31.2.3 相似三角形的性质-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

课课练同步训练数学九年级下册J 31.2.3相似三角形的性质 第三十一 033 念学习目标 1.了解相似三角形的性质， 2.会灵活运用相似三角形的性质解决相关问题 夯实五分钟 难度：☆ 1.如图，已知△ABC△DEF.若∠A=30°，∠B= A',B',C'对应，AD,A'D'分别是△ABC和 70°，则∠F的度数是 △1BG的布平分线，物A8=9则 D 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上， A.30° B.70° DC与BE相交于点O.若DE∥BC,AD:DB= C.80° D.100° 1:2,则△DOE与△B0C的面积的比为 2.已知两个相似三角形的最短边长分别为5cm 和3cm,它们的周长之差为12cm,则大三角 形的周长为 ( A.14 cm B.16 cm C.18 cm D.30 cm 3.已知△ABC△A'B'C',顶点A,B,C分别与 素养稳提升 难度：☆☆ 5.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延 长线上，PD与⊙O相切于点D,过点B作PD 的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径 为4，BC=6,则PA的长为 A.1:√2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 7.已知△ABC一△AB,C且R=若ABC 的面积为8，则△A,B,C,的面积是() A.4 B.2√3 B.6 C.3 D.2.5 A.g 6.如图，在△ABC中，D是边AB上的点，∠B= C.9 D.18 ∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的8.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且 周长的比是 8● 第三十一章相似窗 △ABG△ABED.若Ag-=3,SAum=1,则SAANC 12.有一块锐角三角形卡纸余料ABC,它的边BC= AE 120cm,高AD=80cm.为使卡纸余料得到充 第 的值为 分利用，现把它裁剪成一个邻边长之比为 三 2:5的矩形纸片EFGH和正方形纸片 十 PMNQ.裁剪时，矩形纸片EFGH的较长边在 BC上，正方形纸片PMNQ的一边在矩形纸片 章 EFGH的较长边EH上，顶点P,Q分别在AB, A.9 B.6 AC上，具体裁剪方式如图所示. C.3 D.1 (1)求矩形纸片EFGH的较长边EH的长； 9.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC (2)裁剪正方形纸片时，恒恒同学是按以下 上，DE/BC,且0子若△4E的面积为4. 方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过 则四边形DBCE的面积为 该中位线两端点向边EH所作的垂线剪 两刀，请你通过计算，判断恒恒的剪法是 否正确。 A.3 B.9 C.25 D.21 10.如图，在口ABCD中，E是AD上一点，ED AE G 2,BE的延长线与CD的延长线相交于点F 若AB=6,则CF的长为 11.如图，已知AB∥CD,AC,BD相交于点O,过点 D作DE∥BC交AB于点E,交AC于点F.若 E为AB的中点，则A5 FO F 0 9 课课练同步训练数学九年级下册J 13.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与 (2)若AB=9,AC=5,BD=6,求EF的长， 第 △ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点 F,连接BD. 章 (1)求证：BD=DE; 中考一点通 难度：☆☆☆ 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= ③当△ABM是以AB为底的等腰三角形， 60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以 且△ABM为锐角三角形时，试求出m的 1cm/s的速度从点A出发，沿着A→B→A的 取值范围. 方向运动，设点E的运动时间为ts(0≤t< 6),连接DE.当△BDE与△ABC相似时，t的 值为 10 10A 备用图 A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 D.2,3.5或4.5 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4 的图象与坐标轴分别交于点A(a,0),B(0,b) (1)点A的坐标为 ,点B的坐标 为 (2)若M为直线y=mx(m>0)在第一象限上 一点，连接MA,MB ①当m=1时，△ABM是以AB为底的等 腰直角三角形，求点M的坐标 ②当m≠1时，是否仍然存在△ABM是以 AB为底的等腰直角三角形的情况？如果 存在，求此时点M的坐标；如果不存在， 说明理由。 1015.（1)证明：如图1，连接CB. 图1 .AB是⊙O的直径，CD⊥AB, ∴.∠ACB=∠ADC=90° 又∠CAD=∠BAC, .△CAD∽△BAC, ∴.∠ACD=∠ABC .AC=AC. .∠ABC=∠AFC, ∴.∠ACD=∠AFC. 又∠CAG=∠FAC, .△ACG∽△AFC, AC AG AFAC” .AC2=AG·AF (2)若E是线段AD(点A除外)上任 意一点，上述结论仍然成立.证明 如下： ①当点E与点D重合时，点F与点G 重合，AG=AC,画出图形如图2所示. F(G) 图2 ∵CD⊥AB, ..AC=AF,AC=AF, 参考答案及解析 .AC2=AG·AF; ②当点E与点D不重合（不含点A)》 时，画出图形如图3所示 图3 证明类似(1). 综上，若E是线段AD(点A除外)上 任意一点，上述结论仍成立. 31.2.3相似三角形的性质 夯实五分钟 1.C2.D3.64.1:9 素养稳提升 5.A6.B7.D8.A9.D 10.1011.3 12.解：(1)如图，记AD与PQ,EH的交 点分别为点K,R D G C 设EF=2xcm,则EH=5xcm. 由矩形的性质，得EH∥BC, 易证△AEH∽△ABC, EH AR BC AD 即5x-80-2x 12080, 5 课课练同步训练数学九年级下册 解得x=15, .∴.EH=5x=5×15=75(cm), ∴.矩形纸片EFGH的较长边EH的 长为75cm. (2)恒恒的剪法不正确.理由如下： 设正方形纸片PMWQ的边长为 a cm. 由(1)知AR=AD-RD=80-2×15= 50(cm), ..AK=(50-a)cm. 由题意，得△APQ∽△AEH, P0-AK即4-50 ·EHAR 7550 解得a=30 在△AEH中，与边EH平行的中位线 的长为2×75=37.5(cm). .37.5≠30，….恒恒的剪法不正确. 13.(1)证明：如图，连接BE. :点E是△ABC的内心， ∴.∠ABE=∠EBC,∠BAD=∠CAD, CD=CD. ..∠DBC=∠CAD. .∴.∠DBC=∠BAD. ·.·∠DBE=∠DBC+∠EBC, ∠DEB=∠BAD+∠ABE, 6 RJ ∴.∠DBE=∠DEB, ∴.BD=DE (2)解：·∠DBC=∠BAD,∠ADB= ∠BDF, .△ABD∽△BFD, AD BD BD FD' .AD·FD=BD2=36. ·.∠CAD=∠BAD,∠ACF=∠ADB, .△ACF△ADB, AC AF ·ADAB' 即5E AD9’ ∴.AD·AF=45, .AD2=AD·(AF+FD)=AD·AF+ AD·FD=81, .AD=9(负值舍去)， .∴.AF=5,FD=4. 又DE=BD=6, .EF=DE-FD=2. 中考一点通 14.D【解析】在Rt△ABC中，.∠ACB= 90°，∠ABC=60°，BC=2cm, ∴.AB=2BC=4cm. .BC=2cm,D为BC的中点，动，点E 以1cm/s的速度从，点A出发， .'BD=BC=1 cm, BE=AB-AE=(4-t)cm. 当△BDE与△ABC相似时，△BDE 为直角三角形 ①若∠BED=90°， 当点E沿着A→B的方向运动时， :∠ABC=60°， .∠BDE=30°， .BE=2BD=0.5 cm, .t=3.5. 当点E沿着B→A的方向运动时，t= 4+0.5=4.5. ②若∠BDE=90°， 当点E沿着A→B的方向运动时， .·∠ABC=60°， .∠BED=30°， .'BE=2BD=2 cm, ∴.t=4-2=2, 当点E沿着B→A的方向运动时，t= 4+2=6(舍去). 综上，t的值为2,3.5或4.5. 15.(1)(2,0);(0,4). 提示：一次函数y=-2x+4的图象与 坐标轴分别交于点A(a,0),B(0, b), 当y=0时，-2x+4=0,解得x=2, ∴.点A的坐标为(2,0) 当x=0时，y=4, ∴.点B的坐标为(0,4) （2)解：①由(1)知，点A(2,0),B(0, 4), .∴.0B=20A=4, .AB=√0A2+0B2=√J22+42=2W5」 又△ABM是以AB为底的等腰直角 三角形， 参考答案及解析 .BM=AM=√J10. 如图1，过点M分别向x轴、y轴作垂 线段MC,MD,垂足分别为C,D. 70A\C 图1 M为直线y=x在第一象限上的 一点， 即∠B0M=∠C0M=45°， .∴.MD=MC,∠DMC=90°. .∵∠BMA=90°， .∴.∠BMD+∠DMA=90°， ∠DMA+∠AMC=90°， .∴.∠BMD=∠AMC. .∠BDM=∠ACM=90°， .∴.△BMD≌△AMC(ASA), .∴.BD=AC 不妨设点M的坐标为(n,n), 则有OD=OC=MD=MC=n. .BD=AC=OB-OD=OC-0A. ∴.4-n=n-2, 解得n=3, ∴.点M的坐标为(3,3). ②不存在.理由如下： 设点M的横坐标为x,则点M的纵 MC mx 坐标为mx,OCx =m. MC m*1,心0C1. 7 课课练同步训练数学九年级下册 .·∠BMA=90°，∠DMC=90°， .∠BMD+∠DMA=90°， ∠DMA+∠AMC=90°， .∠BMD=∠AMC. .:∠BDM=∠ACM=90°， .∴.△BMD∽△AMC, BM MD OC 六AM MC-MC≠L, .∴.BM≠AM, .不存在△ABM是以AB为底的等 腰直角三角形的情况， ③如图2，取AB的中点E,过点E作 AB的垂线，交x轴于点F,与直线y= mx(m>0)交于点M,连接BM,AM 则△ABM为等腰三角形， 图2 易知点E的坐标为(1,2). ·AB=25,.AE=5」 .·∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE= ∠BAO, ∴.△FAE∽△BAO, AF AE 即AFv5 AB AO' 252 ..AF=5, ∴.F0=AF-0A=5-2=3, 8 RJ .点F的坐标为(-3,0)， 设直线EF的解析式为y=x+e,则 (-3k+e=0, k+e=2, 〔.1 k= 2, 解得 e=- -2’ 13 :.直线EF的解析式为y=2x+2 .当y=mx(m>0)与EF平行时，两 直线没有交点， 1 .m72’ 由①可知，当m=1时，△ABM是以 AB为底的等腰直角三角形， .当△ABM是以AB为底的等腰三 角形，且△ABM为锐角三角形时，m 的取值范围为2<m<1. 31.3 相似三角形的应用 夯实五分钟 15 1.B2.A 3. 4.9 素养稳提升 5.A6.A7.C8.B9.D 10.4W311.9m12.12 13.解：设其他两条边的实际长度分别为 x m,y m. 由题意，得=、y25 0.040.040.05 解得x=y=20.