精品解析：安徽省合肥包河区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

2025-2026学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（　　） A. （﹣1，0） B. （1，0） C. （0，1） D. （0，﹣1） 2. 若，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 4. 摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（ ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A. B. C. D. 6. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 7. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（　　）对． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 10. 如图，菱形边长为2，，点P以每秒1个单位的速度沿射线AD移动，过点P作直线AB的垂线与菱形的两边分别交于两点，设面积为y，则y与点P移动的时间x之间的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 12. 如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 13. 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为______． 14. 如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，； （1）则__________； （2）若，为等腰直角三角形，，则___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°． 16. 如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）请用无刻度直尺，在线段上找一点P，使； （2）以点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形，使与的位似比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 18. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，. (1)求函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标. 20. 如图，在中，，于点，在边上，与交于点，作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． （1）当时， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； （2）当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围． 22. 如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 七、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，中的一点． （1）求的值； （2）若点，是抛物线上的两点，对于，，都有，求的取值范围； （3）点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为，令，求关于的函数关系式，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（　　） A. （﹣1，0） B. （1，0） C. （0，1） D. （0，﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式解析式，即可计算出二次函数顶点坐标为（0，﹣1）． 【详解】解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的基本性质，利用顶点式求出顶点坐标，同时本题中的函数也是一个特殊函数，b=0，所以抛物线顶点在y轴上，将x=0，代入函数解析式得：y=-1，也可以求出其顶点坐标为（0，﹣1）． 2. 若，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，则ad=bc，逐个判断可得答案． 【详解】解：由可得：2x=3y A. ，此选项不符合题意 B. ，此选项不符合题意 C. ，则3x=2y，此选项不符合题意 D. ，则2x=3y，正确 故选：D 【点睛】本题考查比例的性质，解题关键在于掌握，则ad=bc. 3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，通过比较平移前后抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移单位，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，然后根据坐标变化判断平移方向． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∴水平方向：从到，增加了，即向右平移个单位；垂直方向：从到，增加了，即向上平移个单位， ∴平移方法是向右平移个单位，再向上平移个单位， 故选：． 4. 摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故选：B． 5. 已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（ ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 6. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ） A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12， ∴两个相似三角形的相似比为1:3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1， ∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键． 7. 如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB，AC与BC，再利用勾股定理逆定理确定△ABC为直角三角形，然后根据锐角三角函数定义求即即可 【详解】解：根据勾股定理得AB=，AC=，BC=， ∵AC2+BC2=5+20=25=52=AB2，， ∴△ABC为直角三角形， ∴， 故选：C. 【点睛】本题考查网格勾股定理与逆定理，锐角三角函数，是常考题，掌握网格勾股定理与逆定理，锐角三角函数是解题关键． 8. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（　　）对． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD． 【详解】解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下： ∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°， ∴△ABC∽△ADE； ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠FAE， ∴△ABD∽△AEF； ∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C， ∴△AEF∽△DCF， ∴△ABD∽△DCF； ∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C， ∴△ADF∽△ACD， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 9. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 10. 如图，菱形边长为2，，点P以每秒1个单位的速度沿射线AD移动，过点P作直线AB的垂线与菱形的两边分别交于两点，设面积为y，则y与点P移动的时间x之间的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．特殊角的三角函数，菱形的性质，根据所给题意判断出不同取值范围与之间的函数解析式是解决本题的关键．分别求得，，范围的函数解析式，根据所得函数解析式判断出相应的函数图象即可． 【详解】解：①时，如图： 由题意得：， ，， ， ， ， ， 该函数图象为开口向上的抛物线， ②时，如图： 作于点，则，， ，， ， ， ， ， 该函数图象为随的增大而增大的线段； ③时，如图： 作于点，于点，于点， 则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该函数图象是开口向下的抛物线， 故选：A． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 【答案】2； 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0． 【详解】根据题意得：m(m−2)=0， ∴m=0或m=2， ∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2. 故填2. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，需理解二次函数与y轴的交点的纵坐标即为常数项的值. 12. 如图，在中，是的中点，连接，是上的点，且，连接并延长交于点F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．过点D作，交于点G，证明，， ，，从而得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：过点D作，交于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为______． 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．设加工成的正方形零件的边长为，过点作于，交于点，先根据的面积求出高，证明，得到，代入数值求出即可． 【详解】解：设加工成的正方形零件的边长为， 过点作于，交于点， 的面积为，边， ， 解得， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选：C． 14. 如图，在矩形中，为对角线，点F在上，连接交于点E，且，； （1）则__________； （2）若，为等腰直角三角形，，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设，，利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可求得； （2）作于点，作于点，利用矩形的性质和等腰直角三角形得到，利用勾股定理算出，利用等面积法得到，利用解直角三角形得到，再利用等面积法得到，继而利用解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 设，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． （2）解：作于点，作于点， 为等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，等面积法，解直角三角形，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°． 【答案】﹣ 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 16. 如图，正方形网格中，的顶点都在格点上． （1）请用无刻度直尺，在线段上找一点P，使； （2）以点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形，使与的位似比为． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2） 如图：即为所作． 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理画图即可； （2）根据与的位似比等于，可得，据此作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示：， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及位似变换，熟练掌握相似三角形的性质以及位似图像的性质是解本题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 【答案】42米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 18. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，. (1)求函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)或；(3)点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）先把A（1，a），B（b，2）分别代入y=-2x+8中求出a、b的值得到A（1，6），B（3，2），然后把A点坐标代入中得到k的值，从而得到反比例函数解析式； （2）写出一次函数图象在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，如图，则A′（-1，6），根据两点之间线段最短判断此时PA+PB的值最小，△ABP周长最小，然后利用待定系数法求出直线A′B的解析式，从而得到点P的坐标． 【详解】解：(1)把，分别代入得， ，解得， ∴，； 把代入得， ∴反比例函数解析式为； (2)不等式的解集为或； (3)作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则， ∵， ∴此时的值最小，周长最小， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 20. 如图，在中，，于点，在边上，与交于点，作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据同角的余角相等得出，，从而证明； （）过点作于点，设，则，，然后证明，得，所以，设，，则，再证明，所以，即，求得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． （1）当时， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； （2）当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）①抛物线形水线最大高度是米；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线，再把代入，求出y值即可求解； ②根据抛物线形水线最大高度达4米，则抛物线顶点的纵坐标为，把代入求得，即可求解； （2）根据，得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在直线上，得到，求得，然后根据喷出的抛物线形水线不能到岸边，出水口离岸边，得，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边， ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线形水线最大高度是米； ②∵抛物线形水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点在原点，不符合实际， ∴， ∵喷出的抛物线形水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． 22. 如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转性质知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：由旋转性质知，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （）由，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （）先求出，，进而得出，，进而求出，最后根据（）的结论，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中， ∴， ， ∵， ∴，， 由（）知，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 七、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点，中的一点． （1）求的值； （2）若点，是抛物线上的两点，对于，，都有，求的取值范围； （3）点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为，令，求关于的函数关系式，并求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3），S的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，得出，结合，故点不在抛物线，根据抛物线经过点，中的一点，则把代入，解得，即可作答． （2）先得出，开口方向向下，对称轴为直线，根据越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，以及，进行列式，再进行分类讨论，即可作答． （3）先根据题意，得出，，，结合，进行列式化简，得，再进行分类讨论，且运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把代入， 得， ∵， ∴点不在抛物线， ∵抛物线经过点，中的一点， ∴把代入， 得 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 即抛物线， 此函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越大， ∵点，是抛物线上的两点，对于，，都有， ∴ 整理得， 当，时， 则， 即， ∴， ∴， 即满足题意；， 当时，则， ∴， ∴， 即满足题意； 当时，则， 即， ∴， ∴是不成立的， 即不满足题意； 综上： 【小问3详解】 解：由（2）得抛物线，对称轴为直线， ∵点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为， ∴，， ∴ ∵， ∴ 当时，令， 函数开口向下，当时，则， 解得 则时，， ∵ ∴ 此时， 函数的开口方向向下，对称轴为直线， 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，把代入，得最小值为 即在时，最小值， 当时，则令， 函数开口向下，当时，则， 解得 则时，或， ∵ ∴， 此时， 函数的开口方向向上，对称轴为直线， 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，则当时，则最小值为； 即在时，， 综上：关于的函数关系式为，S的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $