精品解析：辽宁本溪市第十二中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试卷

2027届本溪市第十二中学九年级（上学期）期中考试 数学试卷 （满分120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞1且x≠2 B. x≥1 C. x≠2 D. x≥1且x≠2 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：由分式及二次根式有意义的条件可得：x-1≥0，x-2≠0， 解得：x≥1，x≠2， 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误． 选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确． 选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误． 选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误． 故选：B． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点进行判断即可． 【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则m的值为（ ） A. 5或 B. 5 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系将已知条件转化为含m的一元二次方程，求解后结合判别式验证即可． 【详解】解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 即， 整理得， 因式分解得， 解得 或 ， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 当 时，，不符合题意，舍去， 当 时，，符合题意． 5. 在延时体育活动跳绳时，相同时间内小张跳80下，小王比小张多跳30下．已知小王每分钟比小张多跳40下，设小张每分钟跳下，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键． 设小张每分钟跳下，则小王每分钟跳下，题中有等量关系：小张跳80下所用的时间小王跳下所用的时间，据此可列出方程． 【详解】解：设小张每分钟跳下，则小王每分钟跳下， 相同时间内，小张跳80下，由题意得，小王跳下， 时间相等， ， 故选：B． 6. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数与一元一次不等式的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．根据所给函数图象，找出直线在直线下方时的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，一次函数的图象在一次函数图象的下方，即， 所以不等式的解集是：． 故选：A 7. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先通过配方得到抛物线的顶点式，可确定抛物线对称轴、开口方向和增减性，从而判断A、B、D选项，再求得抛物线与y轴的交点坐标即可判断C选项． 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 8. 如图，在平行四边形中，E是的中点，连接交于点F，连接，若面积为2，则平行四边形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，先证明出，得到，从而推出，，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵面积为2， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积， 9. 如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，由相似三角形的性质求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积等于． 10. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：9ax2-6ax+a=_____． 【答案】a（3x-1）2 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】9ax2-6ax+a， =a（3x）2-6x+1， =a（3x-1）2． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根时，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得： 解得，， ∴. 13. 已知三点均在抛物线上，则的大小关系为（用表示）_______________． 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，得到对应值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：将代入，得： ； 将代入，得： ； 将代入，得： ； ∵ ， ∴ ． 14. 如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用勾股定理求出，根据矩形性质和全等三角形性质证明，进而证得利用相似三角形或三角函数求出、的长，进而求出、的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 在中 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 即 ∴，， ∴， 在中 15. 等边，点D在射线上，以为一边向右上方做等边，若的长为方程的两根，当m取符合题意的最大整数时，则的长为_________． 【答案】3或5或 【解析】 【分析】先由一元二次方程根的判别式求出符合要求的最大整数，解方程求出方程的两个根，再分两种情况：当点D在上时，；当点D在的延长线上时，，证明，得到，据此求出的长即可． 【详解】解：∵、的长为方程的两根， ∴ 方程有实数根， ∴判别式， 解得， ∵ 为符合题意的最大整数， ∴ ， 此时方程为， 因式分解得， 解得或； ∵是等边三角形， ∴ 如图所示，当点D在上时，则， ∴； 如图所示，过点D作于点T，连接， 设，则， 在中，， ∴； 由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴或； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 如图所示，当点D在的延长线上时，则， ∴； 如图所示，过点D作于点K，连接 设，则， 同理可得， 同理由勾股定理可得方程 解得或（舍去）， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或5或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角三角函数值，再分别计算负整数指数幂、零指数幂，最后按顺序加减运算． （2）先对括号内通分合并，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某学校开展了“防溺水”知识竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你直接写出条形统计图中________，七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是________（单位：分），八年级抽取学生的竞赛成绩的众数是________（单位：分）； （2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ （3）根据以上数据，你认为该学校七，八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）6，86，93 （2）154人 （3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵八年级的众数大于七年级的众数 ∴八年级此次竞赛成绩较好 或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵七年级的中位数大于八年级的中位数 ∴七年级此次竞赛成绩较好 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出B组人数，然后根据中位数和众数的定义求解； （2）利用样本估计总体的方法求解； （3）根据中位数、众数分析判断即可． 【小问1详解】 解：七年级抽取20名学生的竞赛成绩中B组人数； ∵共有20个数据 ∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数 ∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为； ∵八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多 ∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人； 【小问3详解】 略 18. 开盲盒是一种新的销售方式．某批发市场为了迎合这种新时尚，销售A，B两种盲盒，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种盲盒 B种盲盒 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）一位顾客第一次在这个市场批发了A，B两种盲盒共12个，用去560元钱，求A，B两种盲盒各批发了多少个？ （2）该顾客第二次仍然在这个市场批发这两种盲盒（批发价和零售价不变），用去720元钱，若所获利润不低于222元，则该顾客第二次至少批发了多少个A种盲盒？ 【答案】（1）A种盲盒批发了4个，B种盲盒批发了8个． （2）该顾客第二次至少批发了10个A种盲盒． 【解析】 【分析】（1）根据总数量和总费用的等量关系，列二元一次方程组求解； （2）由总费用得A、B数量的关系，结合利润不等式和数量为非负整数的条件，求A种盲盒的最小数量． 【小问1详解】 解：设A种盲盒批发了个，B种盲盒批发了个， 由题意得，， 解得， 答：A种盲盒批发了4个，B种盲盒批发了8个． 【小问2详解】 解：设该顾客第二次批发了个A种盲盒， 由题意得，， 解得， ∵，且要为整数， ∴，且为偶数， ∴，且为偶数， ∴的最小值为10， 答：该顾客第二次至少批发了10个A种盲盒． 19. 点是菱形对角线的交点，分别过点、点作，的平行线交于点，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线互相垂直得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明． （2）由矩形性质得，即；证明，利用相似比求出，得到长；再在中用勾股定理求，得，最后用菱形面积公式计算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ． 20. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．若关于的一元二次方程为， （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标； （2）直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，（）中的点在直线上，且，请求出点的坐标． 【答案】（1）证明：∵ ，，， ∴， ∵， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根， 由求根公式得， ∵， ∴，， ∴衍生点的坐标为； （2）或 【解析】 【分析】（）求出的值，可证方程总有两个不相等的实数根，再利用公式法求出方程的两个根，可得到衍生点的坐标； （）把点代入，得，即得直线的解析式为，进而得到直线与轴的交点，又由直线得，即得到，由点在直线上，得，得到，即得或，当时，与点重合，不能构成 三角形，不符合题意，舍去，故得到，直线的解析式为，，，再分点在点下方和上方两种情况，分别画出图形，根据三角形的面积列出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴直线与轴的交点坐标为，设交点为点，则， ∵直线与轴交于点， 令，得， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， 若，则与点重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴， ∴直线的解析式为，，， 当点在点下方时，如图， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 当点在点上方时，如图， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 22. 完成下列问题 （1）观察猜想： 如图，，时，则的值_________，的度数为_________ （2）类比探究： 如图，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 在（2）的条件下旋转，使得落在直线上，当，时，直接写出的长度． 【答案】（1），； （2），； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先根据含直角三角形的边角关系得到对应边的比值，证明，得到的值，再利用相似三角形对应角相等，对顶角相等，通过八字模型推导的度数． （2）先由等腰直角三角形三边关系得到对应边的比值，证明，求出，再借助八字模型推导． （3）分两种情况：①在线段上；②在延长线上；先求出、，再算出，作，利用三角形面积法求，结合判定是等腰直角三角形，计算． 【小问1详解】 解：，， ∴，， ∴，， ， ， ，即， ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：，， 、都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，，， ，， ，， 点在线段上时，如图，过点作于， ， ， ， ， ， 由（）得， ∵， 为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②点在的延长线上时，如图，过点作于， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上，或． 23. 在平面直角坐标系中，如果一次函数直线与某个图形有且只有一个交点，则定义该函数为图形的函数． 例如：如图，点，点，一次函数与线段交于点，则该函数是线段的函数． （1）如图，在矩形中，点，点，若一次函数是矩形的函数，则_________； （2）如图3，在菱形中，点，点，点在轴上，一次函数是菱形的函数． ①求点的坐标； ②求出一次函数的表达式． （3）如图4，点，是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为；将正方形的边，，所组成的图形定义为（其中点的横坐标为），若直线是图形的函数，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或； （2）①；②； （3）的取值范围是或或． 【解析】 【分析】（1）先由矩形顶点、得到、，根据函数定义，直线与矩形只有一个交点，直线经过或，代入求值． （2）①利用菱形对角线互相平分、互相垂直，中点坐标公式、勾股定理列方程求出点坐标，再由中点关系求出坐标； ②先整理一次函数，得到直线过定点，结合函数定义，直线与菱形只有一个交点，代入菱形顶点列方程求． （3）根据直线是图形的函数，可得直线与正方形的边，，只有一个交点，再根据数形结合分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 当直线过时，， 解得， 当直线过时，， 解得， 或； 【小问2详解】 解：①如图，连接交于， 四边形是菱形， ，， 设， ∵， 中点， ，即， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得， ， ∴即， ②， 直线恒过定点， 是菱形的函数， 直线与菱形仅有一个交点， 菱形顶点：， 当直线过时，， 解得， ∴直线， 当时，，即直线过A、D两点，舍去； 代入得， 解得， ， 代入得， 解得， ∴， ∴与轴的交点为 ∵，， ∴与轴的交点在的下方，此时直线与菱形有两个交点，舍去 代入得， 解得，此时直线过A、D两点，舍去； 综上，一次函数表达式为； 【小问3详解】 解：点，是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ，， ，， 中，当时，， 直线过点， 直线是图形的RN函数， 直线与正方形的边，，只有一个交点， 如图，当，即时， 从图形可以看出当直线过点或过线段时，直线是图形的RN函数， 将代入得， 解得或（不符合题意都舍去）， 将代入得， 解得或（舍去）， 将代入得， 解得或（舍去）， 将代入得， 解得或（舍去）， ； 如图，当且，即时， 从图形可以看出当直线过点或过点或在线段之间时，直线是图形的RN函数， 将代入得， 解得或（舍去）， 将代入得， 解得或（都舍去）， 将代入得， 解得或（都舍去）， 将代入得， 解得或（都舍去）， ； 如图，当时， 从图形可以看出当直线过点或在线段之间时，直线是图形的RN函数， 将代入得， 解得或（都舍去）， 将代入得， 解得（舍去）或， 将代入得， 解得（舍去）或， ； 综上所述，的取值范围是或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，主要考查新定义，菱形及正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届本溪市第十二中学九年级（上学期）期中考试 数学试卷 （满分120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞1且x≠2 B. x≥1 C. x≠2 D. x≥1且x≠2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 4. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则m的值为（ ） A. 5或 B. 5 C. D. 或1 5. 在延时体育活动跳绳时，相同时间内小张跳80下，小王比小张多跳30下．已知小王每分钟比小张多跳40下，设小张每分钟跳下，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的对称轴在轴左侧 C. 与轴正半轴可以相交 D. 当时，随的增大而减小 8. 如图，在平行四边形中，E是的中点，连接交于点F，连接，若面积为2，则平行四边形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 8 9. 如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A. B. C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：9ax2-6ax+a=_____． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 13. 已知三点均在抛物线上，则的大小关系为（用表示）_______________． 14. 如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为_________． 15. 等边，点D在射线上，以为一边向右上方做等边，若的长为方程的两根，当m取符合题意的最大整数时，则的长为_________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2） 17. 某学校开展了“防溺水”知识竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你直接写出条形统计图中________，七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是________（单位：分），八年级抽取学生的竞赛成绩的众数是________（单位：分）； （2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ （3）根据以上数据，你认为该学校七，八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 开盲盒是一种新的销售方式．某批发市场为了迎合这种新时尚，销售A，B两种盲盒，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种盲盒 B种盲盒 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）一位顾客第一次在这个市场批发了A，B两种盲盒共12个，用去560元钱，求A，B两种盲盒各批发了多少个？ （2）该顾客第二次仍然在这个市场批发这两种盲盒（批发价和零售价不变），用去720元钱，若所获利润不低于222元，则该顾客第二次至少批发了多少个A种盲盒？ 19. 点是菱形对角线的交点，分别过点、点作，的平行线交于点，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．若关于的一元二次方程为， （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标； （2）直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点，（）中的点在直线上，且，请求出点的坐标． 21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 22. 完成下列问题 （1）观察猜想： 如图，，时，则的值_________，的度数为_________ （2）类比探究： 如图，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 在（2）的条件下旋转，使得落在直线上，当，时，直接写出的长度． 23. 在平面直角坐标系中，如果一次函数直线与某个图形有且只有一个交点，则定义该函数为图形的函数． 例如：如图，点，点，一次函数与线段交于点，则该函数是线段的函数． （1）如图，在矩形中，点，点，若一次函数是矩形的函数，则_________； （2）如图3，在菱形中，点，点，点在轴上，一次函数是菱形的函数． ①求点的坐标； ②求出一次函数的表达式． （3）如图4，点，是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为；将正方形的边，，所组成的图形定义为（其中点的横坐标为），若直线是图形的函数，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $