精品解析：重庆市永川区文理附中教共体 2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

文理附中教共体2026年秋期期中联合质量检测 初2027届 数学试题 （全卷共三个大题，满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图所示，，，垂足为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 反比例函数经过点，则该函数还经过（ ） A. B. C. D. 6. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 找规律： ①方程的解为，； ②方程的解为，； ③方程的解为，； 根据以上方程和解的特征，请猜想：若方程的解为，，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为边上一点，，，连接．在上取一点，连接，若，延长交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为正整数，，，…，为整数，，且满足．下列说法正确的个数有（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的所有整式的和为； ③若，则化简后得到不同的整式一共有个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在年第一季度，重庆市全市蔬菜（不含食用菌）的产量约为吨，用科学记数法表示为________． 12. 抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标为_______． 13. 若一个等腰三角形的两条腰的长恰好为一元二次方程的两个根，则__________． 14. 已知实数，b满足，，且，则的值为________ 15. 如图，，，过点作，连接，．将沿翻折至，连接，交于点．则的度数为________．若，则的长度为________． 16. 一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为，若该四位数满足，则称这样的数为“积和数”．则最大的“积和数”为________；一个“积和数”，将的千位和个位互换，百位和十位互换，得到新数，若是整数，则所有满足条件的“积和数”的和为________． 三．解答题：（本大题9个小题，第17、18小题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程、不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18. 如图，． （1）请用尺规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点D，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是菱形． 证明：∵, ∴, ∵平分 ∴ ① , ∴, ∴ ② , 又∵, ∴, 又∵ ③ , ∴四边形是平行四边形 又∵ ④ , ∴四边形是菱形． 19. 某校开展了“青少年知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩的数据是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________________，________ （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某公司甲、乙两家分店售卖同款纪念品，甲店每件获利比乙店每件获利的倍少元，当甲店总获利元、乙店总获利元时，两家卖出的纪念品数量相同． （1）求甲、乙两店销售一件该纪念品分别获利多少元？ （2）因市场调价，甲店每件利润增长，乙店每件利润比原来多元，两店都卖出件商品，两店总利润合计元，求的值． 22. 如图，中，，，．动点，以每秒个单位的速度分别从，两点同时出发，相向而行，连接，；在运动过程中，作于点，设运动时间为秒，的面积为，的面积为，当点到达点时，，同时停止运动（不考虑，分别与端点重合的情况）． （1）直接写出，与之间的函数关系式并注明的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出，的函数图象，并写出的一条性质； （3）直接写出当时的取值范围（精确到，误差不超过）． 23. 月日下午时，“新韵重庆渝超同行”重庆城市足球超级联赛组小组赛永川首战，永川茶山竹海队客场对阵重庆高新典名科技队在重庆师范大学（大学城校区）足球场开赛．如图所示，比赛某一时刻，是开球点，、分别是永川茶山竹海队与高新典名科技队的队员，其中位于的正北方向，位于的南偏东方向；此时球正好传到处，分别位于的正东方向米和的东北方向米处；（参考数据：、、） （1）求球员与开球点之间的距离；（结果保留根号） （2）现，两名队员同时出发匀速直线跑向，已知的速度是的速度的倍，当，两人相距米时，求运动的距离．（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一个动点，作交轴于点；点为线段上一动点，连接，，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一点，连接交轴于点，连接，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 25. 等边中，， （1）如图，求的面积； （2）为上一点，为上一点，始终满足； ①如图，连接，为上一点，连接，若，求证：为中点； ②如图，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当取得最小值时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文理附中教共体2026年秋期期中联合质量检测 初2027届 数学试题 （全卷共三个大题，满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】，，中的图案沿某条直线折叠后两旁部分能够完全重合，是轴对称图形；中的图案找不到这样的直线，不是轴对称图形． 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式确定各项系数，注意系数包含符号． 【详解】解：已化为一元二次方程的一般形式， 二次项系数为，一次项系数为． 3. 如图所示，，，垂足为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用放缩法估算出的范围，再求出的范围． 【详解】解：∵，且， ∴， 即 ∴， 即， ∴估计的值在2和3之间． 5. 反比例函数经过点，则该函数还经过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的性质，先求值再验证各选项即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为, ∵函数图象经过点， ∴ 即该函数图象上任意点的横纵坐标乘积为， 选项的横纵坐标乘积均为，不符合， 选项横纵坐标乘积为，符合， ∴该函数还经过点． 6. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，解决本题的关键是由等量关系建立等式． 根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：∵初始训练数据量为360万亿，每次平均增长率为x， ∴第一次扩容后的数据量为万亿， ∴第二次扩容后的数据量为万亿， 又∵最终数据量达到640万亿， ∴可列方程． 故选：D． 7. 找规律： ①方程的解为，； ②方程的解为，； ③方程的解为，； 根据以上方程和解的特征，请猜想：若方程的解为，，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由方程和解的规律得出一次项系数为两根和的相反数，常数项为两根之积，即可解答． 【详解】解：观察已知方程与解的对应关系： ①方程的解为，，满足，； ②方程的解为，，满足，； 同理，方程的解也满足该规律， 对于方程，为两根之和，为两根之积． 方程的解为，， ，． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，，，，，则，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，，，，， ∴， ∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 9. 如图，正方形中，为边上一点，，，连接．在上取一点，连接，若，延长交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作于点，利用正方形关于对角线对称的性质得出，结合已知可得，再利用勾股定理分别求出线段、、的长度，最后利用求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形，  ∴点、关于对称， 在上，  ，  ，  ，  ，  为中点，  ，  ， ， ， ，，  ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ∵正方形边长，  ，  ，  ，  ，，  ， ，  ． 10. 已知整式：，其中为正整数，，，…，为整数，，且满足．下列说法正确的个数有（ ） ①若，则； ②若，则满足条件的所有整式的和为； ③若，则化简后得到不同的整式一共有个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】分别对三个说法逐一验证，根据给定的绝对值和条件结合整式A的表达式计算判断． 【详解】解：①当时，条件为，且为整数， ，， ，，即， ，故①正确； ②当时，条件为，且为整数， 分情况讨论： 当时，，即，此时， 当时，，整数解为，或，或，或， 对应的分别为，，，， 所有的整式为，，，，，和为，故②正确； ③当时，条件为，且为整数， 根据②的思路，可构造出不同的多项式如，，，，，，，，，，等，共个，远多于4个，故③错误； 综上，正确的有2个． 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在年第一季度，重庆市全市蔬菜（不含食用菌）的产量约为吨，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】需按照科学记数法的规范，将给定的大数转化为的形式，其中． 【详解】解：将7530000的小数点向左移动6位，得到满足范围要求的，小数点移动的位数即为的值，即， ∴7530000用科学记数法表示为． 12. 抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标为_______． 【答案】（3，1） 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得答案． 【详解】根据二次函数的性质,由顶点式直接得出顶点坐标为（3，1）． 故答案是（3,1）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线 x=h，顶点坐标为（h，k）． 13. 若一个等腰三角形的两条腰的长恰好为一元二次方程的两个根，则__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】等腰三角形两腰长度相等，因此作为腰长的方程两根相等，即一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式为0列方程求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两条腰长相等，且这两个腰长是一元二次方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 14. 已知实数，b满足，，且，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】将两个已知等式作差，利用平方差公式因式分解，结合的条件消去公因式，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴两式相减得， ∴由平方差公式因式分解左边，得， ∵，即， ∴等式两边同时除以，得． 15. 如图，，，过点作，连接，．将沿翻折至，连接，交于点．则的度数为________．若，则的长度为________． 【答案】 ①. ##45度 ②. 【解析】 【分析】设，则，结合折叠的性质得：，，从而得到，再由三角形外角的性质可得的度数；过点C作于点G，过点F作于点H，则，可设，则，，在中，利用勾股定理可得x的值，从而得到，，，再由，可得，，然后根据，即可求解． 【详解】解：设， ∵，即， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，过点C作于点G，过点F作于点H，则， ∴为等腰直角三角形， 可设，则，， 在中，， 即， 解得：或， ∵，则为钝角三角形， ∴， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 16. 一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为，若该四位数满足，则称这样的数为“积和数”．则最大的“积和数”为________；一个“积和数”，将的千位和个位互换，百位和十位互换，得到新数，若是整数，则所有满足条件的“积和数”的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）找最大积和数时优先保证千位数字最大，再依次让高位数字尽可能大，结合的条件筛选； （2）第二问先写出与的代数表达式，结合整除要求推导的约束，再枚举符合条件的数求和． 【详解】解：1. 求最大积和数 ∵四位数的大小由高位数字决定，要使最大，需千位尽可能大， ∴先取，此时根据积和数定义有， ∵为1-9的不同非0数字，且不等于，故最大为， ∴，仅满足（时），此时， 要使数最大，需百位尽可能大， 当时，，与重复，不符合数字互不相等的要求， 当时，，此时数字为，均不为0且互不相等，满足，对应数为， 时无更大的符合条件的数，的四位数均小于，故最大积和数为． 2. 求满足条件的的和 ∵，是千位与个位互换、百位与十位互换得到的新数， ∴， ∴， ∵积和数满足， ∴， ∵是整数，即能被14整除， ∵，， ∴， 即， 要使能被14整除，需能被14整除， ∵是偶数，的奇偶性与一致，需为偶数， ∴必须为偶数，此时，能被14整除， ∴剩余的需能被14整除，即，化简得， ∵6和7互质， ∴是7的倍数， ∵为1-9的数字，7是质数， ∴或为7， ∵， 若，则，，，而的最大和为，不可能，排除， ∴仅满足条件，此时，且为偶数，故为奇数，即， 当时，，即，为1-9的不同非0数字，且不等于、，符合条件的为，对应数为， 当时，，，不可能， 当时，，，不可能， 所有满足条件的数的和为． 三．解答题：（本大题9个小题，第17、18小题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程、不等式组 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，． （1）请用尺规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点D，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是菱形． 证明：∵, ∴, ∵平分 ∴ ① , ∴, ∴ ② , 又∵, ∴, 又∵ ③ , ∴四边形是平行四边形 又∵ ④ , ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图即为所求； ． （2），,,． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定等知识点，正确运用尺规作出图形以及菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作图和题目要求作图即可； （2）先根据平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定定理说明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校开展了“青少年知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩的数据是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________________，________ （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好，理由：虽然七八年级抽样平均数相同，但是八年级中位数大于七年级的中位数 （3）该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀的学生共有人 【解析】 【分析】（1）根据八年级抽取学生组、组占比，以及组人数，算出组人数及占比，得到，根据人数占比，确定第名、名的分数处于组成绩排名的第名、第名，取两数的平均数，求出，已知七年级成绩，分出现次数最多，所以众数； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）根据七、八年级样本中优秀成绩的占比估计总体的占比，计算人数即可． 【小问1详解】 解：八年级组人数为（人），八年级组人数为， 八年级抽取学生组人数为， 组人数为（人），占比为，即， 八年级抽取学生中位数为成绩排名第名、名的平均分，又第名、名为组成绩排名的第名、第名， 中位数， 七年级抽取学生成绩，分出现次数最多， 众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 即该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀的学生共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ， 把代入得：原式． 21. 某公司甲、乙两家分店售卖同款纪念品，甲店每件获利比乙店每件获利的倍少元，当甲店总获利元、乙店总获利元时，两家卖出的纪念品数量相同． （1）求甲、乙两店销售一件该纪念品分别获利多少元？ （2）因市场调价，甲店每件利润增长，乙店每件利润比原来多元，两店都卖出件商品，两店总利润合计元，求的值． 【答案】（1）甲店销售一件该纪念品获利50元，乙店销售一件该纪念品获利30元． （2）的值为20． 【解析】 【分析】（1）设乙店销售一件纪念品获利x元，则甲店销售一件纪念品获利元，根据“当甲店总获利元、乙店总获利元时，两家卖出的纪念品数量相同”列出分式方程，求解并检验即可； （2）根据利润等于单件利润乘以销售量，结合“两店总利润合计元”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设乙店销售一件纪念品获利x元，则甲店销售一件纪念品获利元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴（元）， 答：甲店销售一件纪念品获利50元，乙店销售一件纪念品获利30元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 22. 如图，中，，，．动点，以每秒个单位的速度分别从，两点同时出发，相向而行，连接，；在运动过程中，作于点，设运动时间为秒，的面积为，的面积为，当点到达点时，，同时停止运动（不考虑，分别与端点重合的情况）． （1）直接写出，与之间的函数关系式并注明的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出，的函数图象，并写出的一条性质； （3）直接写出当时的取值范围（精确到，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）描点画出，的函数图象如下： 的一条性质：的函数图象关于直线对称 （3） 【解析】 【分析】（1）作于点，根据已知可知、是等腰直角三角形，，进而可求、、，再根据三角形的面积公式求；分三种情况：当，相遇前，，则；当，相遇时，，，不存在；当，相遇后，，则，再根据三角形的面积公式分别求解； （2）根据二次函数和一次函数的性质结合自变量取值范围，描点画图，根据的函数图象可知的函数图象关于直线对称； （3）当，且时，求出对应的的值，再结合函数图象求解． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵中，，，， ∴，，， ∵动点，以每秒个单位的速度分别从，两点同时出发，相向而行，运动时间为秒， ∴， ∵，（秒），当点到达点时，，同时停止运动（不考虑，分别与端点重合的情况）， ∴， ∵于点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积为， ∴， 的面积为， 分以下三种情况： 当，相遇前，，则， ， 当，相遇时，，，不存在； 当，相遇后，，则， ， 综上所述，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 描点画出的函数图象略； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 描点画出的函数图象略； 的一条性质：的函数图象关于直线对称； 【小问3详解】 解：当，且时，， 解得，（舍）， 结合函数图象可知，当时的取值范围为． 23. 月日下午时，“新韵重庆渝超同行”重庆城市足球超级联赛组小组赛永川首战，永川茶山竹海队客场对阵重庆高新典名科技队在重庆师范大学（大学城校区）足球场开赛．如图所示，比赛某一时刻，是开球点，、分别是永川茶山竹海队与高新典名科技队的队员，其中位于的正北方向，位于的南偏东方向；此时球正好传到处，分别位于的正东方向米和的东北方向米处；（参考数据：、、） （1）求球员与开球点之间的距离；（结果保留根号） （2）现，两名队员同时出发匀速直线跑向，已知的速度是的速度的倍，当，两人相距米时，求运动的距离．（结果保留一位小数） 【答案】（1）球员与开球点之间的距离为米 （2）运动的距离约为米 【解析】 【分析】（1）作，，构造和直角三角形，根据锐角三角函数和线段之间的关系，易求，，，最后计算即可求解； （2）作，构造，设米，米，根据锐角三角函数和线段之间的关系，易求米，米，再根据勾股定理，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作交于点，作交于点， 由题可知，，，米，米，，，， 米，，， 米， 米， ， ， 在中，， ，即， 米， 米， 则球员与开球点之间的距离为米； 【小问2详解】 解：如图，，两名队员到点，，作，垂足为，连接， 设运动的距离为米，则运动的距离为米，即米，米， 米，米， 米，米， 在中，米， 米， 在中，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则运动的距离约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一个动点，作交轴于点；点为线段上一动点，连接，，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一点，连接交轴于点，连接，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）当取得最大值时，点的坐标；的最小值为 （3）符合条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把和代入列方程求解即可； （2）先求出直线解析式为，根据，设直线解析式为，当取得最大值时，直线与平行线间距离最大，此时直线与抛物线有且只有一个交点，联立函数解析式，根据，求得点的坐标；取关于轴的对称点，连接，，由对称可得，，则，当点在上时，最小． （3）连接，，先求出，得到，再根据得到，接着根据平移求出抛物线的解析式，设，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，则， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为，当取得最大值时，直线与平行线间距离最大，此时直线与抛物线有且只有一个交点， 联立，整理得， ∴， 解得， 此时化为，解得， 当时，，即点的坐标 ∴当取得最大值时，点的坐标； 取关于轴的对称点，连接，， 由对称可得，， ∴，， ∴当点在上时，最小． 【小问3详解】 解：在（2）中当取得最大值时，点的坐标， 连接，， ∵，， ∴，且，， ∴， 设直线解析式为， 把和代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴与轴交点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴可以看成将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵点为抛物线上的一点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 展开得， 整理得， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 25. 等边中，， （1）如图，求的面积； （2）为上一点，为上一点，始终满足； ①如图，连接，为上一点，连接，若，求证：为中点； ②如图，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当取得最小值时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①证明：如图2，延长交于点，作交于点，交于点， 设，则， 等边中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， 为中点； ② 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式，计算即可； （2）①延长交于点，作，，设，则，根据勾股定理和线段之间的关系，易证，再根据矩形的判定和性质，可证，最后根据“”可证，即可求证； ②根据旋转和“瓜豆模型”可知，点F是在过点A且平行于的直线上运动，设，则，再根据等边三角形的性质和勾股定理，易得，，，，最后根据，列方程求解，代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图1，作，垂足为， 等边中，，， ， 在中，， ， 则的面积为； 【小问2详解】 ①略 ②解：的长为， 如图，连接，作，垂足为，作，垂足为， 由旋转的性质可知，是等边三角形，， 由题可知，点F是在过点A的直线上运动， 当点和点A重合时，则此时点D和点C重合，即， 则当时，取得最小值， 设，则， 等边中，， ，， ， 在中，，则，， 在中，，， ， 在中，，， ， 在中，，在中，， 是等边三角形， ，即， ， 解得，（舍去）， ，， ， 则当取得最小值时，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $