25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第25章　一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时） 计数问题与整数限制 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 相同对象之间的配对 观察与分析 比赛、握手、互赠卡片都涉及两两关系，但有的关系不分方向，有的区分方向。先确定“一对”如何计数。 结论与应用 同一场比赛从两队分别观察会被数两次；甲给乙与乙给甲两次赠送则是不同事件。是否除以二由情境决定。 情境引入 单循环赛制 观察与分析 若有支球队，每队与另外队各赛一场。相乘时，每一场都从两队各计一次。 结论与应用 因此单循环总场数为。不存在与自己比赛的场次，所以应减，而不是直接用。 新知讲授 双循环赛制 观察与分析 主客场双循环中，每两队比赛两场。总数是单循环总数的两倍，即。 结论与应用 也可按每队主场对其他队各一场计数，恰得，此时每场只归属一个主队，不再重复除以二。 新知讲授 排球问题的回顾 观察与分析 单循环安排场，得，即。根为。 结论与应用 队数应为大于一的整数，取。这是第一节所列方程的完整实际解释。 新知讲授 总场数不是任意整数 观察与分析 双循环总场数应为两个连续正整数的乘积，如。 结论与应用 因此并不是任意正整数都能作为总场数。已知场数时，需要检查解出的队数是否为整数。 新知讲授 300场为什么不可能 观察与分析 给出。不是完全平方数，因此没有整数队数。 结论与应用 方程有两个实数根，但没有符合队数意义的正整数根。实数可解与计数可行是两个层次。 新知讲授 用相邻积快速估计 观察与分析 ，，介于两者之间，因此不可能等于某个整数对应的。 结论与应用 这一估计与判别式检验得到相同结论。连续整数乘积随递增，有时无需把无理根完整写出。 新知讲授 握手总数 观察与分析 每两人只握一次手，甲与乙握手就是乙与甲握手，不区分方向，所以人的握手数为。 结论与应用 握手、两两合影、两人互相认识的关系，都可能采用同样模型，但仍应先阅读是否有次数限制。 新知讲授 互赠卡片总数 观察与分析 若每人向其他每个人各送一张卡片，甲送乙与乙送甲是两张不同卡片，总数为。 结论与应用 这与双循环的计数结构相同。不能看到“两两”就一律除以二，应先辨认每个事件是否有方向。 新知讲授 多边形一个顶点的对角线 观察与分析 从凸边形的一个顶点，不能连向自己，也不能把与两个相邻顶点的边当作对角线，因此可作条对角线。 结论与应用 先考虑一个顶点，再推广到全部顶点。减包含本身与两个邻点，而不是只减去两个邻点。 A B C D E F 从A出发：6−3＝3条 新知讲授 多边形全部对角线 观察与分析 从个顶点共数到次，每条对角线有两个端点，因而被计算两遍，总条数为。 结论与应用 多边形边数是整数，且至少为。已知对角线条数反求边数时，这两项限制必须同时保留。 新知讲授 对角线数20与18 观察与分析 得，所以是八边形。若等于，则。 结论与应用 后者没有整数根，因此不存在有条对角线的凸多边形。无理数边数不具有几何意义。 新知讲授 区分边与对角线 观察与分析 凸多边形任意两顶点连线总数为，其中有条边，剩下才是对角线。 结论与应用 总连线数减边数，得到。这为同一个对角线公式提供另一种推导和检查。 新知讲授 先画小规模验证 观察与分析 三人握手应有次，三队双循环应有场，四边形有条对角线。把小数值代入候选公式可快速查错。 结论与应用 小规模图示能揭示重复计数与遗漏，但验证几个数不能替代一般推导。公式仍需说明每项来源。 新知讲授 非负与整数限制 观察与分析 人数、队数和边数不能取负数或小数。正实根若为，不能四舍五入成或来凑出实际对象。 结论与应用 在精确计数问题中，没有整数根就表示给定总数不可行。近似值只可辅助判断，不可改变整数条件。 新知讲授 把问题改成可行的总数 观察与分析 双循环若从改成场，则有正整数根。相邻的可行总数并不等间隔。 结论与应用 增加一支队时，会与原来每支队各进行两场比赛，所以新增场数为原队数的两倍。 新知讲授 表格与方程相互核对 观察与分析 队数对应单循环场数，增加量依次为。这与新队须对所有原队比赛一致。 结论与应用 表格揭示数量随规模变化的规律，方程用来反求未知规模。两种表示应得出一致结果。 新知讲授 一句话说明计数依据 观察与分析 写方程前，先说清“每个对象对应多少个其他对象、每个事件被算几遍”。这句话就决定了模型。 结论与应用 写答案时，再说清整数与最小数量限制。计数题的关键通常是模型解释，计算本身只是后续步骤。 例题讲解 示例 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说总场数正好是。他算得对吗？为什么？ 答：不对，不存在满足条件的整数队数。 ，解得。 不是完全平方数，正根不是整数。 主客场两次比赛分别计数，总场数是队数乘队数减一。 课堂练习 练习 个人参加聚会，每两人都握次手，共握手次。共有多少人？ 答：人。 ，即。 根，取正整数。 不分方向的两两事件被计算两遍，除二后再检查整数限制。 课堂练习 练习 一个凸多边形共有条对角线，它是几边形？是否存在有条对角线的凸多边形？说明理由。 答：前者为八边形；后者不存在。 ，得，取。 ，不是完全平方数，无整数根。 每顶点有边数减三条对角线，每条从两端重复计数，最后除二。 例题讲解 示例 若干队单循环比赛共场，求队数。 答：队。 设数量为，。 解得或，只取符合数量限制的正整数。 不分方向的两两事件被计算两遍，除二后再检查整数限制。 例题讲解 示例 若干队主客场双循环比赛共场，求队数。 答：队。 设数量为，。 解得或，只取符合数量限制的正整数。 主客场两次比赛分别计数，总场数是队数乘队数减一。 例题讲解 示例 一个凸多边形有条对角线，求边数。 答：边形。 设数量为，。 解得或，只取符合数量限制的正整数。 每顶点有边数减三条对角线，每条从两端重复计数，最后除二。 例题讲解 示例 每人向其他每人赠一张卡片，共张。有多少人？ 答：人。 ，正整数根为。 有方向的赠送或消息是不同事件，直接按人数乘人数减一计数。 例题讲解 示例 单循环比赛原有队，增加一队后多了场，原有多少队？ 答：队。 新队与原来每队各赛一场，新增场数就是。 新增一队只增加它与原各队的比赛；用增量计数可少列一个二次方程。 例题讲解 示例 凸六边形任意两顶点的连线共多少条？其中对角线多少条？ 答：总连线条，对角线条。 ，再减去条边。 每顶点有边数减三条对角线，每条从两端重复计数，最后除二。 例题讲解 示例 双循环比赛能恰有场吗？ 答：不能。 。 总场数随整数队数递增，区间内无对应整数。 主客场两次比赛分别计数，总场数是队数乘队数减一。 课堂总结 计数问题与整数限制 单循环 双循环 对角线 依据 每个对象的关联数与重复次数 限制 正整数及最小数量 针对训练 选择 若干队参加单循环比赛，任意两队赛一场，共场。参赛队数为（　）。 A．　 B．　 C．　 D． 答：选B。共有队。 设数量为，。 解得或，只取符合数量限制的正整数。 不分方向的两两事件被计算两遍，除二后再检查整数限制。 针对训练 填空 若干队进行主客场双循环比赛，共场。设队数为，则所列方程为____，队数为____。 答：；。 设数量为，。 解得或，只取符合数量限制的正整数。 主客场两次比赛分别计数，总场数是队数乘队数减一。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 队单循环比赛的总场数为。 错 每场被重复计算两次，应为。 （2） 队主客场双循环比赛的总场数为。 对 每两队赛两场，不需要再除以。 （3） 凸边形共有条对角线。 对 每个顶点连出条，每条从两端被算两次。 先核对模型条件，再判断等量关系；不能只凭结果猜测。 针对训练 训练 一个凸多边形有条对角线，求边数。 答：边形。 设数量为，。 解得或，只取符合数量限制的正整数。 每顶点有边数减三条对角线，每条从两端重复计数，最后除二。 针对训练 训练 甲向乙发消息与乙向甲发消息是否是同一事件？若每人给其他每人各发一条，人共多少条？ 答：不是同一事件；条。 消息由发送者指向接收者，反向消息是另一条。 每人发条，人共条，不除二。 有方向的赠送或消息是不同事件，直接按人数乘人数减一计数。 针对训练 训练 单循环总场数能为吗？ 答：不能。 ，即。 不是完全平方数，正根非整数，不能作为队数。 不分方向的两两事件被计算两遍，除二后再检查整数限制。 针对训练 训练 每两人握一次手，共次，求人数。 答：人。 ，即。 根，人数取正整数八。 不分方向的两两事件被计算两遍，除二后再检查整数限制。 针对训练 训练 七边形比六边形多多少条对角线？ 答：条。 七边形对角线条。 六边形对角线条，差条。 每顶点有边数减三条对角线，每条从两端重复计数，最后除二。 针对训练 训练 班级象棋赛每两人只比赛一场，总计场。求参赛人数；若改为每两人赛两场，共多少场？ 答：人；双循环场。 ，正整数根为。 双循环为单循环的两倍。 不分方向的两两事件被计算两遍，除二后再检查整数限制。 针对训练 训练 展板有若干个按凸多边形顶点布置的钉子，要求每两个不相邻的钉子之间拉一根线，恰用根。求钉子数。 答：个。 非相邻顶点连线是对角线，。 ，取。 每顶点有边数减三条对角线，每条从两端重复计数，最后除二。 方法归纳 解题方法总结 先辨方向与重复 ① 不分方向的两两事件通常重复计数两次。 ② 互赠或主客场两事件须按题意计数。 用方程判断可行性 ① 解出的规模必须是符合范围的整数。 ② 非整数根不能四舍五入成实际数量。 $