31.2.3 相似三角形的性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学下册

31.2.3 相似三角形的性质 第三十一章 相似 22051 1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. 2.推导出相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并运用其解决问题. 学习目标 22051 ③两角分别相等的两个三角形相似; ⑤三边成比例的两个三角形相似; ⑥斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. ④两边成比例且夹角相等的两个三角形相似; 【问题1】相似三角形有哪些判定方法？ ①对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似; ②平行于三角形一边的直线．与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似; 复习导入 22051 【问题2】三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？ 三角形 高 中线 角平分线 周长 面积 那么相似三角形的这些几何量之间又有什么关系？ 复习导入 22051 【探究】如图， △∽△它们的相似比为，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 解：如图，分别作它们的高和 ∵△∽△， ∴∠=∠ 又∠=∠90°， ∴△∽△ ∴ =. 仿照求高的比的过程，求它们对应中线的比、对应角平分线的比. 两个角分别相等的两个三角形相似 新知讲解 22051 解：如图， ，分别为两个三角形的角平分线 ∵△∽△， ∴∠=∠∠=∠ ∴∠， ∴△∽△ ∴ =. 如图， △∽△相似比为，它们对应角平分线的比是多少？ 新知讲解 22051 解：如图， ，分别为两个三角形对应边的中线， 则= ， = ∵△∽△， ∴∠=∠， ∴ ， ∴△∽△ ∴ =. 如图， △∽△相似比为，中线的比是多少？ 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 新知讲解 22051 这样，我们得到相似三角形的一个性质： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 由此我们也可以得出： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳 22051 【思考】同样的，那相似三角形的周长比和面积比与相似比又有什么关系？ 如图，△∽△，且相似比为.则△与△周长的比是多少？. 新知讲解 22051 证明：∵△∽△，且相似比为k， ∴ = ，∴= ， = . ∴ = = 相似三角形的周长比等于相似比 新知讲解 22051 如图，△∽△，且相似比为. 和分别是两个三角形对应边上的高，则△与△面积的比是多少？. 证明：∵△∽△，且相似比为k， 由前面的结论，我们有 ∴ = 相似三角形的面积比等于相似比的平方 新知讲解 22051 【例】如图，在△和△中，=2，=2， ∠=∠. 若△的边上的高为6，它的面积为12，求△的边上的高和它的面积. 典例精析 22051 解：在△和△中， ∵=2，=2, ∴ 又 ∠=∠， ∴△∽△，相似比为 ∵△的边上的高为，它的面积为12， ∴ △的上的高为×6=3，它的面积为()²×12 典例精析 22051 【练习1】把一个三角形变成和它相似的三角形， (1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的____倍 (2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的____ 倍. 【练习2】两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米， (1)它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是 ____________________； (2)它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是 ____________________. 25 10 100 cm、 40 cm 50 cm²、8 cm² 巩固练习 22051 相似三角形的性质 周长 相似三角形周长的比等于相似比 高、角平分线、中线 相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角平分线 的比都等于相似比. 面积 相似三角形面积的比等于相似比的平方 课堂小结 22051 1.已知△∽△，其对应中线的比为1∶3，若△的周长为3，则△的周长为（ ） C A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 2.如图，在△中，＝，矩形的顶点，在边上，顶点，分别在，边上，若＝4，＝3，且＝2，则的长为 ⁠. 　 当堂检测 基础 22051 3. △ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积. 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF， ∴△ADE∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9， ∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25. 当堂检测 提升 22051 $