精品解析：重庆市永川中学教育集团2024–2025学年九年级上学期期中质量检测 数学试题

永川中学教育集团2024-2025学年（上）期中质量检测 初2022级数学试题 一、选择题（共10题，共40分） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数表达式中，是二次函数的是（） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象上有三个点，，，则有（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程有一根是x＝1，则另一根是（　　） A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. x＝4 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 7. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（ ） A. 200 B. 400 C. 600 D. 800 9. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③抛物线另一个交点在到之间； ④当时，； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8题，共32分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 12. 把二次函数配方成顶点式为________． 13. 如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，,，则旋转角等于_____． 14. 将抛物线向右移动3个单位长度，再向上移动4个单位长度所得抛物线的解析式为__________． 15. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____． 16. 某药厂2015年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2017年生产1t甲种药品的成本是4860元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是_________________ 17. 已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为_____． 18. 如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为_______． 三、解答题（共8题，共78分） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 作图题：已知在方格纸中的位置如图所示，每个小方格的边长为1个单位长度；与关于原点中心对称， （1）请你画出； （2）写出点、、的坐标； （3）求出的面积． 21. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，． （1）求的长度； （2）求的长度． 22. 已知函数． （1）求证：无论取什么实数值，这个函数与轴总有交点； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是关于的方程的两根，求的周长． 23. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25）另外三边用木栏围成，木栏长． （1）若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长； （2）养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你求出最大面积；如果不能，请说明理由． 24. 某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元. （1）购进A、B两种商品每件各需多少元？ （2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元？ 25. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？ 26. 如图，在和中，，；，不动，绕点旋转，连接、，为的中点，连接． （1）如图①，当．时，求证： ①； ②； （2）当时，（1）中的结论是否成立？请结合图②说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学教育集团2024-2025学年（上）期中质量检测 初2022级数学试题 一、选择题（共10题，共40分） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数表达式中，是二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 根据二次函数的定义判断，形如的函数为二次函数即可判定． 【详解】解：A．是分式函数，分母含，属于反比例函数，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意； B．是形如一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； C．符合的形式，是二次函数，故该选项符合题意； D．化简后为，属于一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键． 4. 二次函数的图象上有三个点，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，比较二次函数图象上各点的纵坐标大小，需利用二次函数的性质：当开口向上时，离对称轴（y轴）越远的点，其纵坐标越大． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∵，，， 又∵， ∴， 故选：A． 5. 一元二次方程有一根是x＝1，则另一根是（　　） A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. x＝4 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的一个根是，根据根与系数的关系可得，解答出即可． 【详解】解：设一元二次方程的一个根， 则， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查圆周角性质，圆内接四边形的性质，根据，得到，利用四边形内接于，得到由此求出，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形内接于， ∴ ∴ 故选：B． 7. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 8. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（ ） A. 200 B. 400 C. 600 D. 800 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机滑行距离的函数为二次函数，其最大值对应飞机停下来的总滑行距离．通过将二次函数配方成顶点式，可求出最大值． 【详解】解： ∵ 代入得： ∵二次项系数，抛物线开口向下， ∴顶点为最大值点， 当秒时，滑行距离最大，即飞机停下来的总距离为米． 故选：C 9. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③抛物线另一个交点在到之间； ④当时，； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当时，，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】解：①因为抛物线的对称轴为， 即，所以， 所以①错误； ②当时，， 所以， 因为， 所以， 所以②正确； ③因为抛物线的顶点坐标为， 即对称轴为， 且与x轴的一个交点在点和之间， 所以抛物线另一个交点在到之间； 所以③正确； ④因为，即， 根据图象可知： 把抛物线图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线的图象， 所以当时，， 即， 所以④正确； ⑤一元二次方程， ， 因为根据图象可知：，， 所以， 所以， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以⑤正确． 综上，正确的有②③④⑤，一共有4个． 故选：D． 二、填空题（共8题，共32分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 把二次函数配方成顶点式为________． 【答案】 【解析】 【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】y=x2-2x-1=（x2-2x+1）-1-1=（x-1）2-2， 故选答案为：y=（x-1）2-2． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 13. 如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，,，则旋转角等于_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转的性质可得，继而根据可得． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转某个角度得到， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：． 14. 将抛物线向右移动3个单位长度，再向上移动4个单位长度所得抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线y=x2向右平移3个单位长度，得到平移后解析式为：， ∴再向上平移4个单位长度所得的抛物线解析式为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 15. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数yx2与yx2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 16. 某药厂2015年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2017年生产1t甲种药品的成本是4860元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用．销售中成本乘以降价率是成本所降的价格，所以理解和掌握“上一年的成本乘以（1-年平均下降率为）等于下一年的成本”是解题的关键． 【详解】设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，由题意得 ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为． 17. 已知关于的分式方程解为整数，且关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的整数a的和为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 18. 如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过作，可得是等腰直角三角形，为等边三角形，分别求出，可得结论． 【详解】解：连接，过作， ∵矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴在中， ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（共8题，共78分） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，选取适当的方法能够正确的运算是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，利用因式分解解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 20. 作图题：已知在方格纸中的位置如图所示，每个小方格的边长为1个单位长度；与关于原点中心对称， （1）请你画出； （2）写出点、、的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2）、、 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、作关于原点对称的图形、求图形的面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先利用关于原点对称的点的特征确定点A、B、C的对应点、、的位置，然后再顺次连接即可解答； （2）根据点点、、在坐标系内的位置，直接写出点、、的坐标即可； （3）直接运用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：、、． 【小问3详解】 解：的面积为． 21. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，． （1）求的长度； （2）求的长度． 【答案】（1）4 （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵直径， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 22. 已知函数． （1）求证：无论取什么实数值，这个函数与轴总有交点； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是关于的方程的两根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取什么实数值，这个函数与轴总有交点； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义： （1）根据根的判别式解答，即可求解； （2）分两种讨论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若b，c的长为腰，此时原方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 此时原方程为， 解得：， 即， 此时，不能构成三角形； 若a的长为腰，此时原方程一个实数根为， ∴， 解得：， 所愿方程为， 解得：， ∴三角形的三边长为4，4，2， 此时三角形的周长为． 23. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25）另外三边用木栏围成，木栏长． （1）若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长； （2）养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一元一次不等式与一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，并根据题意列出一元二次方程与求出二次函数的解析式． （1）设边的长为，根据题意可知，结合墙长25，建立不等式求出，再根据“养鸡场面积为，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意表示出养鸡场面积，再结合二次函数最值求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设边的长为， 根据题意可知， 墙长25， ， 解得， 养鸡场面积为， ， 解得（不合题意，舍去）或， ． 【小问2详解】 解：养鸡场面积， ， 当时，养鸡场面积最大，最大面积为． 24. 某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元. （1）购进A、B两种商品每件各需多少元？ （2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元？ 【答案】（1）A商品60元/件；B商品50元/件；（2）A商品降价10元. 【解析】 【分析】（1）根据题干找到数量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）依题意列出方程，解方程即可. 【详解】解：（1）设购进A商品每件需x元，购进B商品每件需y元，依题意得： 解得： （2）设A种商品每件降价a元，则A商品每天可销售（100+20a）件，依题意得： 解得： 当a=5时，100+20a=100+100=200 ∵该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件 ∴a=5不符合题意，舍去 ∴a=10 答：（1）购进A、B两种商品每件各需60，50元； （2）A种商品每件降价10元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程与实际问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键. 25. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？ 【答案】（1）； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可； （3）由题意可得，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点、点代入抛物线解析式可得，解得， 即抛物线为． 设直线l的解析式为， 将点、点代入得解得， 即直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点， 则，所以， 点，，点． 连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 化简可得：，解得，（舍去）， 即，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 连接、，如图： 由题意可得： ， ∴， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，面积最大，为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式． 26. 如图，在和中，，；，不动，绕点旋转，连接、，为的中点，连接． （1）如图①，当．时，求证： ①； ②； （2）当时，（1）中的结论是否成立？请结合图②说明理由． 【答案】（1） ①证明：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴； （2） 成立，理由如下： 如图，延长交于点G，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理： （1）①根据，可得，即可证明；②根据全等三角形的性质可得，然后根据直角三角形的性质解答即可； （2）延长交于点G，在上截取，证明，可得，再由是的中位线，可得，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 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