31.2-2 相似三角形的判定（二） 课件-2026-2027学年人教版九年级数学下册

31 初中数学 · 教材解析 人教版数学 · 九年级下册 · 2026—2027 学年 31.2-2 相似三角形的判定（二） 第三十一章 相似 教材原文逐段解析　·　思路点拨 共 22 页 · 19 个学习环节 本课导航 初中数学 · 教材解析 02 / 22 01 从全等到相似 P03 02 探究 P04 03 定理的证明 P05 04 判定定理（两角） P06 05 例 3（黄金三角形） P07 06 例 3（1） P08 07 例 3（2） P09 08 黄金三角形与黄金分割 P10 09 问题引导：两个角够不够 P11 10 探究：两角相等，形状就被“定”住了（1） P12 11 探究：两角相等，形状就被“定”住了（2） P13 12 变式训练：找等角（1） P14 13 变式训练：找等角（2） P15 14 当堂检测：独立完成（1） P16 15 当堂检测：独立完成（2） P17 16 黄金三角形与黄金分割（1） P18 17 黄金三角形与黄金分割（2） P19 18 分层作业 P20 19 课堂小结 P21 共 22 页 · 建议按序号推进，每页先自己想一想，再点开点拨 一、从全等到相似 初中数学 · 教材解析 03 / 22 在学习三角形全等的判定时，我们通过减少条件，重点研究了它们的三个元素（两边一角、两角一边、三边和三角）分别相等的情况，得到了 SAS、ASA、AAS、SSS 等判定方法. 全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，有没有与三角形全等类似的判定方法呢？ 类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论. 方法点拨　“类比”是本节的关键词：全等看“元素相等”，相似看“元素成比例或角相等”，研究套路完全平行. 二、探究 初中数学 · 教材解析 04 / 22 探究　直观上，如果保持一个三角形三个角的大小不变，改变这个三角形的大小，那么这个三角形的形状不变，得到的三角形与原三角形相似. 由此你能得到三角形相似的判定方法吗？证明你的结论. 在两个三角形中，如果它们的两个角分别相等，那么它们的三个角分别相等. 结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似. 下面我们证明这一结论. 方法点拨　三个角确定形状、大小决定相似比——所以“判定相似”可以从“角”入手，把三个角的要求减为两个角. 三、定理的证明 初中数学 · 教材解析 05 / 22 如图 31.2-9，在和中，⁠，⁠. 下面证明 ∽ ⁠. 图31.2-9 因为⁠，可以移动⁠，使顶点与重合，顶点⁠，分别落在边⁠，上的点⁠，处，则∥（为什么？）. 于是 ∽ ⁠，而 ≌ ⁠，从而 ∽ ⁠. 方法点拨　证明策略：把其中一个三角形“搬”过去，用已证的“平行→相似”定理过渡，再用全等收尾. 四、判定定理（两角） 初中数学 · 教材解析 06 / 22 这样，我们得到如下利用两角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似 方法点拨　证明两三角形相似时，优先找“两对相等角”：公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角、直角. 注意　写相似式时，对应顶点必须写在对应位置. 五、例 3（黄金三角形） 初中数学 · 教材解析 07 / 22 例 3　如图 31.2-10，是等腰三角形，⁠，⁠，⁠，平分⁠，且交于点⁠. （1）求证： ∽ ⁠. （2）求的长. 图31.2-10 分析　先算⁠，由角平分线得⁠，于是⁠、⁠，两角分别相等即得相似. 方法点拨　求线段长时，“相似比”是桥梁：把转化为关于的方程. 六、例 3（1） 初中数学 · 教材解析 08 / 22 解（1）∵ 是等腰三角形，⁠，⁠， ∴ ⁠. 又平分⁠，∴ ⁠. ∴ ⁠，⁠. ∴ ∽ ⁠. 七、例 3（2） 初中数学 · 教材解析 09 / 22 （2）在中，∵ ⁠，∴ ⁠. 又⁠，∴ ⁠. ∵ ∽ ⁠，∴ ⁠，即⁠. 设⁠，可得⁠，即 ⁠， 解得⁠，（舍去）. 八、黄金三角形与黄金分割 初中数学 · 教材解析 10 / 22 ∴ ⁠. 顶角为 36° 的等腰三角形常称为黄金三角形，它的底边与腰的比为⁠，称为黄金分割数. 点把分为⁠，两段，与的比值为⁠，点称为黄金分割点. 方法点拨　黄金分割数在建筑、绘画、摄影中随处可见；本课它由“相似 + 方程”算出来. 九、问题引导：两个角够不够 初中数学 · 教材解析 11 / 22 三角形有三条边、三个角. 判定两个三角形相似，一定要把所有边和角都比一遍吗？ 我们已经知道“三边成比例”能判定相似. 如果只知道“两个角分别相等”，能不能判定相似？为什么？ 三角形的内角和是⁠，那么“两个角分别相等”与“三个角分别相等”是一回事吗？ 思路点拨　先算第三个角：两角相等，第三角必然也相等，所以“两角”其实等于“三角”. 十、探究：两角相等，形状就被“定”住了（1） 初中数学 · 教材解析 12 / 22 探究　作与⁠，使⁠，⁠. 两个三角形的大小可以不同. 两角分别相等的两个三角形 量出三组对应边的长，算一算比值，你发现了什么？改变其中一个三角形的大小，比值会变吗？ 十一、探究：两角相等，形状就被“定”住了（2） 初中数学 · 教材解析 13 / 22 思路点拨　角定了，形状就定了；大小可以不同，所以对应边成比例. 这就是“两角分别相等的两个三角形相似”. 十二、变式训练：找等角（1） 初中数学 · 教材解析 14 / 22 1. 在与中，⁠，⁠，⁠，⁠，⁠. 求⁠. 思路点拨　两角相等即相似，对应边是与⁠、与⁠，相似比取⁠. 2. 在中，在上，⁠，⁠，⁠. 求的长. 思路点拨　先证 ∽ （公共角加一个等角），再由得⁠. 十三、变式训练：找等角（2） 初中数学 · 教材解析 15 / 22 3. 如图，⁠，⁠. 求证： ∽ ⁠. 思路点拨　由两边同加⁠，得⁠，再配⁠. 4. 在 Rt中，⁠，于⁠. 图中有几对相似三角形？请写出来. 思路点拨　三个三角形两两相似：⁠、⁠、⁠，找公共角和直角即可. 十四、当堂检测：独立完成（1） 初中数学 · 教材解析 16 / 22 1. 判断：有一个角相等的两个等腰三角形相似.（　） 思路点拨　等腰三角形的角有顶角和底角之分，相等的那个角是顶角还是底角，结论不一样. 2. 在中，∥交⁠、于⁠、⁠，⁠，⁠，⁠. 求⁠. 思路点拨　平行得 ∽ ⁠，相似比是⁠. 3. 如图，∥⁠，与交于点⁠，⁠，⁠，⁠. 求⁠. 十五、当堂检测：独立完成（2） 初中数学 · 教材解析 17 / 22 思路点拨　“ 字型”相似： ∽ ⁠，对应边是与⁠. 4. 在中，⁠，于⁠，⁠，⁠. 求⁠、⁠、⁠. 思路点拨　用第 4 题的相似关系：⁠，⁠，⁠. 5. 顶角为的等腰三角形，底角是多少度？它为什么叫“黄金三角形”？ 思路点拨　算一算底角与顶角的比，再与对照. 十六、黄金三角形与黄金分割（1） 初中数学 · 教材解析 18 / 22 黄金三角形　顶角⁠、两个底角的等腰三角形. 它的底与腰之比等于⁠，约 ⁠. 黄金分割　点把线段分成两段，若⁠，则称点是的黄金分割点，比值⁠. 在顶角的等腰中，作的平分线交于⁠. 找出图中的相似三角形，并说明是的黄金分割点. 十七、黄金三角形与黄金分割（2） 初中数学 · 教材解析 19 / 22 思路点拨　与都是顶角的等腰三角形，两角分别相等即相似；再由对应边成比例得⁠. 十八、分层作业 初中数学 · 教材解析 20 / 22 基础题　课本习题 31.2 第 1、2 题. 每题写清“哪两个角相等、由哪条判定得相似”. 提高题　在中，⁠，是上一点，且（在上）. 求证： ∽ ⁠. 拓展题　用一张矩形纸片折出黄金矩形（长宽比为的倒数），写出折法并说明理由. 思路点拨　提高题提示：用“平角减去两个相等的角”，把与联系起来. 十九、课堂小结 初中数学 · 教材解析 21 / 22 1. 判定定理：两角分别相等的两个三角形相似. 2. 证明思路：移动三角形 → 平行得相似 → 全等过渡 → 相似成立. 3. 找角经验：公共角、对顶角、平行线的同位角/内错角、直角都是常用“相等角”. 4. 应用：先证相似，再由对应边成比例求线段长（常与方程结合）. 数学史话　黄金分割早在古希腊就被研究：欧几里得《原本》卷Ⅵ给出了“中末比”的作法；文艺复兴时期，达·芬奇把它用于绘画构图，帕乔利称之为“神圣比例”. 有趣的是，本课这条“只靠两角”的判定定理，正是算出的关键一步. 课时自评：会了没有 初中数学 · 教材解析 22 / 22 合上课本，先自己判断 30 秒，再把“还不确定”的那一条写进错题本. 01 已经会了 能不看课本，把关键的“为什么”讲给同桌听. □ 说清定义与条件的来由 □ 独立完成 2 道同类题 □ 能指出易错点在哪 02 还差一步 思路对，但算到一半卡住或单位、符号出错. □ 公式会写但代入易错 □ 作图缺标注 □ 步骤跳跃说不完整 03 需要再讲 这一步没听懂，必须请老师再讲一遍. □ 定义中有不理解的字 □ 证明找不到入口 □ 不会把文字变图形 本课一句话记牢： 系列：初中数学 · 教材解析　|　共 22 页 · 19 个学习环节 $