31.2.1 课时1 平行线分线段成比例 课件 2026--2027学年人教版九年级数学下册

31.2.1 课时1 平行线分线段成比例1 BY YUSHEN 22051 1.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2.利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算，发展推理能力. 学习目标 BY YUSHEN 22051 你能根据上节课学习的相似多边形的概念，类比归纳出相似三角形的概念吗? 在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 根据相似多边形的定义，在△ABC和△A’B’C’中，如果它们的三个角分别相等，三条边成比例，即 那么，△ABC∽△A’B’C’，相似比为. 全等三角形可以看作相似比为1的相似三角形.今天我们开始学习三角形相似的判定和相似三角形的性质. 情境导入 BY YUSHEN 22051 探究1 如图，利用信息技术工具，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2 都相交的平行线l3，l4，l5，三条平行线在l1上截得的线段分别为AB，BC，AC，在l2上截得的线段分别为 DE，EF，DF. 度量上述线段的长度，哪些线段成比例? 新知探究 BY YUSHEN 22051 符号语言 ∵l3∥l4∥l5， ∴ = ， = ， = . 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 新知 BY YUSHEN 22051 探究2 进一步地，平移图中的直线l2, 使点D与点A重合，或者点E与点B重合，得到如图所示的两种情况. 把l4看成平行于△ACF 的边CF的直线 把l3看成平行于△BCF 的边CF的直线 新知探究 BY YUSHEN 22051 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. “A”型 “X”型 A D B （F） E C A D B m E C n ∵DE∥BC，∴ ∵DE∥BC，∴ 新知 BY YUSHEN 22051 溯源 平行线分线段成比例的基本事实是研究三角形相似判定的重要基础.早在公元前300年左右，古希腊的数学名著《原本》中就有上述基本事实的推论，出现在卷VI的命题2中. 新知 BY YUSHEN 22051 例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F 解：(1) ∵ EF∥BC， ∴=，即=， = 典型例题 BY YUSHEN 22051 例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F 解：(2) ∵ EF∥BC， ∴=，即= =，= 典型例题 BY YUSHEN 22051 例2 如图是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁 OA，OB 关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过 并固定的索塔装置) C到桥梁的距离OC为 15 m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔8 m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? 解：因为所有拉索互相平行， 所以,即,解得OC₁=3. 由及OA₁=A₁A₂,可得C₁C₂=OC₁=3. 同理，C₂C₃=C₃C₄=C₄C=3. 因此，只要在OC之间每隔3m安排一个索鞍即可. 典型例题 BY YUSHEN 22051 如图，AD//BE//CF,直线l1、 l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F,AB=4,BC=3，DF=9. 求EF的长. l1 l2 A D B E C F 解：∵AB=4, BC=3, ∴AC=7. ∵ AD//BE//CF, ∵ = , ∴ = , ∴EF= . 巩固练习 BY YUSHEN 22051 基本模型 平行线分线段成比例 基本事实 推论 平行于三角形一边的直线被直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. “A”型、“X”型 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与 相等的是 (　　) D A． B． C． D． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝____． 7.5 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶DB=3∶1，则AE∶AC=（　　） A.3∶1 B.3∶4 C.3∶5 D.2∶3 B 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F. 求证：＝. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC， ∴＝(平行线分线段成比例). ∵AB∥CE. ∴＝(平行线分线段成比例). ∴＝. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $