31.2.1平行线分线段成比例（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，通过“合作探究”让学生动手绘制三角形并测量角度，衔接平行线分线段成比例的比例思想，搭建从实践到理论的学习支架。 其亮点在于分层练习题设计、易错点专项点拨及严谨证明过程，结合几何直观与推理能力，如合作探究培养空间观念，证明过程发展逻辑推理。学生能夯实基础并提升应用能力，教师可高效开展分层教学与重难点突破。

人教版数学九年级下册 三边成比例的两个三角形相似 专项练习 ## 核心知识点梳理 三边成比例判定三角形相似，是三角形相似判定的重要方法，延续了平行线分线段成比例的比例思想，是几何相似证明的核心考点之一。其判定定理为：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似，简记为“三边对应成比例，两三角形相似”。 该判定方法无需验证角度关系，仅通过边长比例即可判定相似，适用于已知边长、网格图形、线段长度计算类题型。判定的核心关键是找准对应边，优先将两个三角形的边长按照从小到大的顺序排列，再依次计算对应边的比值，若三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。 补充核心性质：若两个三角形三边成比例，其相似比为对应边长的比值，且对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。此定理常用于无角度条件、仅有边长条件的几何证明与计算，弥补了两角相等、两边成比例且夹角相等判定方法的局限性。 ## 易错点专项点拨 1. 误区：任意三组边成比例即可判定相似。纠错：必须是对应边成比例，随意配对边长计算比例无意义，务必先排序再配对，避免边对应错位。 2. 误区：两组边成比例即可用该定理判定相似。纠错：三边成比例定理必须满足三组对应边比值全部相等，仅两组边比例相等无法判定三角形相似。 3. 误区：边长数值不同的三角形一定不相似。纠错：三角形是否相似取决于边长比值是否相等，与边长大小无关，大小不同、三边比例一致的三角形依然相似。 ## 分层专项练习题（含解析） ### 一、基础选择题（每题5分，共30分） 1. 下列各组三角形的边长，一定相似的是（ ） A. 3、4、5 和 4、5、6 B. 2、3、4 和 4、6、8 C. 2、2、3 和 3、3、4 D. 1、2、3 和 2、3、4 解析：选B。将两组边长排序，第二组边长为第一组的2倍，三组对应边比值均为1:2，满足三边成比例，两三角形相似；其余选项三组边长比值无法全部相等。 2. 已知△ABC三边长为2、4、6，△DEF三边长为1、2、3，则两三角形的相似比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:3 D. 3:1 解析：选B。对应边比值依次为2:1、4:2、6:3，比值均为2:1，即相似比为2:1。 3. 关于三边成比例判定相似，下列说法正确的是（ ） A. 两组对应边成比例即可判定相似 B. 三边成比例的两个三角形一定相似 C. 边长不同的三角形一定不相似 D. 三边比例不同也可判定相似 解析：选B。根据判定定理，三边对应成比例的两个三角形一定相似，其余选项均违背定理核心规则。 ### 二、基础填空题（每题6分，共30分） 4. 三边成比例判定三角形相似的定理内容是：________。 答案：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 5. 若两个三角形三边对应比值均为3:5，则两三角形的相似比为________。 答案：3:5。 6. △ABC边长为4、6、8，与其相似的△A'B'C'最短边长为2，则最长边长为________。 解析：相似比为4:2=2:1，原三角形最长边为8，对应新三角形最长边为4。答案：4。 ### 三、解答题（每题20分，共40分） 7. 已知△ABC的三边长为5、7、9，△DEF的三边长为10、14、18，求证：△ABC∽△DEF。 解答：将两个三角形边长从小到大依次排序，△ABC：5、7、9，△DEF：10、14、18。计算对应边比值：5/10=1/2，7/14=1/2，9/18=1/2。三组对应边比值相等，根据三边成比例的相似判定定理，可证△ABC∽△DEF。 8. 已知△ABC三边长为3、4、5，△MNP三边长为6、8、10，求两三角形的相似比与周长比。 解答：排序后计算对应边比值：3/6=1/2，4/8=1/2，5/10=1/2，因此两三角形相似，相似比为1:2。相似三角形周长比等于相似比，故周长比为1:2。 ## 专项总结 三边成比例判定三角形相似，核心解题步骤为“排序、求比、判定”，先统一两个三角形的边长大小顺序，再逐一计算三组对应边的比值，比值全部相等即可判定相似。做题时需规避边对应错位、遗漏一组比例的误区，熟练掌握相似比与周长、面积的关联性质。该判定方法适用性极强，在网格几何、边长计算、几何证明题型中高频出现，是相似三角形模块必须扎实掌握的重点内容，也为后续几何综合题的解答奠定基础。 人教版（新教材）数学九年级下册 31.2.1平行线分线段成比例（第2课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/16 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十一章 相似 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ A′ B′ C′ C B A 探究新知 通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证明该结论. A′ B′ C′ C B A 探究新知 ∴ C B A 证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ DE = BC，A′E = AC. ∴△ABC∽△A′B′C′. B′ C′ A′ E 又 ，A′D = AB， ∴ ， . ∴ △A′DE≌△ABC. D 探究新知 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 归纳： ∴ △ABC∽△A′B′C′. 符号语言： ∵ ， 探究新知 返回 1．下列四个三角形，与如图的三角形相似的是(　　) B 举一反三 6 返回 2．[2025西安陕师大附中期中]在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，下列沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　) B 举一反三 7 3．在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 B 举一反三 8 例 1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm； A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm. 典例精析 解：相似. 理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′. 探究新知 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10， DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8. (1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6， DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9； 是 否 练一练 探究新知 例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA； 在 △DEF 中，DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . 探究新知 方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 探究新知 例 3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△A′B′C′∽△ABC. 【分析】要运用三边成比例判断相似，而题目只给出 2 组边成比例和 90° 的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边的比，进而求解. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2. 探究新知 ∴ △ A′B′C′∽△ABC. ∴ BC = 2B′C′， 探究新知 ∴∠BAC =∠DAE． ∴△ABC∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 例 4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数. A B C D E 解：∵ ， ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC， 即∠BAD =∠CAE． ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°． 探究新知 随堂演练 基础巩固 1.（1）判断图中两三角形是否相似； 解：相似. 设小方格边长为1， 则AB=2, BC=2 ，AC=2 , EF=2，ED= , DF= . ∵ ∴△DEF∽△ABC. 当堂检测 （2）求图中x和y的值. 解：∵ ∠ACB=∠ECD， ∴△ACB∽△ECD. ∴∠B=∠D=98°， ∴x=40.5，y=98. 当堂检测 2.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=5，DE=4，AE= , DB=7，BC= , EC= , 那么△ADE∽△ABC吗？为什么？ 解： △ADE∽△ABC ∵ ∴ △ADE∽△ABC. 当堂检测 综合应用 3.如图，已知△ABD∽△ACE. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵ △ABD∽△ACE， ∴∠BAD=∠CAE, . ∴∠BAD+∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC. 即∠BAC=∠DAE. 又∵ ， ∴△ABC∽△ADE. 当堂检测 返回 4．如图，在△ABC中，AB>AC，D，E分别为边AB，AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是________________________． DF∥AC(答案不唯一) 举一反三 20 (－1，0) 或(1，0) 或(－4，0) 举一反三 21 返回 举一反三 举一反三 23 (1)求证：△ABD∽△ACE； 举一反三 24 返回 (2)若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数． 举一反三 25 7．一个三角形木架的三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(　　) A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 B 举一反三 26 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为(　　) B 举一反三 27 三边成比例的 两个三角形相似 利用三边成比例判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 课堂小结 谢谢观看 THANKS 5．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使以B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为___________________________． 【点拨】∵直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(4，0) ，B(0，2) ．∴OA＝4，OB＝2．当△AOB∽△BOC时，＝，即＝，解得OC＝1，∴C(－1，0) 或(1，0) ．当△AOB∽△COB时，易得OC＝4．∵点C不与点A重合，∴C(－4，0) ．综上所述，点C的坐标为(－1，0) 或(1，0) 或(－4，0) ． 6．如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B，D，E在同一条直线上，BE与AC相交于点F，连接EC． 【证明】∵＝＝，∴△ABC∽△ADE． ∴∠BAC＝∠DAE． ∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠CAE． 又∵＝，∴△ABD∽△ACE． 【解】∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠ADE． ∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°． A． 　　　B． C． 　　　D． $