27.2.2 相似三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦“相似三角形的性质”，系统涵盖对应线段比、周长比、面积比等核心内容。课堂导入先复习相似三角形判定方法，再通过提问三角形高、中线等要素关系，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于采用合作探究（如推导对应高的比等于相似比）和分层练习（典例精析、当堂练习），培养学生推理能力与模型意识。通过表格归纳相似比、周长比、面积比关系，帮助学生构建知识体系，既提升学生逻辑思维，也为教师提供高效教学资源。

新知一览 图形的相似 相似 三角形 相似 相似三角形的性质 位似 位似图形的概念及画法 平面直角坐标系中的位似 相似三角形应用举例 相似三角形的判定 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质 第二十七章 相 似 优翼九下数学教学课件（RJ） 复习引入 1. 相似三角形的判定方法有哪些？ ◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. ◑平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似. ◑三边成比例的两个三角形相似. ◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ◑两角分别相等的两个三角形相似. ◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. 导入新课 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 如果两个三角形相似，那 么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 面积 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 相似三角形对应线段的比 A B C A' B' C' 合作探究 新课讲授 ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B'． 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°． ∴△ABD∽△A'B'D'． A' B' C' D' ∴ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比． C A B D 仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比. 试一试： 类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳： 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比). ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C 典例精析 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC 边上 的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______. 2 : 3 2 : 3 16 cm 练一练 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想： 如果 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'. 从而 归纳： 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？ 合作探究 A B C A' B' C' 由前面的结论，我们有 D' D A B C A' B' C' 分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′. 故 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 归纳： 1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 … k 周长比 … 面积比 10000 … 试一试： 2 4 100 100 k k2 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形： (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍. 25 10 3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm. (1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长 分别是______________； (2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________. 100 cm、40 cm 50 cm2、8 cm2 解：在△ABC 和△DEF 中， ∵ AB = 2DE，AC = 2DF， 又 ∵∠D =∠A， A B C D E F ∴ 例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A =∠D. 若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和面积. ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 1∶2. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 A B C D E F 如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_____. 练一练 例 3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求 四边形 BCDE 的面积. 　 ∴△ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵∠BAC =∠DAE，且 ， 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). B C A D E 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 练一练 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE∽△ABC． ∴ 即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF∥AB， A B C D F E ∴ △EFC∽△ABC ，相似比为 ∴ 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 1. 判断对错： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍． ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． ( ) √ × 当堂练习 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____. 1 : 2 1 : 4 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF， ∠A =∠D，AP，DQ 是中线，若 AP = 2，则 DQ 的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D. C 4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长____cm，面积为 cm2. ____ 14 5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ AE : EC = 2 : 3． 则 AE : AC = 2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25．∴ S△ABC = 25． ∴ △ADE∽△EFC． 又∵ S△ADE : S△EFC = 4 : 9， ∴ △ADE∽△ABC， ∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF． 6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，S△ADE＝2S△DCE，求 S△ADE∶S△ABC． A B C D E 【分析】由题意可得△ADE∽△ABC，要求它们的面积比，可先求出其相似比．观察得到△ADE 与△DCE 同高，易得 AE 与 CE 的比，进而求解． 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F，则 F ∴ ， 即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9. ∴ 又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E F 相似三角形的性质 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形性质的运用 相似三角形的周长的比等于相似比 课堂小结 $