互转化． 其中逢三进一为三进制，用0，1，2共三个整数记数，三进制1201记为，由，则可转化为十进制下的46．（默认十进制不写角标） 逢八进一为八进制，用0至7共八个整数记数，八进制数371记为，由，则可转化为十进制下的249． 材料2：一个数如果从左向右读和从右向左读完全相同，这个数叫回文数．例如：十进制五位数12321，四进制两位数都是回文数，特别地，在任意正整数进制下，一位数都是回文数． 根据以上材料，回答下列问题： （1）将八进制三位数转化为十进制数，写出计算过程． （2）请写出一个二进制四位数回文数：_____________，把它转化为十进制后_____________（填“是”或“不是”）回文数． （3）已知（其中且为正整数）是进制下的两位数，显然在进制下不是回文数，将它转化为十进制后得到的数是十进制回文数，直接写出的值． 【答案】（1） （2）；是；（或；不是；） （3） 【解析】 【分析】（1）按材料中方法进行计算即可； （2）按题意写出答案即可 （3）先将转化为十进制下的数，再结合“回文数”的定义进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如，因为，是十进制回文数， 故答案为：；是； （答案不唯一：写，填“不是”亦可） 【小问3详解】 解：∵已知（其中且为正整数）是进制下的两位数， ∴， ∵是十进制回文数，其中且为正整数， ∴当时，此时符合题意． 28. 对于任意的有理数，规定： 当时，； 当时，． （1）填空：_____________；_____________． （2）若，求的值 （3）若两个有理数，满足，且，则_____________． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先判断自变量的取值范围，匹配对应的函数表达式，再代入计算即可； （2）对自变量的取值范围作分类讨论，分别代入对应的表达式列方程求解，最后验证是否符合对应区间的前提条件，舍去不符合题意的解 （3）由已知条件可知，异号，分两种情况代入对应的函数表达式，化简绝对值方程后即可得到关于的等式，求解后验证结果即可． 【小问1详解】 解：， 把代入得 ； ， 把代入得 ． 【小问2详解】 解：当即时，代入得： ， 解得，满足； 当即时，代入得： ， ， ， ， ， 解得，满足． 的值为或． 【小问3详解】 解：， 异号，分两种情况： ，此时， ， ， 解得或． ，此时， ， ， 解得或，验证两组结果均满足异号的前提条件． 或． 29. 如图1所示，数轴上点、表示的数分别为、15，现有一动点从点出发，以2单位长度/秒的速度向数轴正方向运动，一动点从点出发，以3单位长度/秒的速度向数轴负方向运动，两动点同时出发，设运动时间为． （1）用含的代数式表示点和点所表示的数． （2）若所有动点经过原点时，都会在运动方向无改变的前提下，将速度提升至原来的1.5倍． ①当时，__________． ②如图2所示，点、在数轴上表示的数分别为、，我们规定点与点是“连通”的，即当某一动点运动至点（或点）时，会瞬间穿越至另一点（或点），且穿越后的运动方向、运动速度与穿越前保持不变．则当时，__________． 【答案】（1）点表示的数为；点表示的数为； （2）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）根据运动速度直接表示出来即可； （2）①分两种情况讨论：当点运动到原点的左侧和点运动到原点的右侧，注意运动速度的变化； ②根据题意，先分别计算出点运动到点时，点运动到点时，点继续以原来速度的1.5倍运动到点时，点继续从点开始以单位长度/秒运动到点时，点继续以单位长度/秒运动到点时，点继续从点开始以单位长度/秒运动到点时，这几个节点的时间，然后分时间段表示出此时的和，根据列方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，点表示的数为；点表示的数为； 【小问2详解】 解：①当点运动到原点的左侧且时，， 解得； 当点运动到原点的右侧且时， ∵点先以2单位长度/秒的速度运动到原点，再以原来速度的1.5倍继续运动， ∴此时， 解得； 综上，当时，或； ②根据题意，当点运动到点时，此时运动时间为（秒），之后点从点继续以相同的速度向数轴正方向运动； 当点运动到点时，此时运动时间为（秒）； 之后点继续以单位长度/秒的速度运动到点时，此时运动时间为（秒）； 之后点继续从点开始以单位长度/秒运动到点时，此时运动时间为（秒）； 之后点继续以单位长度/秒运动到点时，此时运动时间为（秒）； 之后点继续从点开始以单位长度/秒运动到点时，此时运动时间为（秒）； （a）当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时，， ∵，即 解得（舍去）； （b）当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时，， ∵，即 解得（舍去）； （c）当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时，， ∵，即 解得（舍去）； （d）当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时，， ∵，即 解得， ∵， ∴符合题意； （e）当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时，， ∵，即 解得（舍去）； （f）当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时，， ∵，即 解得， ∵， ∴符合题意； ∵当时，，此时的最小值为， ∴当时，不存在； 综上，当时，或． 30. 将一组正整数分成若干小组，每个小组内至少含有一个数，每个原始数字只能归入一个小组，小组不计先后顺序，分组数量不少于1． 把每个小组内所有数字求和，得到该小组的组和；称一种分组方案下，所有小组组和的乘积，为该种分组方案的权重值，权重值最大的分组，为最优分组，最大权重值记为． 示例：数字3，5． 方案1：全部作为1个小组，，组和为8，权重值为8； 方案2：分成两组、，两组组和依次为3和5，权重值．故最优分组为方案2，最大权重值15． （1）对数字2，3，5进行分组，一共存在__________种不同的分组方案，最大权重值__________． （2）记从1到这个正整数，经过分组得到的最大权重值为． ①当时，__________； ②取，将数字2026并入最优分组中某一组（这组组和为a），记这个新分组方案的权重为；保持的最优分组不变，在此基础上增加新小组，得到另一个分组方案，记该方案的权重值为． 若，则被并入那一组的组和__________． （3）设一组正整数相加的总和为定值，则可得到的最大权重值_________________． 【答案】（1）5； （2）①；② （3）当是3的倍数时，；当除以3余1时，；当除以3余2时， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出三种方案，再结合最大权重值的定义解答即可； （2）①当时，四个数的和为，则当时，拆数乘积最大，此时取得最大权重值，即可求解； ②设最优分组权重为，根据题意可得，，再根据，即可求解； （3）分三种情况：当是3的倍数时；当除以3余1时；当除以3余2时，即可求解． 【小问1详解】 解：方案1：全部作为1个小组，，组和为，权重值为10 方案2：分成两组，有3种，分别为： 和，两组组和依次为5和5，权重值； 和，两组组和依次为7和3，权重值； 和，两组组和依次为8和2，权重值； 方案3：分成三组，、、，三组组和依次为2，3，5，权重值； 故一共存在5种不同的分组方案，最大权重值30； 【小问2详解】 解：①当时，四个数的和为， 当时，拆数乘积最大，此时取得最大权重值， 即； ②设最优分组权重为， ∵单独新增一组， ∴， ∵将数字2026并入最优分组中某一组（这组组和为a），记这个新分组方案的权重为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验，符合题意， 即被并入那一组的组和； 【小问3详解】 解：当是3的倍数时，设（k为正整数），此时，则全部拆成k个3， ∴； 当除以3余1时，设（k为正整数），此时，则拆成个3，再加2和2， ∴； 当除以3余2时，设（k为正整数），此时，则拆成k个3，再加1和2， ∴； 综上所述，当是3的倍数时，；当除以3余1时，；当除以3余2时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $