精品解析：安徽合肥市包河区中国科学技术大学附属中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

九年级期中考试数学试题卷 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义先判断各选项函数表达式是否为整式，再将整式形式的表达式化简，根据自变量最高次数及二次项系数是否为0判断是否为二次函数. 【详解】解：A.中的最高次数为1，不是二次函数，故A错误. B. 含分式，不是整式，不是二次函数，故B错误. C.化简，得，是二次函数，故C正确. D. 即，的最高次数为1，不是二次函数，故D错误. 2. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A．∵，，， ∴不成比例． B．∵，，， ∴成比例． C．∵，，， ∴不成比例． D．∵，，， ∴不成比例． 3. 在一次函数（为常数且）中，随的增大而增大，那么反比例函数的图象在（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、二象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意易得，然后根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：∵在一次函数（为常数且）中，随的增大而增大， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选． 4. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； B. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； C. ，不能判定，该选项符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 二次函数的最小值为1 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 二次函数图象与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由得二次函数对称轴在轴左侧，结合开口方向、判别式等逐一判断各选项. 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴ ，图象开口向上， 对称轴为直线， 顶点纵坐标为. ∵ ， ∴ ，即对称轴在轴左侧. 对A选项： ∵ ， ∴ ， ∴ 函数最小值不为1，A错误. 对B选项： ∵ 对称轴为直线， ∴ B错误. 对C选项： ∵ 判别式， 当时，，图象与轴无交点， ∴ C错误. 对D选项： ∵ 图象开口向上，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大. ∵ 满足， ∴ 当时，随的增大而增大，D正确. 6. 如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 7. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】球回到地面时高度，代入，然后解方程并检验即可． 【详解】解：当时，，即， 解得或， ∵为球弹起的初始时刻， ∴球弹起后回到地面的时间为秒． 8. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，再根据根与系数关系得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵点和在函数图象上， ∴，即， 同理， ∴和是方程的两个根， 由根与系数的关系，得， ∴． ， ． ∴． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且满足，连接，过点作，垂足为，连接，有下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 当为是边的中点时， D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得，再根据垂直定义可得，然后根据同角的余角相等解答A；接下来说明，可得，即可说明解答D；下面根据相似三角形的性质可得，进而解答B；最后根据中点的定义得，最后说明解答C． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴即． ∵， ∴， ∴，则A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，则D正确． ∵， ∴． ∵， ∴， 即，则B正确； ∵点E是的中点， ∴， ∴，则C不正确． 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到a，b的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】对于①：若经过点，则有，结合，可得，，∴，故函数必有最大值，选项正确； 对于②：可取反例，当时，，，此时当时，y随x的增大而减小，故原选项错误； 对于③：若经过点，则有，结合，可得，，∴， 令，解得，或，∵，结合图象可知，不等式的解集为或，选项正确； 对于④：由，即，可知二次函数经过定点，∴方程的其中一根为， 若，则有，，即，，解得，，故原选项错误， ∴①③正确，正确的个数为2个， 故选：B． 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数为，将用含的代数式表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设， ∴ ，，， 将其代入得： ． 12. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，调整原解析式即可得到结果． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律 原抛物线解析式为 向右平移个单位长度，对自变量减去平移单位，得到解析式： 再向下平移个单位长度，对整体减去平移单位，得到： 整理得． 13. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由，得出，可求出，则AE=，再证明 △AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解． 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，D为直线左侧一点．若，则的最大值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了相似三角形及二次函数的部分应用，通过相似三角形对应边成比例列出相应的式子，再根据式子构造函数通过函数来求最值． 【详解】解：已知： 得 取， 得，即 在中； 代入上式： 设， 则， ，抛物线开口向下， 当时，取最大值 三、解答题 16. 已知二次函数图象经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）求函数y的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式，求解参数得到函数表达式． （2）将二次函数配方为顶点式，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：对函数解析式配方，得 ， ∵抛物线开口向上，顶点坐标是， ∴当时，取得最小值，最小值为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）的面积是                        ； （2）以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出； 【答案】（1）4 （2）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据图形以及三角形的面积公式计算即可求解． （2）根据位似的性质，画出即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 18. 新定义：我们把抛物线与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； （1）抛物线的“友好抛物线”的解析式为                                    ；“友好抛物线”的顶点坐标为                        ； （2）若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“友好抛物线”的定义解答，再化为顶点式解答即可； （2）先确定原抛物线的“友好抛物线”的关系式为，再根据题意可得，然后根据题意可得抛物线的顶点纵坐标为2，即，最后联立求出答案即可． 【小问1详解】 解：抛物线的“友好抛物线”为； 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意，得抛物线的“友好抛物线”的关系式为， ∵抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ∴． ∵抛物线有且只有三个点到x轴的距离是2， ∴抛物线的顶点纵坐标为2． ∵， 即， 由①②可得， ∴抛物线M的关系式为． 19. 如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：： （2）若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）21 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 21. 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每把元时，每月可销售把；若塑料椅的售价每降价元，则销售量增加把，塑料椅的进价为每把元，假设塑料椅全部售完（进货量销售量），设每把塑料椅降价元，备注：总利润（售价进价）销售量，回答下列问题： 【问题】 （1）任务：每把塑料椅的实际利润为________元（用含的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含的代数式表示）． （2）任务：若经销商计划进货不超过把，能否让每月利润达到元？若能，请求出此时塑料椅的售价，若不能，请说明理由． （3）任务：根据试售情况，经销商计划进货不超过把，试问经销商每月利润有最大值吗？若有，求出最大值，并求此时塑料椅的售价，若没有请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：能让每月利润达到元；此时塑料椅的售价为45元．理由如下： 根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，塑料椅的销售量为把，小于200把，符合题意； 当时，塑料椅的销售量为把，大于200把，不符合题意，舍去； 故能让每月利润达到元；此时塑料椅的售价为45元． （3）解：有最大值，最大值为3960元，此时塑料椅的售价为42元.理由如下： 根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 设总获利记作y元， 根据题意，得， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为4000元，此时塑料椅的售价为40元． 当时，塑料椅的销售量为把，不满足进货不超过把， 故不符合要求； 根据题意，得。 ， 当时，塑料椅的销售量为把，符合要求， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为3960元，此时塑料椅的售价为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． （2）塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把．根据题意，得，解答即可． （3）根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把．设总获利记作y元，根据题意，得，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，中，为上一点，． （1）若，，，求的周长． （2）如图2，过点作，交于点，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若的面积为2，当__________时，的面积最大值为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）6 （2）①，②， 【解析】 【分析】分析片段（1）先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出和的长度，最后计算的周长． （2）①先根据得到，再结合求出的值． ②先求出与面积的关系，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴， ∵，，， 已知，，，代入， 可得：，解得， 代入，可得：，解得， ∴的周长为． 的周长为6． 【小问2详解】 ①解：∵， ， 由（1）知， ，即， 设，则， ，即， ， ． ②∵，设，，， ∴，∴， 又，，， 与同高，面积比等于底之比：， ， 令，，二次函数开口向下，顶点在， 即，可得（长度正数，舍去负根）， ∴， 此时最大值：． 23. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②当时，；当时，或 【解析】 【分析】（1）根据解答即可； （2）①将原关系式整理为，再代入可得，进而得出，然后根据，可得，即可求出a； ； ②先求出抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时和当时，根据抛物线增减性得出答案． 【小问1详解】 解：该抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：①抛物线经过点和点 ， 把上式代入中，得：， ， ． 又， ， ； ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线， ， 点在对称轴右侧， 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而增大，在对称轴左侧随增大而减小， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有， 所以； 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而减小，在对称轴左侧随增大而增大， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有； 综上所述，当时，． 当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试数学试题卷 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 在一次函数（为常数且）中，随的增大而增大，那么反比例函数的图象在（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、二象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 4. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 二次函数的最小值为1 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 二次函数图象与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而增大 6. 如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 12 7. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 8. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且满足，连接，过点作，垂足为，连接，有下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 当为是边的中点时， D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 若，则的值是______． 12. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为________． 13. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____． 14. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 15. 如图，在中，，，D为直线左侧一点．若，则的最大值为______________． 三、解答题 16. 已知二次函数图象经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）求函数y的最小值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）的面积是                        ； （2）以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出； 18. 新定义：我们把抛物线与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； （1）抛物线的“友好抛物线”的解析式为                                    ；“友好抛物线”的顶点坐标为                        ； （2）若抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线上有且只有三个点到轴的距离为2，求抛物线的解析式． 19. 如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：： （2）若的面积为4，，求四边形的面积． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是y轴上的一点，的面积是12，求点P的坐标． 21. 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每把元时，每月可销售把；若塑料椅的售价每降价元，则销售量增加把，塑料椅的进价为每把元，假设塑料椅全部售完（进货量销售量），设每把塑料椅降价元，备注：总利润（售价进价）销售量，回答下列问题： 【问题】 （1）任务：每把塑料椅的实际利润为________元（用含的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含的代数式表示）． （2）任务：若经销商计划进货不超过把，能否让每月利润达到元？若能，请求出此时塑料椅的售价，若不能，请说明理由． （3）任务：根据试售情况，经销商计划进货不超过把，试问经销商每月利润有最大值吗？若有，求出最大值，并求此时塑料椅的售价，若没有请说明理由． 22. 如图，中，为上一点，． （1）若，，，求的周长． （2）如图2，过点作，交于点，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若的面积为2，当__________时，的面积最大值为__________．（直接写出答案） 23. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $