25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章 一元二次方程 25.3.2 传播问题与平均变化率问题 22051 实际问题 数学问题的解 数学问题 ax2+bx+c=0 (a≠0) 实际问题的答案 解方程 检验 设未知数列方程(建模思想) 复习导入 22051 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？　 　　问题 1　“经过两轮传染”是什么意思？我们可以尝试用一个特殊值来理解： 　　例如，开始有 1 个人患流感，设这种流感病毒每人每轮传染 3 个人． 　　（1）第一轮能传染多少人，共有多少人被传染？ 　　（2）第二轮能传染多少人，共有多少人被传染？ 　 新知探究 22051 3 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 1 3 4 4 12 16 累计患者总数=传染源+新增患者数 新知探究 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？　 　　问题 1　“经过两轮传染”是什么意思？我们可以尝试用一个特殊值来理解： 　　例如，开始有 1 个人患流感，设这种流感病毒每人每轮传染 3 个人． 　　利用表格分析问题中的信息． 每一轮的传染源，都是上一轮结束时的累计患者总数． 22051 4 设每轮感染中平均一个人感染 x人. 第一轮他感染了x人,第一轮后共有______人感染了病毒. 这(x+1)人是第二轮的感染源 第二轮:这些人中的每个人都又感染了x人, 第二轮后共有 人患了流感. (x+1) 变形为1+x+x(x+1)=(x+1)2 列方程得 (x+1)2=121 解得 x1=10;x2=−12(舍) 1+x+x(x+1) 答：每轮感染中平均一个人感染 10人. 22051 如果按照这样的感染速度， 第三轮感染过后总共会有多少人感染病毒？ 121+121×10=113 = 1331(人) 解决“传播问题”的关键步骤是： 明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数． 22051 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 第三轮 新知探究 　　追问 3　按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 1 1＋10 (1＋10)2 10 (1＋10)×10 (1＋10)2×10 1＋10 1＋10＋(1＋10)×10　(1＋10)2 (1＋10)2＋(1＋10)2×10 (1＋10)3 　　(1＋10)＋(1＋10)×10＋(1＋10)2×10＝(1＋10)3＝1 331． 　　因此，经过三轮传染后共有 1 331 个人被传染. 22051 7 新知探究 　　追问 3　按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 第三轮 1 1＋10 121 10 (1＋10)×10 121×10 1＋10 121 121＋121×10 　　121＋121×10＝1 331． 　　因此，经过三轮传染后共有 1 331 个人被传染. 　　追问 4　结合以上探究结果，谈谈你对阻断病毒传播必要性的理解． 　　这在数学上常被描述为“指数爆炸”，意指增长速度惊人，超乎想象． 22051 8 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 22051 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？　 　　问题 2　结合实际理解问题情境，找出情境中有哪些数量关系． 　　甲种食品成本的年平均下降额为 (10 000－6 000)÷2＝2 000 元， 　　乙种食品成本的年平均下降额为 (12 000－7 200)÷2＝2 400 元 . 新知探究 22051 10 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 1　显然，乙种食品成本的年平均下降额较大． 但年平均下降额（元）等同于年平均下降率（百分数）吗？ 　　成本下降额表示绝对变化量，单位是元； 　　成本下降率表示相对变化量，是表示比率的数， 　　以该次变化前的数量为单位“1”，两者不能等同．　 22051 11 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌 可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过 三轮培植后共有多少个有益菌？ 22051 有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 60 60x 60(1 + x) 60(1 + x) 60(1 + x)x 解：(1)设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌. 22051 时间 起始量 下降量 变化后的量 第一年 第二年 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 2　如果设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 ___________ 元，两年后甲种食品成本为 ____________ 元． 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 10 000 10 000x 10 000－10 000x 10 000(1－x) 10 000(1－x) 10 000(1－x)x 10 000(1－x)2 22051 14 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 2　如果设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 ___________ 元，两年后甲种食品成本为 ____________ 元． 　　追问 3　请根据题意找出等量关系，然后列出方程并求解． = 新知探究 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 两年后甲种食品成本 现在甲种食品成本 两年后（现在）甲种食品成本＝6 000 元 22051 15 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (1)解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 由题意得： ， 解得： ， （不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； 22051 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ (2)解：第三轮感染的人数 （人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为： （人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 22051 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 __________ 元，两年后甲种食品成本为 _____________ 元． 10 000(1－x)2＝6 000． 　　解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775 　　追问 4　观察方程的两个根，它们在问题中表示什么意义？ 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 x1≈22.5%，x2≈177.5% 　　如果年平均下降 率为 177.5%，那么成 本就变为负值，而成 本必须大于 0． 22051 18 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 __________ 元，两年后甲种食品成本为 _____________ 元． 10 000(1－x)2＝6 000． 　　解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775 　　根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 x1≈22.5%，x2≈177.5% （不合题意，舍去）． 22051 19 1. 有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有________人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了________人，第二轮过后共有________人患了流感． 7 42 49 22051 20 2. [教材P22练习T1变式]某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是31.若设主干长出x个支干，则所列方程正确的是(　　) A．(1＋x)2＝31 B．1＋x＋x2＝31 C．(1＋x)x＝31 D．1＋x＋2x＝31 B 22051 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 5　类似甲种食品成本的年平均下降率的求解过程，请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率． 22051 22 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 __________ 元，两年后乙种食品成本为 _____________ 元． 12 000(1－y) 12 000(1－y)2 = 两年后乙种食品成本 现在乙种食品成本 两年后（现在）乙种食品成本＝7 200 元 22051 23 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22051 一级标题：黑体， 24 谢谢大家聆听 22051 $