25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时+）教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章 一元二次方程 25.3.3 实际问题与一元二次方程 22051 传播问题与一元二次方程 与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性 步骤 类型 传染源继续传染 第 2 轮传染后数量为 x(x + 1) + x + 1=(x + 1) 2 传染源继续传染 第 2 轮传染后数量为 1 + x + x2 复习导入 22051 问题：要组织一场排球邀请赛，采用单循环制，即每两支队伍之间比赛1场。考虑到场地与时间的限制，赛程排了 7 天，每天要赛 4 场，主办方该邀请多少支队伍参赛？ 这正是本章开头的那个排球邀请赛. 22051 　　问题 1　回顾第一节问题 2“要组织一场排球邀请赛，赛制为单循 环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计 划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？” 　　通过“设应邀请 x 支球队参赛”，设应邀请 x 支球队参赛，根据 “每两支球队之间比赛 1 场”，列得方程 x2－x－56＝0． 　　解方程，得 x1＝8，x2＝－7（不合题意，舍去）． 　　因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛． 新课导入 22051 　　追问 1　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？ 　　已知量：总场数是 4×7＝28； 　　未知量：参加比赛的球队支数，设为 x 支； 　　数量关系：每两支球队之间比赛 1 场，球队数量与总场次之间的关系可以用图表 进行分析，也可以举例说明． 　　如一小组 3 个人，每个人要比赛一次，则每个人都要和其他 2 人比一次，共比赛 3×(3－1)次，而两个人之间只需要比 1 次，排除重复了的情况后比赛总数为 ×3× (3－1)． 新课导入 1 2 22051 板块一　循环赛里的计数 问题：准备举办一届排球邀请赛，赛制是单循环，即每两支参赛队之间比赛1场。综合场地与时间两方面的条件，计划用 7 天打完，每天排 4 场，需要请来多少支队伍来参赛？ 第1队 ··· 其余支队伍 第2队 第3队 最末队 分析: 假设请 支队伍参赛， 每一队都要和其余支参赛队打1场， 那么整届比赛一共要打 场. 22051 问题：筹办一次排球邀请赛，单循环赛制，即每两支代表队之间比赛1场。结合场地和时间上的条件，赛程定为 7 天，每天 4 场，必须邀请多少支队伍才能办成？ 解: 假设需邀请支队伍参赛，每支都要与其余支队伍各打1场，整届合计 场，由此得到方程 化简整理，得 算得 （不合题意，舍去） 所以，主办方应当请8支队伍参赛. 单循环 22051 　　追问 1　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？ 　　已知量：总场数是 4×7＝28； 　　未知量：参加比赛的球队支数，设为 x 支； 　　数量关系：每两支球队之间比赛 1 场，球队数量与总场次之间的关系可以用图表 进行分析，也可以举例说明． 　　如一小组 4 个人，每个人要比赛一次，则每个人都要和其他 3 人比一次，共比赛 4×(4－1)次，而两个人之间只需要比 1 次，排除重复了的情况后比赛总数为 ×4× (4－1)． 　　归纳可知 x 支球队共需要比赛 x(x－1)次． 　　可列方程： x(x－1)＝28，化简得 x2－x－56＝0． 新课导入 1 2 1 2 1 2 22051 　　追问 2　为什么结果中“x2＝－7” 要舍去？在检验方程的解时我们 还要注意什么？为什么？ 　　参加比赛的球队数量应该为正整数，“x2＝－7”不符合问题的实际 意义． 　　在检验方程的解时，需要结合实际背景对方程的解进行取舍．因为 数学问题的解与实际问题的解，有时不完全一致，检验数学模型的解是 否符合实际是建模过程中重要的一个过程． 新课导入 22051 探究1：若千支队伍打主客场双循环，有人声称自己算出的总场数恰好是300. 这个结果可信吗？理由是什么？ 分析：所谓双循环，就是任意两队之间都要打两场. 设共有 支队伍参赛，总场数就是 若这一结果成立，即支队伍打主客场双循环，总场数恰为300，于是有 解方程得到 由于1201并非完全平方数，因此不可能为整数. 可见总场数不可能是300，他的算法有误. 双循环 22051 新年将到，某班同学互赠贺卡，一共送出 张，这个班有多少名学生？若设该班有 名学生，则所列方程是（ ） A. B. C. D. D 当堂练习 22051 　　追问 3　生活中的体育比赛的赛制都是一样的吗？你还了解到哪些 赛制？规则是什么？ 　　生活中的体育比赛的赛制不都是一样的，如赛会制的比赛常采用单 循环比赛，而主客场制的比赛是双循环比赛．单循环比赛是指所有参赛 球队彼此间进行一场比赛，双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两 场比赛． 新课导入 22051 新知探究 　　问题 2　若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场 数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 　　追问 1　要解决什么问题？你能用数学语言表述上述问题吗？ 　　需要把问题转化为数学问题：判断整数支球队进行双循环比赛对应 的总场次是否可能是 300 场． 22051 探究2：某个凸多边形，对角线总数为20条，那么边数该是几？ 能不能有哪个凸多边形恰好带18条对角线？如能，边数是几？ 如不能，请讲清道理. A1 A2 A3 An–1 An n边形里能连出的对角线一共 条. 解：假定这个图形为 边形，由题意得 解得 （不符题意，舍去） 答：凸多边形是 边形． 22051 探究2：有一个凸多边形，对角线共20条，它的边数是多少？ 有没有对角线为18条的凸多边形？ 如有，它是几边形？ 如没有，请讲清道理. A1 A2 A3 An–1 An 依题意，不妨设对角线有18条的凸多边形存在，即 边形对角线条数为18条,于是 解这个方程，得 因为 不是完全平方数，故 无法取整数值. 所以，不会有哪个凸多边形恰带18条对角线． 22051 新知探究 　　追问 2　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？与之前问 题中数量关系有何不同？ 　　已知量：总场数是 300； 　　未知量：参加比赛的球队支数，设为 n 支； 　　数量关系：进行主客场双循环比赛，当甲，乙两队进行比赛时，需 要区分甲队为主场还是乙队为主场，所以“甲主乙客”与“甲客乙主” 是两场比赛． 22051 新知探究 　　追问 2　问题中的已知量、未知量和数量关系各是什么？与之前问 题中数量关系有何不同？ 　　可以用树状图表示如下， 　　假设有 n 支球队，每一支球队需要跟剩下的(n－1)支球队都打一场 比赛，所以全部比赛共 n(n－1)场． 第 2 支 第 3 支 … 第 n 支 第 1 支 （n－1）场 第 1 支 第 3 支 … 第 n 支 第 2 支 （n－1）场 第 1 支 第 2 支 … 第(n－1)支 第 n 支 （n－1）场 … … 有 n 个（n－1）场 22051 类别 规则 对应实例 n 个元素时的总次数 单循环 任意两个只算一次 握手、签约、合影 双循环 任意两个各算两次 互送贺卡 凸多边形对角线 任两者只计一遍 凸边形对角线计数 22051 1.同学聚会那天，到场的人都要给其余人送一份礼品。小丁因故缺席，没能送出礼品，但全班同学都补送给了他，合计送出份，问到场的同学有多少人。若到场同学有 名，按题意列出的方程应为（　A　） A. B. C. D. 答案：A 习题1 22051 新知探究 　　问题 2　若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好 是 300．他算得对吗？为什么？ 　　追问 3　你能列出方程，并利用方程的解判断“算出总场数 300”对吗？ 　　 假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300， 那么 n(n－1)＝300． 　　解方程，得 n＝　　　　　． 　　由于 1 201 不是完全平方数， 所以 n 不可能为整数． 　　因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对． 总场数为 n(n－1)，也就是总场数为两个连续 正整数的乘积，两个连续正整数的乘积在 300 附近的是 16×17＝272，17×18=306，而 272 与 306 之间没有其他两个连续正整数的乘积， 所以总场数不可能是 300． 1 201 2 1± 22051 新知探究 　　追问 4　如果联赛改为单循环赛（每两队只赛一场），那么总场次会为 300 场吗？你能解释为什么吗？总场次的取值有什么规律吗？　　 　　假设有 n 支球队，单循环比赛即参赛的每两队之间只进行一场比赛，因为 甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 n (n－1) 场．可列方程为 n(n－1)＝300． 　　解方程，得 n＝ ． 　　由于 2 401 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数． 　　因此，单循环赛时总场数也不可能为 300． 当比赛为双循环赛或单循环赛时， 比赛的总场次应该是两个相邻正 整数的积或是积的一半． 1 2 1 2 2 401 2 1± 22051 归类 判别 场景举例 n 个元素的总次数 一次制 两两之间计一次 握手、合同、合影 两次制 两两之间计两回 互送卡片 凸多边形之对角线 两两之间仅记一回 凸边形对角线的条数 22051 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22051 一级标题：黑体， 23 课堂小结 　　回顾用一元二次方程解决实际问题的基本过程，请思考并回答下面 的问题： 　　（1）本节课学习了哪些主要内容？ 　　（2）用一元二次方程解决实际问题的基本步骤有哪些？ 　　（3）解决问题的过程中有哪些需要注意的问题？ 　　（4）运用一元二次方程还能解决什么问题？ 22051 谢谢大家聆听 22051 $